Turunan Tingkat-Tinggi - 2.6 Turunan (Kalkulus)

Contents

• 1 Kecepatan dan Percepatan
• 2 Masalah Benda Jatuh

---

Bab 2: Turunan - KALKULUS
2.1	Dua Masalah dengan Satu Tema
2.2	Turunan
2.3	Aturan Pencarian Turunan
2.4	Turunan Fungsi Trigonometri
2.5	Aturan Rantai
2.6	Turunan Tingkat-Tinggi
2.7	Diferensiasi Implisit
2.8	Laju Terkait
2.9	Diferensial dan Aproksimasi

---

Apa itu kebaikan? Segala sesuatu yang meningkatkan perasaan berkuasa dalam diri manusia, keinginan untuk berkuasa, kekuasaan itu sendiri.

What is good? Everything that heightens the feeling of power in man, the will to power, power itself.

Friedrich Nietzsche, "The Antichrist"

Operasi diferensiasi mengambil sebuah fungsi $f$ dan menghasilkan sebuah fungsi baru $f'$. Jika $f'$ sekarang kita diferensiasikan, kita masih tetap menghasilkan fungsi lain, dinyatakan oleh $f"$ (dibaca "f dua aksen") dan disebut turunan kedua dari $f$.

Pada gilirannya dia boleh dideferensiasikan lagi, dengan demikian menghasilkan $f'''$, yang disebut turunan ketiga dari $f$. Turunan keempat dinyatakan $f^{(4)}$, turunan kelima dinyatakan $f^{(5)}$, dan seterusnya.

Jika, sebagai contoh,

$$ f(x) = 2x^{3} - 4x^{2} + 7x - 8 $$

maka,

$\begin{aligned} f'(x) & = 6x^{2} - 8x + 7 \\ f"(x) & = 12x - 8 \\ f'''(x) & = 12 \\ f^{(4)}(x) & = 0 \end{aligned}$

Karena turunan fungsi nol adalah nol, maka turunan keempat dan semua turunan tingkat yang lebih tinggi (higher-order derivative) dari $f$ akan nol.

Kita telah memperkenalkan tiga cara penulisan untuk turunan (sekarang disebut turunan pertama) dari $y = f(x)$. Notasinya adalah

$$f'(x) ~ , ~ D_{x}y ~ , ~ \frac{dy}{dx}$$

masing-masing disebut notasi aksen, notasi D, dan notasi Leibniz. Terdapat suatu variasi dari cara penulisan aksen - yakni $y'$ - yang kadang kala akan kita gunakan juga.

Semua cara penulisan ini mempunyai perluasan untuk turunan-turunan tingkat tingi, seperti diperlihatkan dalam tabel yang menyertai. Khususnya perhatikan notasi Leibniz, yang - walaupun rumit - kelihatannya paling cocok untuk Leibniz. Yang, menurutnya lebih wajar daripada menuliskan

$$\frac{d}{dx} ~ \text{sebagai} ~ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$$

Notasi Leibniz untuk turunan kedua dibaca turunan kedua dari y terhadap x.

Jika $y = \sin{2x}$, cari $d^{3}y/dx^{3}$, $d^{4}y/dx^{4}$, dan $d^{12}y/dx^{12}$.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} & = 2 \cdot \cos{2x} \\ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} & = -2^{2} \cdot \sin{2x} \\ \frac{d^{3}y}{dx^{3}} & = -2^{3} \cdot \cos{2x} \\ \frac{d^{4}y}{dx^{4}} & = 2^{4} \cdot \sin{2x} \\ \frac{d^{5}y}{dx^{5}} & = 2^{5} \cos{2x} \\ \cdots & \cdots \\ \frac{d^{12}y}{dx^{12}} & = 2^{12} \sin{2x} \end{aligned}$

Kecepatan dan Percepatan

Dalam Subbab 2.1, kita menggunakan pengertian kecepatan sesaat untuk memotivasi definisi turunan. Marilah kita kaji ulang pengertian ini dengan menggunakan sebuah contoh.

Juga, sejak saat ini kita akan menggunakan kata tunggal kecepatan sebagai ganti istilah kecepatan sesaat yang kurang praktis.

Sebuah benda bergerak di sepanjang garis koordinat dehingga posisinya memenuhi $s$ memenuhi $s = 2t^{2} - 12t + 8$, di mana $s$ diukur dalam sentimeter dan $t$ dalam detik dengan $t \ge 0$. Tentukan kecepatan benda ketika $t = 1$ dan ketika $t = 6$. Kapan kecepatannya $0$? Kapan kecepatannya positif?

PENYELESAIAN. Jika kita menggunakan lambang $v(t)$ untuk kecepatan pada saat $t$, maka

$\begin{aligned} v(t) & = \frac{ds}{dt} \\ & = 4t - 12 \end{aligned}$

Jadi,

$\begin{aligned} v(1) & = 4(1) - 12 \\ & = -8 ~ \text{cm/detik} \\ v(6) & = 4(6) - 12 \\ & = 12 ~ \text{cm/detik} \end{aligned}$

Kecepatan $0$ ketika $4t - 12 = 0$, yaitu ketika $t=3$. Kecepatan positif ketika $4t -12 > 0$, atau ketika $t > 3$. Skema diperihatkan dalam Gambar 1.

Tentu saja, benda tersebut bergerak di sepanjang sumbu-$s$, bukan pada jalur berwarna di atasnya. Tetapi jalur warna memperlihatkan apa yang terjadi pada benda itu. Di antara $t=0$ dan $t=3$, kecepatan negatif; benda bergerak ke kiri (mundur).

Pada saat $t = 3$, dia "diperlambat" ke kecepatan nol. Kemudian mulai bergerak ke kanan ketika kecepatannya positif. Jadi, kecepatan berkorespondensi dengan bergerak ke arah bertambahnya $s$. Pembahasan mendalam tentang butir-butir ini akan diberikan dalam Bab 3.

Terdapat perbedaan teknis antara kecepatan ('velocity') dan laju ('speed'). Kecepatan mempunyai tanda; mungkin positif atau negatif. Laju didefinisikan sebagai nilai mutlak dari kecepatan.

Jadi, dalam contoh di atas, laju pada saat $t$ adalah $8 ~ \text{cm/detik}$. Pengukur pada kebanyakan kendaraan adalah pengukur laju; dan selalu memberikan nilai negatif.

Sekarang kita ingin memberikan tafsiran fisik mengenai turunan kedua $d^{2}s/dt^{2}$. Tentu saja, ini hanyalah turunan pertama dari kecepatan. Jadi ia mengukur laju perubahan kecepatan terhadap waktu, yang mempunyai nama percepatan. Jika dinyatakan oleh $a$, maka

$$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^{2}s}{dt^{2}}$$

Dalam Contoh 2, $s = 2t^{2} - 12t + 8$. Jadi

$\begin{aligned} v & = \frac{ds}{dt} \\ & = 4t - 12 \\ a & = \frac{d^{2}s}{dt^{2}} \\ & = 4 \end{aligned}$

Ini berarti bahwa kecepatan bertambah pada suatu tingkat yang tetap sebesar $4 ~ \text{cm/detik}$ setiap detik yang kita tuliskan sebagai $4 ~ \text{cm/detik/detik}$, atau $4 ~ cm/detik^{2}$.

Sebuah benda bergerak di sepanjang garis koordinat mendatar sedemikian rupa sehingga posisinya pada saat $t$ dinyatakan oleh

$s = t^{3} - 12t^{2} + 36t - 30$

Di sini $s$ diukur dalam desimeter dan $t$ dalam detik.

1. Kapan kecepatan 0?
2. Kapan kecepatan positif?
3. Kapan titik itu bergerak mundur (yakni ke kiri)?
4. Kapan percepatannya positif?

PENYELESAIAN.

a): $v = ds/dt = 3t^{2} - 24t + 36 = 3(t-2)(t-6)$. Jadi $v = 0$ pada $t = 2$ dan $t = 6$.
b): $v > 0$ ketika $(t-2)(t-6) > 0$. Kita mempelajari bagaimana memecahkan pertidaksamaan kuadrat dalam Subbab 0.2. Penyelesaiannya adalah $\{ t : t < 2 ~ atau ~ t > 6 \}$ atau dalam notasi interval $({- \infty},{2}) \cup ({6},{\infty})$; lihat Gambar 2.

c): Benda bergerak ke kiri ketika $v < 0$; yaitu ketika $(t-2)(t-6) < 0$. Pertidaksamaan ini mempunyai berupa interval $(2 , 6)$.
d): $a = dv/dt = 6t - 24 = 6 (t-4)$. Jadi $a > 0$ ketika $t > 4$. Gerakan benda secara skematis diperlihatkan dalam Gambar 3.

Masalah Benda Jatuh

Jika sebuah benda dilempar ke atas (atau ke bawah) dari suatu ketinggian awal $s_{0}$ desimeter dengan kecepatan awal $v_{0}$ desimeter/detik dan jika $s$ adalah tingginya di atas tanah dalam desimeter setelah $t$ detik, maka

$$s = -16t^{2} + v_{0}t + s_{0}$$

Ini mengasumsikan bahwa percobaan berlangsung dekat permukaan laut dan bahwa tekanan udara dapat diabaikan. Diagram dalam Gambar 4 melukiskan situasi yang kita bayangkan. Perhatikan kecepatan positif bermakna bahwa benda bergerak ke atas.

Dari puncak sebuah gedung setinggi 160 feet, sebuah bola dilempar ke atas dengan kecepatan awal 64 feet per detik.

1. Kapan bola mencapai ketinggian maksimum?
2. Berapa ketinggian maksimumnya?
3. Kapan bola membentur tanah?
4. Dengan laju berapa bola membentur tanah?
5. Berapa percepatannya pada $t = 2$?

PENYELESAIAN. Misalkan $t = 0$ berkorespondensi dengan saat pada waktu bola dilempar. Maka $s_{0} = 160$ dan $v_{0} = 64$ ($v_{0}$ positif karena bola dilempar ke atas). Jadi

$\begin{aligned} s & = -16t^{2} + 64t + 160 \\ v & = \frac{ds}{dt} \\ & = -32t + 64 \\ a & = \frac{dv}{dt} \\ & = -32 \end{aligned}$

a): Bola mencapai ketinggian maksimum pada waktu kecepatannya 0, yakni ketika $-32t + 64 = 0$ atau ketika $t = 2$ detik.
b): Pada $t = 4$, $s = -16(2)^{2} + 64(2) + 160 = 224 ~ feet$.
c): Bola membentur tanah pada waktu $s = 0$, yakni ketika

$-16t^{2} + 64t + 160 = 0$

Pembagian oleh -16 memberikan

$t^{2} - 4t - 10 = 0$

Maka rumus abc menghasilkan

$\begin{aligned} t & = \dfrac{4 \pm \sqrt{16+40}}{2} \\ & = \dfrac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{2} \\ & = 2 \pm \sqrt{14} \end{aligned}$

Hanya jawaban positif yang masuk akal. Jadi bola membentur tanah pada $t = 2 \pm \sqrt{14} \approx {5,74} ~ detik$.

d): Pada $t = 2 + \sqrt{14}$, $v = -32(2 + \sqrt{14}) + 64 \approx - {119,73}$. Jadi bola membentur tanah pada laju ${119,73} ~ feet/detik$.
e): Percepatan selalu -32 feet per detik per detik. Ini adalah percepatan gravitasi di dekat permukaan laut.

Literature Review:

[1] Varberg, Rigdon, and Purcell, Kalkulus Edisi 1 Jilid 9 (Jakarta: Penerbit Erlangga).