Turunan - 2.2 Turunan (Kalkulus)

Contents

• 1 Pencarian Turunan
• 2 Bentuk-bentuk Setara untuk Turunan
• 3 Keterdiferensiasian Mengimplikasikan Kontinuitas
• 4 Pertambahan
• 5 Lambang Leibniz untuk Turunan
• 6 Grafik Turunan

---

Bab 2: Turunan - KALKULUS
2.1	Dua Masalah dengan Satu Tema
2.2	Turunan
2.3	Aturan Pencarian Turunan
2.4	Turunan Fungsi Trigonometri
2.5	Aturan Rantai
2.6	Turunan Tingkat-Tinggi
2.7	Diferensiasi Implisit
2.8	Laju Terkait
2.9	Diferensial dan Aproksimasi

---

Kau suka membayangkan dirimu mengendalikan nasib, secara sadar merencanakan jalannya hidup sebaik mungkin. Tetapi sebagian besar tidak menyadari seberapa dalam emosimu mendominasi. Itu membuatmu menyimpang ke ide-ide yang menenangkan egomu. Membuatmu melihat bukti-bukti yang mau mengonfirmasi apa yang telah kamu percayai.

You like to imagine yourself in control of your fate, consciously planning the course of your life as best as you can. But you are largely unaware of how deeply your emotions dominate you. They make veer toward ideas that soothe your ego. They make you look for evidence that confirms what you already want to believe.

Robert Greene, "The Laws of Human Nature"

Kita telah melihat bahwa kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat merupakan manifestasi dari pemikiran dasar yang sama. Laju pertumbuhan organisme (biologi), keuntungan marjinal (ekonomi), kepadatan kawat (fisika), dan laju pemisahan (kimia) adalah versi-versi lain dari konsep yang sama.

Pengertian matematis yang baik menyarankan agar kita menelaah konsep ini terlepas dari kosakata yang khusus dan terapan yang beraneka ragam ini. Kita memilih nama netral turunan (derivative). Tambahkan kata itu pada fungsi dan limit sebagai salah satu kunci dalam kalkulus.

Definisi: Turunan

Turunan fungsi $f$ adalah fungsi lain $f'$ (dibaca "f aksen") yang nilainya pada sebarang bilangan $x$ adalah
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$
asalkan limit ini ada dan bukan $\infty$ atau $- \infty$.

Jika limit ini memang ada, dikatakan bahwa $f$ terdiferensiasi di $x$. Pencarian turunan disebut diferensiasi, bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial.

Pencarian Turunan

Kita ilustrasikan dengan beberapa contoh.

Misalkan $f(x) = 13x - 6$. Carilah $f'(4)$.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} f'(4) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(4+h) - f(4)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\left[ 13(4+h) - 6 \right] - \left[ 13(4) - 6 \right]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{13 \cdot \cancel{h}}{\cancel{h}} \\ & = \lim_{h \to 0} 13 \\ & = 13 \end{aligned}$

Jika $f(x) = x^{3} + 7x$, carilah $f'(x)$.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} f'(x) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\left[ (x+h)^{3} + 7(x+h) \right] - \left[ x^{3} + 7x \right]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{3x^{2}h + 3xh^{2} + h^{3} + 7h}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \left( 3x^{2} + 3xh + h^{2} + 7 \right) \\ & = 3x^{2} + 7 \end{aligned}$

Jika $f(x) = 1/x$, carilah $f'(x)$.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} f(x) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{x - (x+h)}{(x+h)x} \cdot \frac{1}{h} \right] \\ & = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{-h}{(x+h)x} \cdot \frac{1}{h} \right] \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{-1}{(x+h)x} \\ & = - \dfrac{1}{x^{2}} \end{aligned}$

Jadi $f'$ adalah fungsi yang diberikan oleh $f'(x) = 1/x^{2}$. Daerah asalnya adalah semua bilangan real kecuali $x=0$.

Cari $F'(x)$ jika $F(x) = \sqrt{x}, {x > 0}$.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} F' & = \lim_{h \to 0} \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \end{aligned}$

Sejauh ini Anda telah memperhatikan bahwa pencarian turunan selalu melibatkan pengambilan limit suatu hasil bagi dengan pembilang dan penyebut keduanya menuju nol. Tugas kita adalah menyederhanakan hasil bagi ini sehingga kita dapat mencoret faktor $h$ dari pembilang dan penyebut, jadi membolehkan kita untuk menghitung limit.

Dalam contoh yang sekarang, ini dapat dilaksanakan dengan merasionalkan pembilang.

$\begin{aligned} F'(x) & = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \right] \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} \\ & = \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} \end{aligned}$

Jadi, $F'$, turunan dari $F$, diberikan oleh $F'(x) = 1/(2 \sqrt{x})$. Daerah asalnya adalah $\left( {0},{\infty} \right)$.

Bentuk-bentuk Setara untuk Turunan

Tidak ada yang keramat tentang penggunaan huruf $h$ dalam mendefinisikan $f'(c)$. Misalkan, perhatikan bahwa

$\begin{aligned} f'(x) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(c+h) - f(c)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(c+p) - f(c)}{p} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(c+s) - f(c)}{s} \end{aligned}$

Perubahan yang lebih radikal, tetapi masih tetap hanya suatu perubahan cara penulisan, mungkin dipahami dengan Gambar 1 dan Gambar 2. Perhatikan bagaimana $x$ menggantikan $c+h$, sehingga $x-c$ menggantikan $h$. Jadi,

$$f'(c) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x) - f(c)}{x-c}$$

Perhatikan bahwa dalam semua kasus, bilangan di mana $f'$ dihitung tidak berubah selama operasi limit.

Gunakan hasil dalam kotak terakhir untuk $g'(c)$ jika $g(c) = 2/(x+3)$.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} g'(c) & = \lim_{x \to c} \dfrac{g(x)-g(c)}{x-c} \\ & = \lim_{x \to c} \dfrac{\frac{2}{x+3} - \frac{2}{c+3}}{x-c} \\ & = \lim_{x \to c} \left[ \frac{2(c+3) - 2(x+3)}{(x+3)(c+3)} \cdot \frac{1}{x-c} \right] \\ & = \lim_{x \to c} \left[ \frac{-2(x-c)}{(x+3)(c+3)} \cdot \frac{1}{x-c} \right] \\ & = \lim_{x \to c} \dfrac{-2}{(x+3)(c+3)} \\ & = \dfrac{-2}{(c+3)^{2}} \end{aligned}$

Di sini kita memanipulasikan hasil bagi sampai kita dapat mencoret suatu faktor $x-c$ dari pembilang dan penyebut. Kemudian kita dapat menghitung limit tersebut.

Masing-masing yang berikut adalah suatu turunan, tetapi dari fungsi apa dan di titik mana?

1. $\begin{aligned} \lim_{h \to 0} \frac{(4+h)^{2} - 16}{h} \end{aligned}$
2. $\begin{aligned} \lim_{x \to 3} \dfrac{\frac{2}{x} - \frac{2}{3}}{x-3} \end{aligned}$

PENYELESAIAN.

1. Ini adalah turunan dari $f(x) = x^{2}$ di $x=4$.
2. Ini adalah turunan dari $f(x) = 2/x$ di $x=3$.

Keterdiferensiasian Mengimplikasikan Kontinuitas

Jika sebuah kurva mempunyai sebuah garis singgung di sebuah titik, maka kurva itu tidak mungkin melompat atau sangat berayun di titik tersebut. Perumusan yang presisi dari fakta ini merupakan sebuah teorema penting.

Teorema A: Keterdiferensiasian Mengimplikasikan Kontinuitas

Jika $f'(c)$ ada maka $f$ kontinu di $c$.

Bukti Kita perlu memperlihatkan bahwa $\begin{aligned} \lim_{x \to c} f(x) = f(c) \end{aligned}$. Kita mulai dengan menuliskan $f(x)$ dalam cara khas,

${ f(x) = f(c) + \dfrac{f(x) - f(c)}{x-c} \cdot (x-c) } , {x \neq c} $

Karenanya,

$\begin{aligned} \lim_{x \to c} f(x) & = \lim_{x \to c} \left[ f(c) + \frac{f(x) - f(c)}{x-c} \cdot (x-c) \right] \\ & = \lim_{x \to c} f(c) + \lim_{x \to c} \dfrac{f(x) - f(c)}{x-c} \cdot \lim_{x \to c} (x-c) \\ & = f(c) + f'(c) \cdot 0 \\ & = f(c) \end{aligned}$

Kebalikan dari teorema ini tidak benar. Jika fungsi $f$ kontinu di $c$, maka tidak berati bahwa $f$ mempunyai turunan di $c$. Ini dengan mudah dapat dilihat dengan melihat $f(x) = \lvert x \rvert$ di titik-asal (Gambar 3).

Fungsi ini pasti kontinu di nol. Namun tidak mempunyai turunan di sana, seperti yang kita tunjukkan sekarang. Perhatikan bahwa

$\dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \dfrac{\lvert 0 + h \rvert - \lvert 0 \rvert}{h} = \dfrac{\lvert h \rvert}{h}$

Jadi,

$\begin{aligned} \lim_{h \to 0^{+}} \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} & = \lim_{h \to 0^{+}} \dfrac{\lvert h \rvert}{h} \\ & = \lim_{h \to 0^{+}} \dfrac{h}{h} \\ & = 1 \end{aligned}$

Sedangkan,

$\begin{aligned} \lim_{h \to 0^{-}} \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} & = \lim_{h \to 0^{-}} \dfrac{\lvert h \rvert}{h} \\ & = \lim_{h \to 0^{-}} \dfrac{-h}{h} \\ & = -1 \end{aligned}$

Karena limit kanan dan limit kiri berlainan,

$\begin{aligned} \lim_{h \to 0} \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} \end{aligned}$

tidak ada. Karena itu, $f'(0)$ tidak ada.

Argumentasi serupa menunjukkan bahwa di sebarang titik di mana grafik suatu fungsi kontinu mempunyai pojok yang tajam maka fungsi tersebut tidak terdefinisikan. Grafik dalam Gambar 4 menunjukkan sejumlah cara untuk suatu fungsi agar tidak terdiferensiasikan di suatu titik.

Kita tegaskan dalam Gambar 4 bahwa turunan tidak ada di titik $c$, titik tempat garis singgung tegak. Ini disebabkan oleh

$\begin{aligned} \lim_{h \to 0} \dfrac{f(c+h) - f(c)}{h} = \infty \end{aligned}$

Hal ini berhubungan dengan fakta bahwa kemiringan suatu garis tegak tidak terdefinisi.

Pertambahan

Jika nilai suatu variabel berubah dari $x_{1}$ ke $x_{2}$, maka $x_{1} - x_{2}$, perubahan dalam $x$, disebut pertambahan (increment) $x$, dan biasanya dinyatakan oleh $\triangle x$ (dibaca "delta x"). Perhatikan bahwa $\triangle x$ tidak berarti $\triangle$ kali $x$.

Jika $x_{1} = {4,1}$ dan $x_{2} = {5,7}$ maka

$\begin{aligned} \triangle x & = x_{2} - x_{1} \\ & = {5,7} - {4,1} \\ & = {1,6} \end{aligned}$

Jika $x_{1} = c$ dan $x_{2} = c+h$, maka

$\begin{aligned} \triangle x & = x_{2} - x_{1} \\ & = c + h - c \\ & = h \end{aligned}$

Berikutnya misalkan $y = f(x)$ menentukan suatu fungsi. Jika $x$ berubah dari $x_{1}$ ke $x_{2}$ maka $y$ berubah dari $y_{1} = f(x_{1})$ ke $y_{2} = f(x_{2})$. Jadi, berkorespondensi terhadap pertambahan $\triangle x = x_{2} - x_{1}$ dalam $x$, terdapat suatu pertambahan dalam $y$ yang diberikan oleh

$\triangle y = y_{2} - y_{1} = f(x_{2}) - f(x_{1}) $

Misalkan $y = f(x) = 2 - x^{2}$. Cari $\triangle y$ ketika $x$ berubah dari 0,4 ke 1,3 (lihat Gambar 5).

$\begin{aligned} \triangle y & = f(1,3) - f(0,4) \\ & = \left[ 2 - (1,3)^{2} \right] - \left[ 2 - (0,4)^{2} \right] \\ & = -{1,53} \end{aligned}$

Lambang Leibniz untuk Turunan

Misalkan sekarang bahwa variabel bebas berubah dari $x$ ke $x + \triangle x$. Perubahan yang berkorespondensi dalam variabel tak-bebas $y$, akan berupa

$\triangle y = f(x + \triangle x) - f(x) $

dan hasil bagi

$\dfrac{\triangle y}{\triangle x} = \dfrac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x}$

menggunakan kemiringan sebuah garis sekan yang melalui $\left( {x},{f(x)} \right)$, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 6. Ketika $\triangle x \to 0$, kemiringan garis sekan ini mendekati kemiringan garis singgung, dan untuk kemiringan garis singgung kita menggunakan lambang $dy/dx$. Sehingga,

$\begin{aligned} \dfrac{dy}{dx} & = \lim_{\triangle x \to 0} \dfrac{\triangle y}{\triangle x} \\ & = \lim_{\triangle x \to 0} \dfrac{f(x + \triangle x) - f(x)}{\triangle x} \\ & = f'(x) \end{aligned}$

Gottfried Wilhelm Leibniz, sezaman dengan Isaac Newton, menyebut $dy/dx$ suatu hasil bagi dari dua bilangan yang sangat kecil. Arti perkataan sangat kecil (infinitesimal) tidak jelas dan kita tidak akan menggunakannya. Namun $dy/dx$ merupakan lambang baku untuk turunan; kita akan sering menggunakannya sejak saat ini.

Grafik Turunan

Turunan $f'(x)$ memberikan kemiringan garis singgung terhadap grafik $y = f(x)$ pada nilai $x$. Jadi ketika garis singgung miring naik ke kanan, turunan positif, dan ketika garis singgung miring turun ke kiri, turunan negatif. Karenanya kita dapat memperoleh gambaran kasar dari turunan hanya dengan mengetahui grafik fungsi.

Diketahui grafik $y = f(x)$ yang diperlihatkan dalam bagian yang pertama Gambar 7, gambarkan grafik turunan $f'(x)$.

PENYELESAIAN. Untuk $x < 0$, garis singgung terhadap grafik $y = f(x)$ mempunyai kemiringan positif. Perhitungan kasar dari plot menyarankan bahwa ketika $x = -2$, kemiringan sekitar 3. Ketika kita bergerak dari kiri ke kanan di sepanjang kurva dalam Gambar 7, kita lihat bahwa kemiringan masih tetap positif (untuk sementara) tetapi bahwa garis singgung menjadi semakin mendatar.

Ketika $x=0$, garis singgung mendatar, memberitahu kita bahwa $f'(0) = 0$. Untuk $x$ di antara 0 dan 2, garis singgung mempunyai kemiringan negatif di sepanjang interval ini. Ketika $x=2$, lagi-lagi kita berada pada sebuah titik dengan garis singgung mendatar, sehingga turunan sama dengan nol ketika $x=2$. Untuk $x > 2$, garis singgung mempunyai kemiringan positif lagi. Grafik turunan $f'(x)$ diperlihatkan dalam bagian terakhir dari Gambar 7.

Literature Review:

[1] Varberg, Rigdon, and Purcell, Kalkulus Edisi 1 Jilid 9 (Jakarta: Penerbit Erlangga).