Logaritma: 30 Soal Pilihan dan Pembahasan

Itu karena saya selalu melakukan semua yang diminta tanpa keluhan.

It was because I always did everything that was aksed of me without a word of complaint.
- Y. Honobu, "Even Though I'm Told I Now Have Wings"

Soal berikut ini dipilih khusus untuk meningkatkan kemampuan sobat dalam menyelesaikan berbagai variasi kesulitan soal pada bab Logaritma.

Logaritma sendiri secara sederhana merupakan invers eksponen atau kebalikan dari pemangkatan. Penyelesaian diperuntukkan untuk masalah mencari besar pangkat dari bilangan yang diketahui hasil pangkatnya. Di sini Soal-soal yang kami sajikan memenuhi kompetensi materi Eksponen yang terdiri oleh empat subbab: (1) Definisi Logaritma, (2) Sifat Logaritma, (3) Persamaan Logaritma, (4) Pertidaksamaan Logaritma.

Oke, berikut ini kami sajikan soal pilihan dan pembahasan...

Nomor 1
Diketahui nilai
$\begin{array}{ccc} & a = ~ ^{3} \log^{2} 6 - ~ ^{3} \log^{2} 2 - 2 ~ ^{9} \log 6 & \\ & \text{dan} & \\ & b = ~ ^{3} \log 2 \sqrt{2} + \dfrac{1}{^{4} \log 9} - \dfrac{^{6} \log 8}{^{6} \log 3} & \end{array}$
Nilai $\frac{a}{b} = \cdots$

1. $-4$
2. $-2$
3. $- \frac{1}{2}$
4. $\frac{1}{2}$
5. 1

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} a & = ~ ^{3} \log^{2} - ~ ^{3} \log^{2} 2 - 2 ~ ^{9} \log 6 \\ & = \left( ~ ^{3} \log^{2} 6 - ~ ^{3} \log^{2} 2 \right) - 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot ~ ^{3} \log 6 \\ & = \left( ~ ^{3} \log 6 - ~ ^{3} \log 2 \right) \left( ~ ^{3} \log 6 + ~ ^{3} \log 2 \right) - ~ ^{3} \log 6 \\ & = ~ ^{3} \log \left( \frac{6}{2} \right) \cdot ~ ^{3} \log (6 \cdot 2) - ~ ^{3} \log 6 \\ & = 1 \cdot ~ ^{3} \log 12 - ~ ^{3} \log 6 \\ & = \left( \frac{12}{6} \right) \\ & = ~ ^{3} \log 2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} b & = ~ ^{3} \log 2 \sqrt{2} + \dfrac{1}{^{4} \log 9} - \dfrac{^{6} \log 8}{^{6} \log 3} \\ & = ~ ^{3} \log 2^{\frac{3}{2}} \sqrt{2} + \dfrac{1}{^{4} \log 9} - \dfrac{^{6} \log 8}{^{6} \log 3} \\ & = ~ ^{3} \log 2^{\frac{3}{2}} + \dfrac{2}{2} \cdot ~ ^{3} \log 2 - ~ ^{3} \log 2^{3} \\ & = ~ ^{3} \log \left( \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{3}}{2^{3}} \right) \\ & = ~ ^{3} \log 2^{- \frac{1}{2}} \end{aligned}$

Jadi, nilai $\begin{aligned} \dfrac{a}{b} = \dfrac{^{3} \log 2}{^{3} \log 2^{- \frac{1}{2}}} = -2 \end{aligned}$.

(Jawaban B)

Nomor 2
Diketahui
$\begin{array}{ccc} & ^{3} \log 3 = p & \end{array}$
maka $^{15} \log 81 = \cdots$

1. $\frac{3}{4} p$
2. $\frac{4p}{p+1}$
3. $\frac{p+1}{4p}$
4. $1+4p$
5. $4(1+p)$

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} ^{15} \log 81 & = \dfrac{^{5} \log 3^{4}}{^{5} \log 3 \cdot 5} \\ & = \dfrac{4 \cdot ~ ^{5} \log 3}{^{5} \log 3 + ^{5} \log 5} \\ & = \dfrac{4p}{p+1} \end{aligned}$

(Jawaban B)

Nomor 3
Diketahui $^{3} \log 2 = x$ dan $^{2} \log 5 = y$ maka $^{5} \log 15 = \cdots$

1. $\frac{x+y+1}{x+y}$
2. $\frac{xy+1}{xy}$
3. $\frac{xy}{x+y}$
4. $\frac{1}{x+y}$
5. $\frac{1}{xy}$

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} ^{5} \log 15 & = \dfrac{^{2} \log 15}{^{2} \log 5} \\ & = \dfrac{^{2} \log 3 + ~ ^{2} \log 5}{^{2} \log 5} \\ & = \dfrac{\frac{1}{x} + y}{y} \cdot \dfrac{x}{x} \\ & = \dfrac{1+xy}{xy} \end{aligned}$

(Jawaban B)

Nomor 4
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan
$\begin{array}{ccc} & ^{2} \log \left( x-1 \right) = ~ ^{2} \log \left( 6 - \frac{1}{2} \log (x-1) \right) & \end{array}$
dengan bilangan pokok 2, adalah $\cdots$

1. 7
2. 9
3. 15
4. 16
5. 17

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} ^{2} \log \left( x-1 \right) = ~ ^{2} \log \left( 6 - \dfrac{1}{2} \cdot ~ ^{2} \log (x-1) \right) \end{aligned}$

$\begin{array}{crl} \Leftrightarrow & ~ ^{2} \log (x-1) & = 6 - \dfrac{1}{2} \cdot ~ ^{2} \log (x-1) \\ \Leftrightarrow & ~ ^{2} \log (x-1) & = ~ ^{2} \log 2^{6} - ~ ^{2} \log (x-1)^{\frac{1}{2}} \\ \Leftrightarrow & (x-1) & = \dfrac{2^{6}}{(x-1)^{\frac{1}{2}}} \\ \Leftrightarrow & (x-1)^{\frac{3}{2}} & = 2^{6} \\ \Leftrightarrow & (x-1) & = 2^{4} \\ \Leftrightarrow & x & = 17 \end{array}$

(Jawaban E)

Nomor 5
Himpunan penyelesaian persamaan
$\begin{array}{ccc} & ^{3} \log (x-2) + ~ ^{3} \log (x-4) = 1 & \end{array}$
adalah $\cdots$

1. $\{ {-5} , {1} \}$
2. $\{ {-1} , {5} \}$
3. $\{ {1} , {5} \}$
4. $\{ {1} \}$
5. $\{ {5} \}$

PENYELESAIAN.

$\begin{array}{lll} \text{1)..} & ^{3} \log (x-2) + ~ ^{3} \log (x-4) & = 1 \\ & \Leftrightarrow ~ ^{3} \log (x-2) + ~ ^{3} \log (x-4) & = ~ ^{3} \log 3 \\ & \Leftrightarrow x^{2} - 6x + 8 & = 3 \\ & \Leftrightarrow x^{2} - 6x + 5 & = ~ 0 \\ & x=1 & \lor x=5 \end{array}$

2).. syarat:

$\begin{aligned} x-2 > 0 & \to x > 2 \\ x-4 > 0 & \to x > 4 \end{aligned}$

Dari (1) dan (2) maka diperoleh (5).

(Jawaban E)

Nomor 6
Penyelesaian persamaan
$\begin{array}{ccc} & ^{2} \log (x+2) - ~ ^{4} \log (3x^{2} - x + 6) = 0 & \end{array}$
adalah $p$ dan $q$. Untuk $p > q$, maka nilai $p-9 = \cdots$

1. 2
2. $\frac{3}{2}$
3. $\frac{1}{2}$
4. $- \frac{3}{2}$
5. $- \frac{5}{2}$

PENYELESAIAN.

$\begin{array}{lrl} \Leftrightarrow & ~ ^{2} \log (x+2) & = ~ ^{4} \log (3x^{2} -x +6) \\ \Leftrightarrow & ~ ^{2^{2}} \log (x+2)^{2} & = ~ ^{4} \log (3x^{2} -x + 6) \\ \Leftrightarrow & (x-2)^{2} & = ~ 3x^{2} -x +6 \\ \Leftrightarrow & x^{2} + 4x + 4 & = 3x^{2} -x +6 \\ \Leftrightarrow & 2x^{2} -5x +2 & = 0 \\ \Leftrightarrow & (2x-1)(x-2) & = 0 \\ \Leftrightarrow & x = \dfrac{1}{2} & \lor x = 2 \\ \Leftrightarrow & p=2 & \land q = \dfrac{1}{2} \end{array}$

Jadi, nilai $\begin{aligned} p-q & = 2 - \dfrac{1}{2} \\ & = \dfrac{3}{2} \end{aligned}$.

(Jawaban B)

Nomor 7
Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaan
$\begin{array}{ccc} & \left( ~ ^{3} \log x \right)^{2} - 3 \cdot ~ ^{3} \log x + 2 = 0 & \end{array}$
maka $x_{1} x_{2} = \cdots$

1. 2
2. 3
3. 8
4. 24
5. 27

PENYELESAIAN.

Misal $m = ~ ^{3} \log x$

$\begin{array}{lrl} \Leftrightarrow & \left( ~ ^{3} \log x \right)^{2} - 3 \cdot ~ ^{3} \log x + 2 & = 0 \\ \Leftrightarrow & m^{2} - 3 \cdot m + 2 & = 0 \\ \Leftrightarrow & m_{1} + m_{2} = - \dfrac{b}{a} & = 3 \\ \Leftrightarrow & ~ ^{3} \log x_{1} + ~ ^{3} \log x_{2} & = 3 \\ \Leftrightarrow & ~ ^{3} \log (x_{1} \cdot x_{2}) & = ~ ^{3} \log 3^{3} \\ \Leftrightarrow & x_{1} x_{2} & = 27 \end{array}$

(Jawaban E)

Nomor 8
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan
$\begin{array}{ccc} & 2 \log x \le \log (2x+5) + 2 \log 2 & \end{array}$
adalah $\cdots$

1. 2
2. 3
3. 8
4. 24
5. 27

PENYELESAIAN.

$2 \log x \le \log (2x+5) + 2 \log 2$

$\begin{array}{lrl} \Leftrightarrow & \log x^{2} & \le \log (2x+5) + \log 2^{2} \\ \Leftrightarrow & \log x^{2} & \le \log (2x+5) \cdot 4 \\ \Leftrightarrow & x^{2} & \le 4 (2x+5) \\ \Leftrightarrow & x^{2} - 8x -20 & \le 0 \\ \Leftrightarrow & (x+2)(x-10) & \le 0 \\ \Leftrightarrow & -2 \le & x \le 10 \end{array}$

$\begin{aligned} & \text{syarat:} ~ x > 0 \\ & 2x + 5 > 0 \to x > - \dfrac{5}{2} \\ & \text{Dari (1) dan (2) diperoleh} ~ 0 < x \le 10 \end{aligned}$

(Jawaban C)

Nomor 9
Solusi pertidaksamaan
$\begin{array}{ccc} & ^{\frac{1}{2}} \log (x^{2}-8) < 0 & \end{array}$
adalah $\cdots$

1. $-3 < x < 3$
2. $-2 \sqrt{2} < x < 2 \sqrt{2}$
3. $x < -3 ~ \text{atau} ~ x > 3$
4. $x < -2 \sqrt{2} ~ \text{atau} ~ x > 2 \sqrt{2}$
5. $-3 < x < -2 \sqrt{2} ~ \text{atau} ~ 2 \sqrt{2} < x < 3$

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} ^{\frac{1}{2}} \log (x^{2}-8) < 0 \end{aligned}$

$\begin{array}{lrl} \Leftrightarrow & ^{\frac{1}{2}} (x^{2}-8) & < ^{\frac{1}{2}} \log \left( \frac{1}{2} \right)^{0} \\ \Leftrightarrow & x^{2}-8 & > 1 \\ \Leftrightarrow & x^{2}-9 & > 0 \\ \Leftrightarrow & (x+3)(x-3) & > 0 \\ \Leftrightarrow & x < -3 & \lor x > 3 \end{array}$

$\begin{aligned} & \text{syarat:} ~ x^{2}-8 > 0 \\ & \Leftrightarrow \left( x + 2 \sqrt{2} \right) \left( x - 2 \sqrt{2} \right) > 0 \\ & \Leftrightarrow x < -2 \sqrt{2} \lor x > 2 \sqrt{2} \\ & \text{Dari (1) dan (2) diperoleh} ~ x < 3 ~ \text{atau} ~ x > 3 \end{aligned}$

(Jawaban C)

Nomor 10
Nilai dari
$\begin{array}{ccc} & ^{5} \log (0,04) = \cdots & \end{array}$

1. -2
2. -1
3. 0
4. 1
5. 2

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} \text{Misal:} ~ ^{5} \log (0,04) = x \to & 5^{x} = {0,04} \\ & 5^{x} = \dfrac{4}{100} \\ & 5^{x} = \dfrac{1}{25} \\ & 5^{x} = \dfrac{1}{5^{2}} \\ & 5^{x} = 5^{(-2)} \\ & x = -2 \end{aligned}$

(Jawaban A)