Menyelesaikan Persamaan secara Numerik - 3.7 Aplikasi Turunan (Kalkulus)
Cinta bukan hanya sebuah perasaan kepada seseorang; melainkan juga kemauan untuk mengertinya sebagai seseorang dalam pengertian miliknya.
Love is not just a feeling for someone; it is also the willingness to see her as a person in her own right.
Dalam matematika dan sains, kerapkali kita perlu untuk mencari akar-akar (penyelesaian) suatu persamaan $f(x) = 0$. Agar pasti, jika $f(x)$ suatu polinomial linear atau kuadrat, rumus untuk penulisan penyelesaian eksak ada dan terkenal.
Tetapi untuk persamaan aljabar lainnya, dan juga untuk persamaan transenden, rumus untuk penyelesaian eksak jarang terjadi. Apa yang dapat diperbuat dalam kasus demikian?
Terdapat metode umum penyelesaian masalah yang dikenal untuk semua orang yang memerlukan. Diberikan secangkir teh, kita tambahkan gula sedikit demi sedikit sampai rasanya pas. Diberikan sumbat yang terlalu besar untuk sebuah lubang, kita raut sedikit-sedikit sampai ia pas.
Kita ubah penyelesaian sedikit setiap kali, memperbaiki keakuratan, sampai kita puas. Matematikawan menyebut ini metode aproksimasi beruntun, atau metode iterasi.
Dalam subbab ini, kita menyajikan tiga metode yang demikian menyelesaikan persamaan: Metode Bagi-Dua, Metode Newton, dan Metode Titik-Tetap. Semuanya dirancang untuk mengaproksimasi akar real dari $f(x) = 0$, dan semua memerlukan banyak komputasi. Anda akan membutuhkan kalkulator Anda di sini.
Metode Bagi-Dua
Dalam Contoh 7, Subbab 1.6, kita melihat bagaimana menggunakan Teorema Nilai Antara untuk mengaproksimasikan penyelesaian $f(x) = 0$ dengan secara beruntun membagi dua interval yang diketahui memuat penyelesaian.
Metode Bagi-Dua mempunyai dua kebaikan besar yaitu kesederhanaan dan keterandalan, kekurangan metode ini adalah banyaknya langkah yang diperlukan untuk mencapai keakuratan yang diinginkan (yang dikenal sebagai kelambatan kekonvergenan).
Mulailah proses dengan pensketsaan grafik $f$, yang dianggap berupa fungsi kontinu (lihat Gambar 1). Akar real $r$ dari $f(x)$ adalah sebuah titik (secara teknis, absis dari sebuah titik) di mana grafik memotong sumbu-x.
Sebagai langkah pertama dalam menemukan titik ini, lokasikan dua titik, $a_{1} < b_{1}$ yang Anda yakin bahwa pada kedua titik itu $f$ berlawanan tanda; jika $f$ berlawanan tanda pada $a_{1}$ dan $b_{1}$, maka hasil kali $f(a_{1}) \cdot f(b_{1})$ akan negatif.
(Cobalah dengan memilih $a_{1}$ dan $b_{1}$ pada sisi berlawanan dari tebakan terbaik Anda untuk $r$). Teorema Nilai Antara menjamin keberadaan akar di antara $a_{1}$ dan $b_{1}$. Sekarang hitung $f$ pada titik-tengah $m_{1} = (a_{1} + b_{1})/2$ dari $[{a_{1}},{b_{1}}]$. Bilangan $m_{1}$ merupakan aproksimasi pertama terhadap $r$.
Salah satu dari dua kasus adalah $f(m_{1}) = 0$, yang berarti kita selesai. Kasus satunya adalah $f(m_{1})$ berlainan tanda dengan $f(a_{1})$ dan $f(b_{1})$.
Nyatakan salah satu interval bagian $[{a_{1}},{m_{1}}]$ atau $[{m_{1}},{b_{1}}]$, tempat terjadinya perubahan tanda, dengan lambang $[{a_{2}},{b_{2}}]$ dan hitung $f$ pada titik-tengah $m_{2} = (a_{2} + b_{2})/2$ (Gambar 2). Bilangan $m_{2}$ merupakan aproksimasi kedua kita terhadap $r$.
Ulangi proses, jadi menentukan aproksimasi ${m_{1}},{m_{2}},{m_{3}},{\cdots}$ dan interval bagian $[{a_{1}},{b_{1}}]$, $[{a_{2}},{b_{2}}]$, $[{a_{3}},{b_{3}}]$, $\cdots$ masing-masing interval mengandung akar $r$ dan masing-masing memiliki panjang setengah panjang pendahulunya.
Berhenti ketika $r$ ditentukan sampai keakuratan yang diinginkan, yakni, ketika $(b_{n} - a_{n})/2$ lebih kecil daripada galat yang diinginkan, yang akan kita nyatakan dengan $E$.
Tentukan akar real dari $f(x) = x^{3} - 3x - 5 = 0$ sampai keakuratan $0,0000001$.
PENYELESAIAN. Pertama kita sketsakan grafik $y = x^{3} - 3x - 5$ (Gambar 3) dan, dengan memperhatikan bahwa grafik memotong sumbu-x antara 2 dan 3; kita mulai dengan $a_{1} = 2$ dan $b_{1} = 3$.
Langkah 1: $\begin{aligned} m_{1} & = (a_{1} + b_{1})/2 \\ & = (2+3)/2 \\ & = {2,5} \end{aligned}$
Langkah 2: $\begin{aligned} f(m_{1}) & = f({2,5}) \\ & = {2,5}^{2} - 3 (2,5) - 5 \\ & = {3,125} \end{aligned}$
Langkah 3: $\begin{aligned} h_{1} & = (b_{1} - a_{1})/2 \\ & = (3-2)/2 \\ & = {0,5} \end{aligned}$
Langkah 4: Karena
$\begin{aligned} f(a_{1}) \cdot f(m_{1}) & = f(2) \cdot f(2,5) \\ & = (-3) (3,125) \\ & = -{9,375} < 0 \end{aligned}$
kita tetapkan $a_{2} = a_{1} = 2$ dan $b_{2} = m_{1} = {2,5}$.
Langkah 5: Syarat $f(a_{n}) \cdot f(m_{n}) > 0$ salah.
Berikutnya kita perbesar $n$ sehingga bernilai 2 dan mengulang langkah-langkah ini. Kita dapat melanjutkan proses ini untuk memperoleh data-data seperti dalam tabel berikut:
Kita simpulkan bahwa $r = {2,2790188}$ dengan galat paling banyak $0,0000001$.
Contoh 1 mengilustrasikan kekurangan kekurangan Metode Bagi-Dua. Aproksimasi ${m_{1}},{m_{2}},{m_{3}},{\cdots}$ konvergen sangat lambat ke akar $r$. Tetapi memang konvergen; yakni $\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} m_{n} & = r \end{aligned}$.
Metode bekerja, dan pada langkah $n$ kita mempunyai batas yang baik untuk galat $E_{n} = r - m_{n}$, yakni $\lvert E_{n} \rvert \le h_{n}$.
Metode Newton
Kita masih tetap memandang masalah penyelesaian persamaan $f(x) = 0$ untuk suatu akar $r$. Misalkan bahwa $f$ terdiferensiasi, sehingga grafik $y = f(x)$ mempunyai garis singgung pada tiap titik.
Jika dapat menemukan aproksimasi pertama $x_{1}$ terhadap $r$ dengan cara penggambaran grafik atau dengan cara lain (lihat Gambar 4), maka aproksimasi $x_{2}$ yang lebih baik haruslah terletak pada perpotongan garis singgung pada $({x_{1}},{f(x_{1})})$ dengan sumbu-x. Dengan menggunakan $x_{2}$ sebagai aproksimasi, kemudian kita dapat menemukan aproksimasi $x_{3}$ yang masih lebih baik, dan seterusnya.
Proses ini dapat ditahap-tahapkan sehingga mudah untuk melakukannya pada kalkulator. Persamaan garis singgung pada $({x_{1}},{f(x_{1})})$ adalah
dan perpotongan dengan sumbu-x, yaitu $x_{2}$ ditemukan dengan menetapkan $y = 0$ dan diselesaikan untuk $x$. Hasilnya adalah
Secara lebih umum kita mempunyai algoritma berikut, juga disebut rumus rekursi atau skema iterasi.
Gunakan Metode Newton untuk mencari akar real dari $f(x) = x^{3} - 3x - 5 = 0$ sampai tujuh angka di belakang koma.
PENYELESAIAN. Ini adalah persamaan yang sama yang ditinjau pada Contoh 1. Marilah kita gunakan $x_{1} = {2,5}$, sebagai aproksimasi pertama terhadap $r$, seperti yang kita lakukan di sana. Karena $f(x) = x^{3} - 3x - 5$ dan $f'(x) = 3x^{2} - 3$, algoritmanya adalah
Kita peroleh tabel berikut.
Setelah hanya empat langkah, kita peroleh pengulangan dari delapan dari delapan angka yang pertama. Kita merasa percaya dalam melaporkan bahwa $r \approx {2,2790188}$, mungkin dengan sedikit pertanyaan tentang angka yang terakhir.
Gunakan Metode Newton untuk mencari akar real positif $r$ dari $f(x) = 2 - x + \sin{x} = 0$.
PENYELESAIAN. Grafik $y = 2 - x + \sin{x}$ diperlihatkan dalam Gambar 5. Kita akan menggunakan nilai pemulai $x_{1} = 2$. Karena $f'(x) = -1 + \cos{x}$, iterasi menjadi
yang mengarah ke tabel berikut:
Setelah hanya lima langkah, kita peroleh pengulangan tujuh angka di belakang koma desimal. Kita simpulkan bahwa $r \approx {2,5541960}$.
Metode Newton menciptakan barisan aproksimasi beruntun terhadap akar. (Kita menyebutkan barisan secara singkat di Subbab 1.5). Kasus yang sering bahwa Metode Newton menghasilkan barisan $\{ x_{n} \}$ yang konvergen ke akar $f(x) = 0$, yakni $\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} x_{n} = r \end{aligned}$. Namun tidak selalu kasusnya demikian.
Gambar 6 mengilustrasikan apa yang dapat terjadi salah. Untuk fungsi dalam Gambar 6, kesukaran adalah bahwa $x_{1}$ tidak cukup dekat ke $r$ untuk memperoleh dimulainya suatu proses yang konvergen. Kesukaran lainnya jelas timbul jika $f'(x)$ nol atau tidak terdefinisi pada atau dekat $r$.
Ketika Metode Newton gagal menghasilkan aproksimasi-aproksimasi yang konvergen ke penyelesaian, maka Anda dapat mencoba ulang Metode Newton dengan titik pemulai yang berlainan, atau gunakan metode lain seperti misalnya Metode Bagi-Dua.
Algoritma Titik-Tetap
Algoritma Titik-Tetap sederhana dan langsung, tetapi sering berhasil.
Misalkan bahwa sebuah persamaan dapat dituliskan dalam bentuk $x = g(x)$. Untuk menyelesaikan persamaan ini adalah mencari sebuah bilangan $r$ yang tidak-berubah oleh fungsi $g$. Kita sebut bilangan yang demikian titik tetap bagi $g$.
Untuk mencari bilangan ini, kami usulkan algoritma berikut. Buat tebakan pertama $x_{1}$. Kemudian misalkan $x_{2} = g(x_{1}) , x_{3} = g(x_{2})$, dan seterusnya. Jika beruntung, $x_{n}$ akan konvergen ke akar $r$ ketika $n \to \infty$.
Gunakan Algoritma Titik-Tetap mengaproksimasikan penyelesaian dari $f(x) = x^{2} - 2 \sqrt{x+1} = 0$.
PENYELESAIAN. Kita tuliskan $x^{2} = 2 \sqrt{x+1}$, yang menuju ke $x = \pm \left( 2 \sqrt{x+1} \right)^{1/2}$. Karena kita mengetahui bahwa penyelesaian adalah positif, kita ambil akar kuadrat yang positif dan menuliskan iterasi sebagai
Gambar 7 menyiratkan bahwa titik perpotongan kurva-kurva $y = x$ dan $y = \sqrt{2} (x+1)^{1/4}$ terjadi di antara 1 dan 2, mungkin lebih dekat ke 2, sehingga kita ambil $x_{1} = 2$ sebagai titik awal kita. Ini menuju ke tabel berikut. Penyelesaian adalah kira-kira ${1,8350867}$.
Selesaikan $x = 2 \cos{x}$ dengan menggunakan Algoritma Titik-Tetap.
PENYELESAIAN. Pertama, perhatikan bahwa menyelesaikan persamaan ini adalah setara dengan menyelesaikan pasangan persamaan $y = x$ dan $y = 2 \cos{x}$. Jadi, untuk mendapatkan nilai awal kita, kita gambarkan grafik dua persamaan ini (Gambar 8) dan mengamati bahwa dua kurva tersebut perpotongan di sekitar $x=1$.
Dengan mengambil $x_{1} = 1$ dan dengan menerapkan algoritma $x_{n+1} = 2 \cos{x_{n}}$ kita peroleh hasil-hasil dalam tabel berikut.
Cukup jelas prosesnya tidak stabil, walaupun tebakan awal kita sangat dekat ke akar yang sebenarnya.
Marilah kita gunakan cara lain. Tulis ulang persamaan $x = 2 \cos{x}$ sebagai $x = (x + 2 \cos{x})/2$ dan gunakan algoritma
Proses ini menghasilkan barisan konvergen, diperlihatkan dalam tabel berikut. (Osilasi dalam angka terakhir kemungkinan disebabkan oleh galat pembulatan).
Sekarang kita ajukan pertanyaan yang jelas. Mengapa algoritma kedua menghasilkan barisan konvergen, sedangkan yang pertama gagal melakukannya? Keberhasilan Algoritma Titik-Tetap tergantung pada dua faktor.
Pertama adalah perumusan persamaan $x = g(x)$. Contoh 5 memperagakan bahwa sebuah persamaan seperti $x = 2 \cos{x}$ dapat ditulis ulang dalam bentuk yang menghasilkan barisan aproksimasi-aproksimasi yang berlainan.
Dalam Contoh 5 perumusan ulang adalah $x = (x + 2 \cos{x})/2$. Umumnya, terdapat banyak cara untuk menuliskan persamaan tersebut dan taktiknya adalah mencari satu yang berhasil.
Faktor lain yang mempengaruhi apakah Algoritma Titik-Tetap konvergen adalah kedekatan titik pemulai $x_{1}$ ke akar $r$. Seperti yang kami sarankan untuk Metode Newton, jika Algoritma Titik-Tetap gagal dengan satu titik pemulai, Anda dapat mencoba titik pemulai lain.