Teorema Nilai Rataan untuk Turunan - 3.6 Aplikasi Turunan (Kalkulus)
Kita dibentuk oleh buah pikiran; kita menjadi apa yang kita pikirkan. Saat si pikiran murni, sukacita mengikuti, bagai bayangan yang tidak pernah meninggalkan.
We are shaped by our thoughts; we become what we think. When the mind is pure, joy follows, like a shadow that never leaves.
Dalam bahasa geometri, Teorema Nilai Rataan mudah dinyatakan dan dipahami. Teorema mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak tegak pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik di antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajar tali-busur AB.
Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang demikian; dalam Gambar 2, terdapat beberapa. Pertama kita nyatakan teorema dalam bahasa fungsi; kemudian kita buktikan
Bukti Pembuktian kita berdasarkan analisis seksama dari fungsi $s(x) = f(x) - g(x)$, yang diperkenalkan dalam Gambar 3. Di sini $y = g(x)$ adalah persamaan garis yang melalui $({a},{f(a)})$ dan $({b},{f(b)})$.
Karena garis ini mempunyai kemiringan $[f(b) - f(a)]/(b-a)$ dan melalui titik $({a},{f(a)})$, bentuk kemiringan-titik untuk persamaannya adalah
Ini kemudian menghasilkan rumus untuk $s(x)$:
Perhatikan dengan segera bahwa $s(b) = s(a) = 0$ dan bahwa untuk $x$ dalam $({a},{b})$
Sekarang kita membuat suatu pengamatan penting. Jika kita ketahui bahwa terdapat suatu bilangan $c$ dalam $({a},{b})$ yang memenuhi $s'(c) = 0$, kita akan selesai. Karena persamaan yang terakhir mengatakan bahwa
yang setara terhadap kesimpulan teorema tersebut.
Untuk melihat bahwa $s'(c) = 0$ untuk suatu $c$ dalam $({a},{b})$, alasannya sebagai berikut. Jelas $s$ kontinu pada $[{a},{b}]$, karena merupakan selisih dua fungsi kontinu.
Jadi menurut Teorema Keberadaan Maks-Min (Teorema 3.1A), $s$ harus mencapai baik nilai maksimum ataupun nilai minimum pada $[{a},{b}]$. Jika kedua nilai ini kebetulan adalah 0, maka $s(x)$ secara identik adalah 0 pada $[{a},{b}]$, akibatnya $s'(x) = 0$ untuk semua $x$ dalam $({a},{b})$, jauh lebih banyak daripada yang kita perlukan.
Jika salah satu nilai maksimum atau nilai minimum berlainan dengan 0, maka nilai tersebut dicapai pada sebuah titik dalam $c$, karena $s(a) = s(b) = 0$. Sekarang $s$ mempunyai turunan di setiap titik dari $({a},{b})$, sehingga menurut Teorema Titik Kritis (Teorema 3.1B), $s'(c) = 0$.
Itulah semua yang kita perlukan untuk diketahui.
Penjelasan Teorema Nilai Rataan
Carilah bilangan $c$ yang dijamin oleh Teorema Nilai Rataan untuk $f(x) = 2 \sqrt{x}$ pada [1, 4].
PENYELESAIAN.
dan
Jadi kita harus menyelesaikan
Penyelesaian tunggalnya adalah $c = \frac{9}{4}$ (Gambar 4).
Misalkan $f(x) = x^{3} - x^{2} - x + 1$ pada [-1, 2]. Carilah semua bilangan yang memenuhi kesimpulan terhadap Teorema Nilai Rataan.
PENYELESAIAN. Gambar 5 memperlihatkan grafik fungsi $f$. Dari grafik ini, tampak terdapat dua bilangan $c_{1}$ dan $c_{2}$ dengan sifat yang disyaratkan. Sekarang kita cari
dan
Karena itu, kita harus menyelesaikan
Dari rumus abc untuk persamaan kuadrat, terdapat dua penyelesaian $(2 \pm \sqrt{4 + 24})/6$ yang berpadanan terhadap $c_{1} \approx -{0,55}$ dan $c_{2} \approx {1,22}$. Kedua bilangan tersebut berada dalam interval (-1, 2).
Misalkan $f(x) = x^{2/3}$ pada [-8, 27]. Perlihatkan bahwa kesimpulan terhadap Teorema Nilai Rataan gagal dan jelaskan mengapa demikian.
PENYELESAIAN.
dan
Kita harus menyelesaikan
yang memberikan
Tetapi $c = 102$ tidak pada interval (-8, 27) seperti disyaratkan. Seperti disarankan oleh grafik $y = f(x)$ (Gambar 6), $f'(0)$ gagal ada, sehingga masalahnya adalah bahwa $f(x)$ tidak terdiferensiasikan di mana-mana pada (-8, 27).
Jika fungsi $s(t)$ merepresentasikan posisi obyek pada saat $t$, maka Teorema Nilai Rataan menyatakan bahwa dalam suatu interval waktu, terdapat suatu waktu di mana kecepatan sesaat sama dengan kecepatan rata-rata.
Misalkan bahwa sebuah benda mempunyai fungsi posisi $s(t) = t^{2} - t - 2$. Carilah kecepatan rata-rata pada interval [3, 6] dan carilah waktu ketika kecepatan sesaat sama dengan kecepatan rata-rata.
PENYELESAIAN. Kecepatan rata-rata pada interval [3, 6] sama dengan $(s(6) - s(3))/(6 - 3) = 8$. Kecepatan sesaat adalah $s'(t) = 2t - 1$.
Untuk mencari titik di mana kecepatan rata-rata sama dengan kecepatan sesaat, kita samakan $8 = 2t - 1$ dan memecahkannya untuk mendapatkan $t = 9/2$.
Teorema Digunakan
Dalam Subbab 3.2, kita menjanjikan pembuktian yang cermat dari Teorema Kemonotonan (Teorema 3.2A). Ini adalah teorema yang mengaitkan tanda turunan suatu fungsi dengan menaik atau menurunnya fungsi tersebut.
Bukti Teorema Kemonotonan Kita misalkan $f$ kontinu pada $I$ dan $f'(x) > 0$ di setiap titik $x$ di bagian dalam $I$.
Pandang dua titik sembarang $x_{1}$ dan $x_{2}$ dari $I$ dengan $x_{1} < x_{2}$. Menurut Teorema Nilai Rataan yang diterapkan pada interval $[{x_{1}},{x_{2}}]$, terdapat sebuah bilangan $c$ dalam $({x_{1}},{x_{2}})$ yang memenuhi
Karena $f'(c) > 0$, kita lihat bahwa $f(x_{2}) - f(x_{1}) > 0$ yakni $f(x_{2}) > f(x_{1})$. Inilah apa yang kita maksudkan pada waktu kita mengatakan $f$ adalah pada $I$.
Kasus $f'(x) < 0$ pada $I$ ditangani dengan cara yang sama.
Teorema kita yang berikut akan digunakan secara berulang-ulang dalam bab ini dan bab berikutnya. Dalam kata-kata, teorema ini menyatakan bahwa dua fungsi dengan turunan sama dibedakan, kemungkinan oleh konstanta nol (lihat Gambar 7).
Bukti Misalkan $H(x) = F(x) - G(x)$. Maka
untuk semua $x$ dalam $({a},{b})$. Pilih $x_{1}$ sebagai suatu titik (tetap) dalam $({a},{b})$ dan misalkan $x$ sebarang titik lain di sana. Fungsi $H$ memenuhi hipotesis Teorema Nilai Rataan pada interval tertutup dengan titik-titik ujung $x_{1}$ dan $x$. Jadi terdapat sebuah bilangan $c$ di antara $x_{1}$ dan $x$ sedemikian rupa sehingga
Tetapi menurut hipotesis $H'(c) = 0$. Karena itu $H(x) - H(x_{1}) = 0$ atau $H(x) = H(x_{1})$ untuk semua $x$ dalam $({a},{b})$. Karena $H(x) = F(x) - G(x)$, kita simpulkan bahwa $F(x) - G(x) = H(x_{1})$. Sekarang misalkan $C = H(x_{1})$, dan kita mempunyai kesimpulan $F(x) = G(x) + C$.