Maksimum dan Minimum - 3.1 Aplikasi Turunan (Kalkulus)
Dua buah perspektif memiliki maknanya masing-masing, tetapi hanya ada satu cara untuk memahami adalah dengan pergi dan berdiri di tempat orang lain itu berdiri, untuk mengerti sebagaimana ia mengerti.
Both perspectives have value, but the only way to really understand the other perspective is to go and stand where the other person is standing, to see as that person sees.
Seringkali kita harus mencari cara terbaik dalam melakukan suatu pekerjaan. Sebagai contoh, seorang petani ingin memperoleh kombinasi tanaman yang dapat menghasilkan keuntungan terbesar.
Seorang dokter berharap dapat memberikan dosis terkecil suatu obat untuk menyembuhkan penyakit tertentu. Seorang kepala pabrik ingin menekan sekecil mungkin biaya pendistribusian produknya.
Kadangkala masalah semacam itu dapat dirumuskan sedemikian rupa sehingga melibatkan pemaksimuman atau peminimuman suatu fungsi pada suatu himpunan yang telah ditentukan. Jika demikian, metode-metode kalkulus menyediakan sarana ampuh untuk memecahkan masalah tersebut.
Misalkan kita diberikan suatu fungsi $f(x)$ dan daerah asal $S$ seperti dalam Gambar 1. Sekarang kita memiliki tiga pertanyaan:
- Apakah $f(x)$ memiliki suatu nilai maksimum atau minimum pada $S$?
- Jika $f(x)$ mempunyai suatu nilai maksimum atau minimum, di manakah nilai-nilai tersebut dicapai?
- Jika nilai-nilai itu ada, berapakah nilai-nilai maksimum dan minimum itu?
Menjawab ketiga pertanyaan ini merupakan sasaran utama subbab ini. Kita mulai dengan memperkenalkan kosakata yang tepat.
Pertanyaan Keberadaan
Apakah $f$ mempunyai nilai maksimum (atau minimum) pada $S$? Jawabannya bergantung pertama-tama pada himpunan $S$ tersebut. Tinjaulah $f(x) = 1/x$ pada $S = ({0},{\infty})$; fungsi ini tidak mempunyai nilai maksimum ataupun minimum (Gambar 2).
Namun, fungsi yang sama pada $S = [{1},{3}]$ mempunyai nilai maksimum $f(1) = 1$ dan $f(3) = \frac{1}{3}$. Pada $S ~ ({1},{3}]$, $f$ tidak mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum $f(3) = \frac{1}{3}$.
Jawaban juga tergantung pada jenis fungsi. Tinjau fungsi diskontinu $g$ (Gambar 3) yang didefinisikan oleh
Pada $S = [{1},{3}]$, $g$ tidak mempunyai nilai maksimum (cukup dekat ke 2 tetapi tidak pernah mencapainya). Namun $g$ mempunyai nilai minimum $g(2) = 0$.
Terdapat sebuah fenomena bagus yang menjawab pertanyaan keberadaan untuk beberapa masalah yang muncul dalam praktek. Walaupun secara intuisi jelas, bukti yang teliti agak sukar dijabarkan; ini akan dibahas dalam buku teks yang lebih lanjut.
Perhatikan kata-kata kunci dalam Teorema A: $f$ disyaratkan harus kontinu dan himpuna $S$ disyaratkan harus berupa interval tertutup.
Di Mana Terjadinya Nilai-nilai Ekstrim?
Biasanya fungsi objektif akan mempunyai suatu interval $I$ sebagai daerah asalnya. Tetapi interval ini boleh berupa sebarang dari sembilan tipe yang dibahas dalam Subbab 0.2.
Beberapa di antaranya memuat titik-titik ujungnya; beberapa tidak. Misalnya, $I = [{a},{b}]$ memuat kedua titik ujungnya; $[{a},{b})$ hanya memuat titik ujung kiri; $({a},{b})$ sama sekali tidak memuat titik ujung. Nilai-nilai ekstrim dari fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup seringkali terjadi pada titik-titik ujung (lihat Gambar 4).
Jika $c$ sebuah titik tempat $f'(c) = 0$, kita sebut $c$ titik stasioner. Nama itu diturunkan dari fakta bahwa pada titik stasioner, grafik $f$ mendatar, karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim seringkali terjadi pada titik stasioner (lihat Gambar 5).
Akhirnya, jika $c$ adalah titik-dalam dari $I$ di mana $f'$ tidak ada, kita sebut $c$ sebagai titik singular. Pada titik ini grafik $f$ memiliki sudut yang tajam, garis singgung vertikal, atau berupa loncatan, atau di dekatnya grafik bergoyang sangat buruk. Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik singular (Gambar 6), walaupun dalam masalah-masalah praktis hal ini jarang terjadi.
Ketiga jenis titik ini (titik ujung, titik stasioner, dan titik singular) merupakan titik kunci dari teori maks-min. Sebarang titik dalam daerah asal fungsi $f$ yang termasuk salah satu dari tiga tipe ini disebut titik kritis $f$.
Cari titik-titik kritis dari $f(x) = -2x^{3} + 3x^{2}$ pada $[-{\frac{1}{2}},{2}]$.
PENYELESAIAN. Titik-titik ujung adalah $- \frac{1}{2}$ dan $2$. Untuk mencari titik stasioner kita pecahkan $f'(x) = -6x^{2} + 6x = 0$ untuk $x$, diperoleh 0 dan 1. Tidak ada titik-titik singular. Jadi titik-titik kritisnya adalah ${- \frac{1}{2}},{0},{1},{\text{dan}} ~ 2$.
Bukti Lihatlah kasus pertama di mana $f(c)$ adalah nilai maksimum $f$ pada $I$ dan misalkan bahwa $c$ bukan titik ujung atau pun titik singular. Kita harus membuktikan bahwa $c$ adalah titik stasioner.
Sekarang, karena $f(c)$ adalah nilai maksimum, maka $f(x) \le f(c)$ untuk semua $x$ dalam $I$; yaitu
Jadi jika $x < c$, sehingga $x-c < 0$, maka
sedangkan jika $x > c$, maka
Tetapi $f'(c)$ ada, karena $c$ bukan titik singular. Akibatnya, ketika kita misalkan $x \to c^{-}$ dalam (1) dan $x \to c^{+}$ dalam (2), kita peroleh masing-masing $f'(c) \ge 0$ dan $f'(c) \le 0$. Kita simpulkan bahwa $f'(c) = 0$, seperti yang diinginkan.
Kasus di mana $f(c)$ nilai minimum dapat dikerjakan dengan cara serupa.
Dalam bukti yang baru saja diberikan, kita menggunakan fakta bahwa pertidaksamaan $\le$ tidak berubah pada operasi pengambilan limit.
Apakah Nilai Ekstrim itu?
Dari Teorema A dan B, sekarang kita dapat menyatakan suatu prosedur yang sangat sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu $f$ pada interval tertutup $I$.
Langkah 1: Carilah titik-titik kritis $f$ pada $I$.
Langkah 2: Hitunglah $f$ pada setiap titik kritis. Yang terbesar di antara nilai-nilai ini adalah nilai maksimum, yang terkecil adalah nilai minimum.
Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari $f(x) = x^{3}$ pada $[{-2},{2}]$.
PENYELESAIAN. Turunannya adalah $f'(x) = 3x^{2}$, yang terdefinisi pada $({-2},{2})$ dan nol hanya ketika $x = 0$. Maka titik kritisnya adalah $x=0$ serta titik-titik ujung $x = -2$ dan $x=2$. Penghitungan $f$ pada titik-titik kritis menghasilkan $f(-2) = -8$, $f(0) = 0$, $f(2) = 8$. Jadi nilai maksimum $f$ adalah $8$ (tercapai di $x = 2$) dan nilai minimum adalah $-8$ (tercapai di $x = -2$).
Perhatikan bahwa dalam Contoh 2, $f'(0) = 0$, tetapi $f$ tidak mencapai suatu minimum ataupun maksimum di $x=0$. Ini tidak bertentangan dengan Teorema B. Teorema B tidak mengatakan bahwa jika $c$ adalah titik kritis maka $f(c)$ adalah suatu minimum atau maksimum; Teorema B mengatakan bahwa jika $f(c)$ adalah minimum atau maksimum, maka $c$ adalah titik kritis.
Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari
pada $\left[ {- \frac{1}{2}},{2} \right]$.
PENYELESAIAN. Dalam Contoh 1, kita kenali ${- \frac{1}{2}},{0},{1}, ~ {\text{dan} ~ 2}$ sebagai titk-titik kritis. Sekarang $f \left( - \frac{1}{2} \right) = 1$, $f(0) = 0$, $f(1) = 1$, $f(2) = -4$. Jadi nilai maksimum adalah 1 (dicapai di $- \frac{1}{2}$ dan 1) dan nilai minimum adalah -4 (dicapai di 2). Grafik $f$ diperlihatkan dalam Gambar 7.
Fungsi $F(x) = x^{2/3}$ kontinu di mana-mana. Carilah nilai-nilai maksimum dan minimumnya pada $[{-1},{2}]$.
PENYELESAIAN. $F'(x) = \frac{2}{3} x^{-1/3}$, tidak pernah nol. Namun $F'(0)$ tidak ada, sehingga 0 adalah titik kritis, sama seperti titik-titik ujung -1 dan 2. Sekarang $F(-1) = 1$, $F(0) = 0$, dan $F(2) = \sqrt[3]{4} \approx {1,59}$. Jadi nilai maksimum adalah $\sqrt[3]{4}$; nilai minimum adalah 0. Grafik diperlihatkan dalam Gambar 8.
Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari $f(x) = x + 2 \cos{x}$ pada $[{- \pi},{2 \pi}]$.
PENYELESAIAN. Gambar 9 memperlihatkan grafik $y = f(x)$. Turunannya adalah $f'(x) = 1 - 2 \sin{x}$, yang terdefinisi pada $({- \pi},{2 \pi})$ dan nol ketika $\sin{x} = 1/2$. Satu-satunya nilai $x$ dalam interval $[{\pi},{2 \pi}]$ yang memenuhi $\sin{x} = 1/2$ adalah $x = \pi / 6$ dan $5 \pi / 6$. Dua bilangan ini bersama dengan titik-titik ujung $- \pi$ dan $2 \pi$ merupakan titik-titik kritis. Sekarang hitunglah $f$ di masing-masing titik kritis:
Jadi $-2 - \pi$ adalah minimum (tercapai di $x = - \pi$) dan maksimum adalah $2 + 2 \pi$ (tercapai di $x = 2 \pi$).