Soal-soal Praktis - 3.4 Aplikasi Turunan (Kalkulus)

Contents

• 1 Kuadrat Terkecil (Pilihan)
• 2 Aplikasi Ekonomi (Pilihan)
• 3 Penggunaan Kata Marjinal

---

Bab 3: Aplikasi Turunan - KALKULUS
3.1	Maksimum dan Minimum
3.2	Kemonotonan dan Kecekungan
3.3	Ekstrim Lokal dan Ekstrim pada Interval Terbuka
3.4	Soal-soal Praktis
3.5	Penggambaran Grafik Menggunakan Kalkulus
3.6	Teorema Nilai Rataan untuk Turunan
3.7	Menyelesaikan Persamaan secara Numerik
3.8	Anti-turunan

---

Jenius berada hanya satu tingkat di atas kegilaan.

Genius lives only one storey above madness.

Arthur Schopenhauer, "Parerga and Paralipomena: Short Philosophical Essays"

Berdasarkan pada contoh dan teori yang dikembangkan dalam tiga subbab pertama dari bab ini, kami menyarankan metode langkah demi langkah berikut yang dapat diterapkan dalam banyak optimasi praktis.

Jangan mengikuti secara membabi buta; kadang-kadang kita perlu pendekatan lain atau penghilangan beberapa langkah.

Langkah 1: Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel-variabel yang sesuai untuk besaran-besaran penting.

Langkah 2: Tuliskan rumus untuk fungsi tujuan $Q$ yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variabel-variabel dari Langkah 1.

Langkah 3: Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variabel-variabel ini dan karenanya menyatakan $Q$ sebagai fungsi dari variabel tunggal.

Langkah 4: Carilah titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular).

Langkah 5: Substitusikan nilai-nilai kritis ke dalam fungsi tujuan atau gunakan teori dari subbab sebelumnya (yaitu Uji Turunan Pertama dan Kedua) untuk menentukan maksimum atau minimum.

Selalu gunakan intuisi Anda untuk memperoleh gagasan tentang apa seharusnya bentuk penyelesaian masalahnya. Untuk banyak masalah fisik Anda dapat memperoleh suatu estimasi "kasar" dari nilai optimal sebelum Anda mulai melaksanakan rincian.

Kotak segiempat akan dibuat dari selembar papan, panjang 24 inci dan lebar 9 inci, dengan memotong segiempat identik pada keempat pojok dan melipat ke atas sisi-sisinya, seperti dalam Gambar 1. Cari ukuran kotak yang volumenya maksimum. Berapa volume maksimumnya?

PENYELESAIAN. Misalkan $x$ adalah sisi segiempat yang harus dipotong dan $V$ adalah volume kotak yang dihasilkan. Maka

$\begin{aligned} V & = x(9-2x)(24-2x) \\ & = 216x - 66x^{2} + 4x^{3} \end{aligned}$

Sekarang $x$ tidak dapat lebih kecil dari 0 ataupun lebih besar dari 4,5. Jadi masalah kita adalah memaksimumkan $V$ pada [0 ; 4,5]. Titik stasioner ditemukan dengan menetapkan $dV/dx$ sama dengan nol dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan:

$\begin{aligned} & \dfrac{dV}{dx} \\ & = 216 - 132x + 12x^{2} \\ & = 12(18 - 11x + x^{2}) \\ & = 12(9-x)(2-x) = 0 \end{aligned}$

Ini memberikan $x=2$ atau $x=9$, tetapi 9 tidak berada di dalam interval [0 ; 4,5]. Kita lihat bahwa hanya terdapat tiga titik kritis yaitu 0, 2, dan 4,5.

Pada titik-titik ujung 0 dan 4,5; $V=0$; pada 2; $V = 200$. Kita simpulkan bahwa kotak mempunyai volume maksimum 200 inci kubik jika $x=2$, yakni jika kotak berukuran panjang 20 inci, lebar 5 inci, dan tinggi 2 inci.

Sebaiknya kita membuat plot fungsi tujuan. Ini dapat dilakukan secara mudah dengan kalkulator grafik atau CAS.

Gambar 2 memperlihatkan plot fungsi $V(x) = 216x - 66x^{2} + 4x^{3}$. Ketika $x = 0$, $V(x)$ sama dengan nol. Dalam konteks pelipatan kotak, ini bermakna bahwa lebar potongan pojongan adalah nol, tidak ada yang dilipat, sehingga volume nol. Juga ketika $x = {4,5}$ , papan dilipat separuh, sehingga tidak ada alas untuk kotak; kotak ini juga akan mempunyai volume nol. Jad, $V(0) = 0$ dan $V(4,5) = 0$.

Volume terbesar haruslah dicapai untuk suatu nilai $x$ antara 0 dan 4,5. Grafik menyarankan bahwa volume maksimum terjadi ketika $x$ adalah sekitar 2; dengan menggunakan kalkulus, kita dapat menentukan bahwa nilai eksak $x$ yangb memamksimumkan volume kotak adalah $x=2$.

Seorang petani mempunyai 100 meter kawat yang akan dipergunakan membuat dua kandang identik yang berdampingan, seperti diperlihatkan dalam Gambar 3. Berapa ukuran keliling yang mempunyai luas maksimum?

PENYELESAIAN. Misalkan $x$ adalah lebar dan $y$ adalah panjang kawat, keduanya dalam meter. Karena tersedia 100 meter kawat, maka $3x + 2y = 100$; yakni

$y = 50 - \dfrac{3}{2}x$

Luas total A diberikan oleh

$\begin{aligned} A & = xy \\ & = 50x - \dfrac{3}{2} x^{2} \end{aligned}$

Karena harus terdapat tiga sisi dengan panjang $x$, kita lihat bahwa $0 \le x \le \frac{100}{3}$. Jadi masalah kita adalah memaksimumkan A pada pada $\left[ {0},{\frac{100}{3}} \right]$. Sekarang

$\frac{dA}{dx} = 50 -3x$

Ketika kita tetapkan $50 - 3x$ sama dengan 0, dan menyelesaikannya, kita peroleh $x = \frac{50}{3}$ sebagai titik stasioner. Jadi terdapat tiga titik kritis 0, $\frac{50}{3}$, dan $\frac{100}{3}$.

Kedua titik ujung 0 dan $\frac{100}{3}$ memberikan $A=0$, sedangkan $x = \frac{50}{3}$ menghasilkan $A \approx {416,67}$. Ukuran yang diinginkan adalah $x = \frac{50}{3} \approx {16,67} ~ meter$ dan $y = 50 - \frac{3}{2} \left( \frac{50}{3} \right) = 25 ~ meter$.

$\boxed{\approx}$ Apakah jawaban ini masuk akal? Ya. Kita seharusnya menggunakan lebih banyak kawat yang diberikan dalam arah-y ketimbang arah-x karena arah-y dipasangi kawat hanya dua kali, sedangkan arah-x tiga kali.

Carilah ukuran-ukuran silinder tegak dengan volume sebesar mungkin yang dapat diletakkan di dalam sebuah kerucut lingkaran tegak.

PENYELESAIAN. Misalkan $a$ tinggi dan $b$ jari-jari dari alas kerucut yang diketahui (dua-duanya konstanta). Nyatakan tinggi, jari-jari dan volume dari silinder yang dimasukkan, masing-masing sebagai $h$, $r$, dan $V$ (lihat Gambar 4).

$\boxed{\approx}$ Sebelum melanjutkan, marilah kita terapkan beberapa intuisi. Jika jari-jari silinder dekat terhadap jari-jari alas kerucut, maka volume silinder akan dekat ke nol. Sekarang bayangkan silinder yang dimasukkan dengan tinggi yang membesar, tetapi jari-jari mengecil.

Pada awalnya volume akan membesar dari nol, tetapi kemudian akan mengecil ke nol ketika tinggi silinder menjadi dekat ke tinggi kerucut. Secara intuisi, volume seharusnya memuncak untuk suatu silinder.

Karena jari-jari diperlukan dalam rumus volume, dia diperhitungkan lebih besar daripada tinggi dan kita mengharapkan $r > h$ pada maksimum.

Volume silinder yang dimasukkan adalah

$V = \pi r^{2} h$

Dari segitiga-segitiga sebangun,

$\dfrac{a-h}{r} = \frac{a}{b}$

yang memberikan

$h = a - \frac{a}{b} r$

Ketika kita mensubstitusikan ekspresi untuk $h$ ini dalam rumus $V$, kita peroleh

$\begin{aligned} V & = \pi r^{2} \left( a - \frac{a}{b} r \right) \\ & = \pi a r^{2} - \pi \frac{a}{b} r^{3} \end{aligned}$

Kita ingin memaksimumkan $V$ untuk $r$ dalam interval $[{0},{b}]$. Sekarang

$\begin{aligned} \frac{dV}{dr} & = 2 \pi a r - 3 \pi \frac{a}{b} r^{2} \\ & = \pi a r \left( 2 - \frac{3}{b} r \right) \end{aligned}$

Ini menghasilkan titik stasioner $r=0$ dan $r = 2b/3$, yang memberikan tiga titik kritis pada $[{0},{b}]$ yang harus ditinjau: ${0},{2b/3},{dan ~ b}$. Seperti diharapkan, $r=0$ dan $r = b$ keduanya memberikan volume 0. Jadi, $r=2b/3$ harus memberikan volume maksimum.

Ketika kita substitusikan nilai untuk $r$ ini dalam persamaan yang menghubungkan $r$ dan $h$, kita temukan bahwa $h = a/3$. Dalam perkataan lain, silinder yang dimasukkan mempunyai volume terbesar ketika jari-jarinya adalah dua-pertiga jari-jari alas kerucut dan tingginya sepertiga tinggi kerucut.

Misalkan seekor ikan berenang ke hulu dengan kecepatan $v$ relatif terhadap air dan aliran air mempunyai kepadatan $-v_{c}$ (tanda negatif menunjukkan bahwa ara aliran air berlawanan dengan ikan). Energi yang dihabiskan untuk memperoleh untuk menempuh jarak $d$ ke hulu sungai berbanding lurus dengan waktu yang diperlukan untuk menempuh $d$ dan pangkat tiga dari kecepatan. Berapa kecepatan $v$ yang memerlukan energi minimum untuk menempuh jarak itu?

PENYELESAIAN. Gambar 5 mengilustrasikan situasi. Karena kecepatan ikan ke hulu (yaitu relatif terhadap terhadap tepi sungai) adalah $v - v_{c}$, kita mempunyai $d = (v - v_{c})t$, dengan $t$ adalah waktu yang diperlukan.

Jadi $t = d/(v - v_{c})$. Untuk suatu nilai $v$ tetap, energi yang diperlukan ikan untuk menempuh jarak $d$ adalah

$\begin{aligned} E(v) & = k \dfrac{d}{v - v_{c}} v^{3} \\ & = kd \dfrac{v^{3}}{v - v_{c}} \end{aligned}$

Daerah asal fungsi E adalah interval terbuka $({v_{c}},{\infty})$. Untuk mencari nilai $v$ yang meminimumkan energi yang diperlukan kita tetapkan $E'(v) = 0$ dan menyelesaikan untuk $v$:

$\begin{aligned} E'(v) & = kd \dfrac{(v - v_{c})3v^{2} - v^{3}(1)}{(v - v_{c})^{2}} \\ & = \dfrac{kd}{(v - v_{c})^{2}} v^{2} (2v - 3v_{c}) = 0 \end{aligned}$

Titik kritis satu-satunya dalam interval $({v_{c}},{\infty})$ ditemukan dengan cara menyelesaikan $2v - 3v_{c} = 0$, yang menghasilkan $v = \dfrac{3}{2} v_{c}$. Karena interval terbuka maka tidak ada titik ujung yang harus diperiksa.

Tanda $E'(v)$ sepenuhnya tergantung pada ekspresi $2v - 3v_{c}$, karena semua ekspresi lain positif. Jika $v < \dfrac{3}{2} v_{c}$ maka $2v - 3v_{c} < 0$, sehingga $E$ membesar di kanan $\frac{3}{2} v_{c}$.

Jadi menurut Uji Turunan Pertama, $v = \frac{3}{2} v_{c}$ menghasilkan minimum lokal. Karena ini adalah titik kritis satu-satunya pada interval $({v_{c}},{\infty})$, ini haruslah memberikan minimum global. Karena itu kecepatan yang meminimumkan energi yang dihabiskan adalah satu setengah kali laju aliran.

Sebuah gang sebesar 6 feet memiliki belokan siku-siku. Berapakah tiang terpanjang yang dapat dibawa melewati belokan itu dengan anggapan Anda tidak boleh memiringkan tiang itu?

PENYELESAIAN. Tiang yang dapat melewati belokan akan menyentuh tembok sebelah luar sama seperti tembok sebelah dalam. Seperti diberikan dalam Gambar 6, misalkan $a$ dan $b$ menyatakan panjang ruas $AB$ dan $AC$, dan misalkan $\theta$ menyatakan sudut-sudut $\angle DBA$ dan $\angle FCB$.

Tinjau dua segitiga siku-siku sebangun $\triangle ADB$ dan $\triangle BFC$; masing-masing mempunyai sisi miring $a$ dan $b$. Sedikit penerapan ilmu ukur segitiga pada sudut-sudut ini memberikan

$\begin{aligned} a & = \dfrac{6}{\cos{\theta}} \\ & = 6 \sec{\theta} \\ & \text{dan} \\ b & = \dfrac{6}{\sin{\theta}} \\ & = 6 \csc{\theta} \end{aligned}$

Perhatikan bahwa sudut $\theta$ menentukan posisi tiang. Karena itu panjang total tiang dalam Gambar 6 adalah

$\begin{aligned} L(\theta) & = a+b \\ & = 6 \sec{\theta} + 6 \csc{\theta} \end{aligned}$

Daerah asal untuk $\theta$ adalah interval terbuka $({0},{\pi / 2})$. Turunan $L$ adalah

$\begin{aligned} L'(\theta) & = 6 \sec{\theta} \tan{\theta} - 6 \csc{\theta} \cot{\theta} \\ & = 6 \left( \frac{\sin{\theta}}{\cos^{2}{\theta}} - \frac{\cos{\theta}}{\sin^{2}{\theta}} \right) \\ & = 6 \dfrac{\sin^{3}{\theta} - \cos^{3}{\theta}}{\sin^{2}{\theta} \cos^{2}{\theta}} \end{aligned}$

Jadi $L'(\theta) = 0$ asalkan $\sin^{3}{\theta} - \cos^{3}{\theta} = 0$. Ini berarti $\sin{\theta} = \cos{\theta}$. Satu-satunya sudut dalam $({0},{\pi / 2})$ yang memenuhi $\sin{\theta} = \cos{\theta}$ adalah sudut $\pi / 4$ (lihat Gambar 7). Kita lakukan Uji Turunan Pertama lagi. Jika $0 < \theta < \pi / 4$ maka $\sin{\theta} < \cos{\theta}$ (lihat Gambar 7) sehingga $\sin^{3}{\theta} - \cos^{3}{\theta} < 0$. Jadi $L(\theta)$ menurun pada $({0},{\pi / 4})$.

Jika $\pi / 4 < \theta < \pi / 2$ maka $\sin{\theta} > \cos{\theta}$ sehingga $\sin^{3}{\theta} - \cos^{3}{\theta} > 0$. Jadi $L(\theta)$ menaik pada $({\pi / 4},{\pi / 2})$. Menurut Uji Turunan Pertama, $\theta = \pi / 4$ menghasilkan minimum. Namun soal menanyakan tiang terpendek yang tidak bisa melewati belokan.

Seperti ditunjukkan Gambar 8 di bawah, kita sebenarnya menemukan tiang terpendek yang tidak bisa melewati belokan. Karena itu, tiang terpanjang yang bisa melewati belokan adalah $L(\pi / 4) = 6 \sec{\pi / 4} + 6 \csc{\pi / 4} = 12 \sqrt{2} \approx {16,97} ~ feet$.

Kuadrat Terkecil (Pilihan)

Terdapat sejumlah fenomena fisik, ekonomis, dan sosial di mana sebuah variabel berbanding lurus dengan yang lain. Sebagai contoh, Hukum Newton Kedua mengatakan bahwa gaya $F$ pada obyek bermassa $m$ berbanding lurus dengan percepatannya $a (F = ma)$.

Hukum Hooke mengatakan bahwa gaya yang dipancarkan oleh pegas berbanding lurus dengan jarak peregangannya $(F = kx)$. (Hukum Hooke seringkali ditulis $F = -kx$, di mana tanda minus menunjukkan bahwa gaya berada dalam arah yang berlawanan terhadap peregangan.

Untuk sekarang, kita akan mengabaikan tanda gaya). Biaya pembuatan adalah sebanding terhadap kepadatan lalu-lintas. Ini semua adalah model, dan dalam sebuah percobaan kita akan jarang menemukan bahwa data yang diamati benar-benar pas secara eksak dengan model.

Misalkan bahwa kita mengamati gaya yang dipancarkan oleh pegas ketika teregang sejauh 3 sentimeter (Gambar 9).

Sebagai contoh, ketika kita meregangkan pegas ${0,5}$ sentimeter, kita amati gaya 8 newton, ketika kita meregangkan pegas sejauh ${1,0} ~ cm$, kita amati gaya 17 newton, dan seterusnya.

Gambar 10 memperlihatkan pengamatan tambahan dan Gambar 11 memperlihatkan grafik pasangan terurut $({x_{i}},{y_{i}})$, dengan $x_{i}$ adalah jarak teregang dan $y_{i}$ gaya yang dipancarkan pada pegas. Plot pasangan terurut seperti ini disebut plot sebaran (scatter plot).

Misalkan kita generalisir masalah ini menjadi masalah di mana kita berikan $n$ titik $({x_{1}},{y_{1}})$, $({x_{2}},{y_{2}})$, $\cdots$, $({x_{n}},{y_{n}})$. Tujuan kita adalah mencari garis yang melalui titik asal yang paling cocok untuk titik-titik ini. Sebelum melanjutkan, kita harus mengenal notasi sigma $\left( \sum \right)$.

Lambang $\begin{aligned} \sum \limits_{i=1}^{n}{a_{i}} \end{aligned}$ berarti jumlah dari bilangan-bilangan ${a_{1}},{a_{2}},{\cdots},{a_{n}}$. Misalnya

$\begin{aligned} \sum \limits_{i=1}^{3}{i^{2}} & = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} \\ & = 14 \\ & dan \\ \sum \limits_{i=1}^{n}{x_{i} y_{i}} & = x_{1} y_{2} + x_{2} y_{2} + \cdots + x_{n} y_{n} \end{aligned}$

Dalam kasus kedua, pertama-tama kita perkalikan $x_{i}$ dan $y_{i}$ dan kemudian kita jumlahkan.

Untuk mencari garis yang paling cocok untuk $n$ titik ini, kita harus jelas tentang bagaimana kita mengukur kecocokan tersebut. Garis kecocokan-terbaik (best-fit) kita yang melalui titik asal didefinisikan sebagai garis yang memiminimumkan jumlah kuadrat jarak tegak antara $({x_{i}},{y_{i}})$ dan garis $y = bx$.

Jika $({x_{i}},{y_{i}})$ adalah sebuah titik dalam himpunan data, maka $({x_{i}},{bx_{i}})$ adalah titik pada garis $y = bx$ berada tepat di atas atau di bawah $({x_{i}},{y_{i}})$. Karena itu jarak tegak antara $({x_{i}},{y_{i}})$ dan $({x_{i}},{bx_{i}})$ adalah $({y_{i}},{bx_{i}})$. (Lihat Gambar 12).

Sehingga jarak kuadrat adalah $(y_{i} - bx_{i})^{2}$. Masalahnya adalah mencari nilai $b$ yang meminimumkan jumlah jarak yang dikuadratkan ini. Jika kita definisikan

$$S = \sum \limits_{i=1}^{n}{(y_{i} - bx_{i})^{2}}$$

maka kita harus mencari nilai $b$ yang meminimumkan $S$. Ini adalah masalah peminimuman sama seperti masalah yang kita jumpai sebelumnya. Namun selalu ingat bahwa pasangan terurut $({x_{i}},{y_{i}}) , i = 1,2, \cdots , n$ adalah tetap; variabel dalam maslah ini adalah $b$.

Kita melanjutkan seperti sebelumnya dengan mencari $dS/db$, dengan menetapkan hasilnya sama dengan 0, dan mencari nilai $b$. Karena turunan adalah operator linear, kita mempunyai

$\begin{aligned} \frac{dS}{db} & = \frac{d}{db} \sum \limits_{i=1}^{n}{(y_{i} - bx_{i})^{2}} \\ & = \sum \limits_{i=1}^{n} \frac{d}{db} (y_{i} - bx_{i})^{2} \\ & = \sum \limits_{i=1}^{n} 2 (y_{i} - bx_{i}) \left( \frac{d}{db} (y_{i} - bx_{i}) \right) \\ & = -2 \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} (y_{i} - bx_{i}) \end{aligned}$

Dengan menetapkan hasil ini sama dengan nol dan menyelesaikannnya akan diperoleh

$\begin{aligned} 0 & = -2 \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} (y_{i} - bx_{i}) \\ 0 & = \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} - b \sum \limits_{i=1}^{n} {x_{i}}^{2} \\ b & = \dfrac{\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}}{\sum \limits_{i=1}^{n} {x_{i}}^{2}} \end{aligned}$

Untuk melihat bahwa ini memberikan nilai minimum untuk $S$, kita perhatikan bahwa

$\frac{d^{2}S}{db^{2}} = 2 \sum \limits_{i=1}^{n} {x_{i}}^{2}$

yang selalu positif. Tidak terdapat titik ujung yang harus diperiksa. Jadi menurut Uji Turunan Kedua, kita simpulkan bahwa garis $y = bx$, dengan $b = \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} / \sum \limits_{i=1}^{n} {x_{i}}^{2}$ adalah garis kecocokan-terbaik, dalam pengertian meminimumkan $S$.

Garis $y = bx$ disebut garis kuadrat-terkecil yang melalui titik asal.

Carilah garis kuadrat-terkecil yang melalui titik asal untuk data pegas dalam Gambar 10.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} b & = \dfrac{{0,005} \cdot 8 + {0,010} \cdot 17 + {0,015} \cdot 22 + {0,020} \cdot 32 + {0,025} \cdot 36}{{0,005}^{2} + {0,010}^{2} + {0,015}^{2} + {0,020}^{2} + {0,025}^{2}} \\ & \approx {1512,7} \end{aligned}$

Karena itu garis kuadrat terkecil yang melalui titik asal adalah $y = {1512,7}x$ dan diperlihatkan dalam Gambar 13, karena itu estimasi konstanta pegas adalah $k = {1512,7}$.

Untuk sebagian besar permasalahan penempatan garis, adalah tidak tepat untuk mengasumsikan bahwa garis melalui titik asal. Asumsi yang lebih tepat adalah bahwa $y$ dihubungkan dengan $x$ dengan persamaan $y = a + bx$.

Bagaimana pun, dalam kasus ini, jumlah kuadrat adalah fungsi dari $a$ dan $b$, sehingga kita dihadapkan kepada persoalan untuk meminimumkan fungsi dengan dua variabel, sebuah persoalan yang akan kita bahas dalam jilid kedua dari buku ini.

Aplikasi Ekonomi (Pilihan)

Misalkan sebuah perusahaan, PT ABC. Untuk memudahkan, anggap bahwa ABC menghasilkan dan memasarkan satu jenis barang; mungkin berupa televisi, aki kendaraan, atau batang sabun. Jika ABC menjual $x$ unit barang dalam suatu periode waktu tertentu (misalnya setahun), dia akan mampu membebankan harga, $p(x)$, untuk setiap unit.

Dalam perkataan lain, $p(x)$ adalah harga yang disyaratkan untuk menarik suatu keperlua untuk $x$ unit. Pendapatan total yang diharapkan ABC diberikan oleh $R(x) = x p(x)$, banyak unit kali harga tiap unit. $C(x)$. Ini biasanya berupa jumlah dari biaya tetap (keperluan kantor, pajak bangunan dan sebagainya) ditambah biaya variabel, yang secara langsung tergantung pada banyaknya unit yang diproduksi.

Konsep kunci untuk sebuah perusahaan adalah total laba, $P(x)$. Laba adalah selisih antara pendapatan dan biaya yakni,

$\begin{aligned} P(x) & = R(x) - C(x) \\ & = x p(x) - C(x) \end{aligned}$

Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya.

Terdapat fitur yang cenderung membedakan masalah ilmu ekonomi dengan masalah sains fisik. Dalam kebanyakan kasus, produksi ABC akan berupa satuan-satuan diskrit (Anda tidak dapat membuat atau menjual 8,23 pesawat telivisi atau $\pi$ aki mobil). Jadi, fungsi $R(x) , C(x) , dan ~ P(x)$ pada umumnya didefinisikan hanya untuk $x = {0},{1},{2},{\cdots}$ dan sebagai akibatnya, grafiknya akan terdiri dari titik-titik diskrit (Gambar 14).

Agar kita dapat menggunakan kalkulus, titik-titik ini kita hubungkan satu sama lain dengan sebuah kurva mulus (Gambar 15), dengan demikian $R, C, dan ~ P$ dapat dianggap sebagai fungsi yang dapat didiferensiasi. Hal ini menggambarkan salah satu aspek dari permodelan matematika yang hampir selalu diperlukan, terutama dalam ilmu ekonomi.

Untuk membuat model dari suatu masalah yang nyata, kita harus menyederhanakan beberapa asumsi. Ini berarti bahwa jawaban yang kita peroleh hanya menghampiri jawaban yang kita cari - salah satu alasan bahwa ekonomi merupakan ilmu yang sedikit kurang sempurna. Seorang statistikawan terkenal pernah mengatakan: Tidak ada model yang akurat, tetapi banyak model yang bermanfaat.

Suatu masalah yang dihadapi pakar ekonomi adalah bagaimana mendapatkan rumus untuk fungsi-fungsi $C(x)$ dan $p(x)$. Dalam kasus sederhana, $C(x)$ dapat berbentuk:

$C(x) = 10.000 + 50x$

Jika demikian, $ \$ 10.000 $ merupakan biaya tetap dan $ \$ 50x $ merupakan biaya variabel, berdasarkan pada biaya langsung $ \$ 50 $ untuk setiap unit yang diproduksi. Barangkali contoh yang lebih tepat adalah:

$C_{1}(x) = 10.000 + 45x + 100 \sqrt{x}$

Kedua fungsi biaya diperlihatkan dalam Gambar 16.

Fungsi biaya $C(x)$ menunjukkan bahwa biaya pembuatan unit tambahan tetap sama tidak bergantung pada banyak unit yang telah dibuat. Di lain pihak, fungsi biaya $C_{1}(x)$ menunjukkan bahwa biaya pembuatan unit tambahan adalah bertambah besar tetapi pada laju yang bertambah kecil. Jadi membolehkan apa yang oleh pakar ekonomi disebut economies of scale.

Pemilihan fungsi-fungsi biaya dan harga yang sesuai merupakan tugas yang tidak sepele. Kadangkala dapat disimpulkan dari asumsi-asumsi dasar. Dalam kasus lain, kajian cermat tentang pengalaman perusahaan akan menyatakan pilihan-pilihan yang layak. Kadang-kadang kita harus melakukannya hanya dengan tebakan cerdas saja.

Penggunaan Kata Marjinal

Misalkan ABC mengetahui fungsi biayanya $C(x)$ dan berencana memproduksi 2000 unit tahun ini. Kita ingin menetapkan biaya tambahan tiap unit jika ABC sedikit memperbesar produksinya. Apakah ini akan, sebagai contoh, lebih kecil daripada pendapatan tambahan tiap unit? Jika demikian, ini merupakan pertimbangan ekonomi yang baik untuk memperbesar produksinya.

Jika fungsi biaya adalah seperti diperlihatkan dalam Gambar 17, kita menanyakan nilai $\triangle C / \triangle x$ ketika $\triangle x = 1$. Tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat dengan nilai

$\lim_{\triangle x \to 0} \dfrac{\triangle C}{\triangle x}$

ketika $x = 2000$. Ini disebut biaya marjinal. Para matematikawan mengenalnya sebagai $dC/dx$, turunan $C$ terhadap $x$.

Dengan cara yang serupa, kita definisikan harga marjinal sebagai $dp/dx$, pendapatan marjinal sebagai $dR/dx$, dan laba marjinal sebagai $dP/dx$.

Sekarang kita ilustrasikan penyelesaian beragam masalah ekonomi.

Misalkan bahwa $C(x) = 8.300 + {3,25}x + 40 \sqrt[3]{x}$ rupiah. Carilah biaya rata-rata tiap unit dan biaya marjinal, dan kemudian hitung ketika $x = 1000$.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} \text{by. rata:} & \dfrac{C(x)}{x} \\ & = \dfrac{8.300 + {3,25}x + 40x^{1/3}}{x} \\ \text{by. marjinal:} & \frac{dC}{dx} \\ & = {3,25} + \dfrac{40}{3} x^{-2/3} \end{aligned}$

Pada $x = 1000$, ini masing-masing mempunyai nilai-nilai 11,95 dan 3,38. Ini berarti bahwa secara rata-rata biaya tiap unit adalah $Rp ~ {11,95}$ untuk memproduksi $1000$ unit yang pertama; untuk memproduksi satu unit tambahan di atas $1000$ hanya memerlukan biaya $Rp ~ {3,38}$.

Dalam memproduksi dan menjual $x$ unit komoditi tertentu, fungsi harga $p$ dan fungsi biaya $C$ (dalam ribuan rupiah) diberikan oleh

$$\begin{aligned} p(x) & = {5,00} - {{0,002}x} \\ C(x) & = {3,00} + {1,10}x \end{aligned}$$

Cari ekspresi matematis untuk pendapatan marjinal, biaya marjinal dan laba marjinal. Tentukan tingkat produksi yang akan menghasilkan keuntungan total maksimum.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} R(x) & = x p(x) \\ & = {5,00}x - {0,002}x^{2} \\ P(x) & = R(x) - C(x) \\ & = -{3,00} + {3,90}x - {0,002}x^{2} \end{aligned}$

Jadi, kita mempunyai turunan-turunan berikut.

$\begin{aligned} \text{pendpt. marjinal:} & \frac{dR}{dx} \\ & = 5 - {0,004}x \\ \text{by. marjinal:} & \frac{dC}{dx} \\ & = {1,1} \\ \text{laba marjinal:} & \frac{dP}{dx} \\ & = \frac{dR}{dx} - \frac{dC}{dx} \\ & = {3,9} - {0,004}x \end{aligned}$

Untuk memaksimalkan laba, kita tetapkan $dP/dx = 0$ dan selesaikan. Ini memberikan $x = 975$ sebagai satu-satunya bilangan kritis yang ditinjau. Ia memang suatu maksimum, seperti bila diperiksa dengan Uji Turunan Pertama. Laba maksimum adalah $P(975) = Rp ~ {1898,25}$.

Perhatikan bahwa pada $x = 975$, pendapatan marjinal dan biaya marjinal dua-duanya adalah $Rp ~ {1,10}$. Secara umum, sebuah perusahaan harus mengharapkan berada pada tingkat laba maksimum bila biaya produksi sebuah unit tambahan tepat sama dengan pendapatan dari unit tersebut.

Literature Review:

[1] Varberg, Rigdon, and Purcell, Kalkulus Edisi 1 Jilid 9 (Jakarta: Penerbit Erlangga).