Turunan Fungsi Trigonometri - 2.4 Turunan (Kalkulus)

Contents

• 1 Rumus-rumus Turunan

---

Bab 2: Turunan - KALKULUS
2.1	Dua Masalah dengan Satu Tema
2.2	Turunan
2.3	Aturan Pencarian Turunan
2.4	Turunan Fungsi Trigonometri
2.5	Aturan Rantai
2.6	Turunan Tingkat-Tinggi
2.7	Diferensiasi Implisit
2.8	Laju Terkait
2.9	Diferensial dan Aproksimasi

---

Tinggalkan semua harapan, kau yang masuk ke sini.

Abandon all hope, you who enter here.

Dante Alighieri, "The Divine Comedy: Inferno"

Gambar 1 mengingatkan kita pada definisi fungsi sinus dan kosinus. Dalam yang berikut ini, $t$ harus dibayangkan sebagai bilangan yang mengukur panjang suatu busur pada lingkaran satuan, atau secara setara, sebagai bilangan radian dalam sudut yang berkorespondensi.

Jadi, $f(t) = \sin{t}$ dan $g(t) = \cos{t}$ adalah fungsi-fungsi yang mempunyai daerah asal dan daerah hasil berupa bilangan real. Kita dapat meninjau masalah tentang pencarian turunan-turunannya.

Rumus-rumus Turunan

Kita memilih untuk mwnggunakan $x$ ketimbang $t$ sebagai variabel dasar kita. Untuk mencari $D_{x} \left( \sin{x} \right)$, kita bersandar pada definisi turunan dan menggunakan Identitas Penjumlahan untuk $\sin{(x+h)}$

$\begin{aligned} D_{x} & (\sin{x}) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin(x+h) - \sin{x}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin{x} \cos{h} + \cos{x} \sin{h} - \sin{x}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \left( - \sin{x} \frac{1 - \cos{h}}{h} + \cos{x} \frac{\sin{h}}{h} \right) \\ & = (- \sin{x}) \left[ \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos{h}}{h} \right] + (\cos{x}) \left[ \lim_{h \to 0} \frac{\sin{h}}{h} \right] \end{aligned}$

Perhatikan bahwa dua limit dalam ekspresi yang terakhir adalah limit yang telah kita pelajari di Subbab 1.4. Dalam Teorema 1.4B kita membuktikan bahwa

$\begin{aligned} \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin{h}}{h} = 1 ~ \text{dan} ~ \lim_{h \to 0} \dfrac{1 - \cos{h}}{h} = 0 \end{aligned}$

Jadi,

$\begin{aligned} D_{x} (\sin{x}) & = (- \sin{x}) \cdot 0 + (\cos{x}) \cdot 1 \\ & = \cos{x} \end{aligned}$

Demikian pula,

$\begin{aligned} D_{x} (\cos{x}) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos{(x+h)} - \cos{x}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos{x} \cos{h} - \sin{x} \sin{h} - \cos{x}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \left( - \cos{x} \frac{1 - \cos{h}}{h} - \sin{x} \frac{\sin{h}}{h} \right) \\ & = (- \cos{x}) \cdot 0 - (\sin{x}) \cdot 1 \\ & = - \sin{x} \end{aligned}$

Kita dapat meringkas hasil-hasil ini dalam sebuah teorema penting.

Teorema A:

Fungsi $f(x) = \sin{x}$ dan $g(x) = \cos{x}$ keduanya terdiferensiasikan, dan
$$ D_{x} (\sin{x}) = \cos{x} ~~~ D_{x} (\cos{x}) = - \sin{x} $$

Cari $D_{x} \left( 3 \sin{x} - 2 \cos{x} \right)$.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} D_{x} & \left( 3 \sin{x} - 2 \cos{x} \right) \\ & = 3 D_{x} (\sin{x}) - 2 D_{x} (\cos{x}) \\ & = 3 \cos{x} + 2 \sin{x} \end{aligned}$

Cari persamaan garis singgung pada grafik $y = 3 \sin{x}$ di titik $\left( {\pi} , {0} \right)$ (lihat Gambar 2).

PENYELESAIAN. Turunan adalah $\frac{dy}{dx} = 3 \cos{x}$; sehingga ketika $x = \pi$, kemiringan $3 \cos{\pi} = -3$. Dengan menggunakan bentuk kemiringan-titik untuk garis, kita dapatkan bahwa persamaan garis singgung adalah:

$\begin{aligned} y - 0 & = -3(x - \pi) \\ y & = -3x + 3 \pi \end{aligned}$

Aturan Hasil Kali dan Hasil Bagi bermanfaat ketika menghitung turunan fungsi yang melibatkan fungsi trigonometri.

Carilah $D_{x} (x^{2} \sin{x})$.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} D_{x} (x^{2} \sin{x}) & = x^{2} D_{x} (\sin{x}) + \sin{x} (D_{x} x^{2}) \\ & = x^{2} \cos{x} + 2x \sin{x} \end{aligned}$

Carilah $\dfrac{d}{dx} \left( \frac{1 + \sin{x}}{\cos{x}} \right)$.

PENYELESAIAN. Untuk soal ini, Aturan Hasil Bagi diperlukan.

$\begin{aligned} \dfrac{d}{dx} & \left( \frac{1 + \sin{x}}{\cos{x}} \right) \\ & = \dfrac{\cos{x} \left( \frac{d}{dx} (1 + \sin{x}) \right) - (1 + \sin{x}) \left( \frac{d}{dx} \cos{x} \right)}{\cos^{2}{x}} \\ & = \dfrac{\cos^{2}{x} + \sin{x} + \sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}} \\ & = \dfrac{1 + \sin{x}}{\cos^{2}{x}} \end{aligned}$

Pada saat $t$ detik, pusat sebuah pelampung gabus berada $y = 2 \sin{t}$ sentimeter di atas (atau di bawah) permukaan. Berapa kecepatan pelampung pada ${t=0} , { \pi / 2} , {\pi}$?

PENYELESAIAN. Kecepatan adalah turunan posisi, dan $\frac{dy}{dt} = 2 \cos{t}$. Jadi, $t=0$, $\frac{dy}{dx} = 2 \cos{0} = 2$, ketika $t = \pi / 2$, $\frac{dy}{dt} = 2 \cos{\frac{\pi}{2}} = 0$, dan ketika $t = \pi$, $\frac{dy}{dt} = 2 \cos{\pi} = -2$.

Karena fungsi-fungsi tangen, kotangen, sekan dan kosekan didefinisikan dalam bentuk fungsi sinus dan kosinus, turunan fungsi-fungsi ini dapat diperoleh dari Teorema A melalui penerapan Aturan Hasil Bagi. Hasil-hasil diringkas dalam Teorema B.

Teorema B:

Untuk semua titik $x$ di dalam daerah asal fungsi,

• $D_{x} \tan{x} = \sec^{2} x$
• $D_{x} \sec{x} = \sec{x} \tan{x}$
• $D_{x} \cot{x} = - \csc^{2}{x}$
• $D_{x} \csc{x} = - \csc{x} \cot{x}$

Carilah $D_{x} (x^{n} \tan{x}) $ untuk $n \ge 1$.

PENYELESAIAN. Kita terapkan Aturan Hasil Kali bersama dengan Teorema B.

$\begin{aligned} D_{x} & \left( x^{n} \tan{x} \right) \\ & = x^{n} D_{x} (\tan{x}) + \tan{x} \left( D_{x} x^{n} \right) \\ & = x^{n} \sec^{2}{x} + nx^{n-1} \tan{x} \end{aligned}$

Carilah persamaa garis singgung terhadap grafik $y = \tan{x}$ pada titik $\left( {\pi / 4} , {1} \right)$.

PENYELESAIAN. Turunan $y = \tan{x}$ adalah $\frac{dy}{dx} = \sec^{2}{x}$. Ketika $x = \frac{\pi}{4}$, turunan sama dengan $\sec^{2} \frac{\pi}{4} = \left( \dfrac{2}{\sqrt{2}} \right)^{2} = 2$. Jadi garis tersebut mempunyai kemiringan 2 dan melalui $\left( {\pi} , {1} \right)$. Jadi

$\begin{aligned} y - 1 & = 2 \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \\ y & = 2x - \dfrac{\pi}{2} + 1 \end{aligned}$

Carilah semua titik pada grafik $y = \sin^{2}{x}$ yang mempunyai garis singgung mendatar.

PENYELESAIAN. Garis singgung adalah mendatar ketika turunan sama dengan nol. Untuk memperoleh turunan dari $\sin^{2}{x}$, kita gunakan Aturan Hasil Kali.

$\begin{aligned} \frac{d}{dx} \sin^{2}{x} & = \frac{d}{dx} (\sin{x} \cos{x}) + \sin{x} \cos{x} \\ & = 2 \sin{x} \cos{x} \end{aligned}$

Hasil kali $\sin{x}$ dan $\cos{x}$ sama dengan nol ketika salah satu $\sin{x}$ atau $\cos{x}$ sama dengan nol; yakni pada $x = {0} , {\pm \frac{\pi}{2}} , {\pm \pi} , {\pm \frac{3 \pi}{2}} , {\cdots} $.

Literature Review:

[1] Varberg, Rigdon, and Purcell, Kalkulus Edisi 1 Jilid 9 (Jakarta: Penerbit Erlangga).