Laju Terkait - 2.8 Turunan (Kalkulus)

Contents

• 1 Dua Contoh Sederhana
• 2 Prosedur Sistematis
• 3 Masalah Laju yang Berhubungan dengan Grafik

---

Bab 2: Turunan - KALKULUS
2.1	Dua Masalah dengan Satu Tema
2.2	Turunan
2.3	Aturan Pencarian Turunan
2.4	Turunan Fungsi Trigonometri
2.5	Aturan Rantai
2.6	Turunan Tingkat-Tinggi
2.7	Diferensiasi Implisit
2.8	Laju Terkait
2.9	Diferensial dan Aproksimasi

---

Jangan tanya apa yang dibutuhkan oleh dunia. Tanyakan apa yang membuatmu hidup, dan lakukanlah. Karena dunia ini membutuhkan orang yang benar-benar hidup.

Don’t ask yourself what the world needs. Ask yourself what makes you come alive, and go do that. Because what the world needs is people who have come alive.

Howard Thurman, quoted in Gil Bailie, "In Gratitude"

Jika variabel $y$ bergantung pada waktu $t$, maka turunannya $dy/dt$ disebut laju perubahan sesaat. Tentu saja, jika $y$ mengukur jarak, maka laju sesaat ini disebut kecepatan. Kita tertarik pada beraneka laju sesaat, laju air mengalir ke dalam ember, laju membesarnya luas pencemaran minyak, laju bertambahnya nilai kapling tanah, dan lain-lainnya. Jika $y$ diberikan secara eksplisit dalam $t$, maka masalahnya sederhana; kita cukup mendiferensiasikan dan kemudian menghitung turunan pada saat yang diminta.

Mungkin saja, sebagai ganti diketahuinya $y$ secara eksplisit dalam $t$, kita mengetahui hubungan yang mengaitkan $y$ dan variabel lain $x$ dan kita juga mengetahui sesuatu tentang $dx/dt$. Kita masih tetap mampu mencari $dy/dt$, karena $dy/dt$ dan $dx/dt$ adalah laju-laju yang berkaitan. Biasanya memerlukan diferensiasi implisit.

Dua Contoh Sederhana

Sebagai persiapan menyusun prosedur yang sistematis untuk menyelesaikan masalah laju-laju yang berkaitan, kita membahas dua contoh.

Sebuah balon kecil dilepas pada jarak 150 dari seorang pengamat yang berdiri di tanah. Jika balon naik secara lurus ke atas dengan laju 8 feet per detik, seberapa cepat jarak antara pengamat dan balon bertambah pada waktu balon pada ketinggian 50 feet?

PENYELESAIAN. Misalkan $t$ menyatakan waktu dalam detik setelah balon dilepas. Misalkan $h$ menyatakan ketinggian balon dan $s$ jaraknya dari pengamat (lihat Gambar 1). Variabel $h$ dan $s$ keduanya tergantung kepada $t$; namun alas segitiga (jarak dari pengamat ke titik pelepasan) tetap tidak berubah dengan bertambahnya $t$. Gambar 2 memperlihatkan besaran kunci di dalam satu diagram sederhana.

$\boxed{\approx}$ Sebelum berlanjut lebih jauh, kita mengangkat tema yang dibahas sebelumnya dalam buku ini, estimasi jawaban.

Perhatikan bahwa $s$ semula sama sekali tidak berubah $(ds/dt \approx 0)$, tetapi pada akhirnya $s$ berubah kira-kira secepat perubahan $h$ $(ds/dt \approx dh/dt = 8)$. Suatu estimasi untuk $ds/dt$ ketika $h = 50$ boleh jadi sekitar sepertiga $dh/dt$, atau 3. Jika kita memperoleh jawaban jauh dari nilai ini, kita akan tahu bahwa kita telah membuat kesalahan. Misalnya, jawaban seperti 17 atau bahkan 7 jelas salah.

Kita lanjutkan dengan penyelesaian eksak. Untuk penekanan, kita bertanya dan menjawab dua pertanyaan dasar.

1. Apa yang diketahui? Jawab: $dh/dt = 8$.
2. Apa yang ingin kita ketahui? Jawab: Kita ingin mengetahui $ds/dt$ pada saat $h=50$.
3. Bagaimana $s$ dan $h$ terkait? Jawab: Variabel-variabel $s$ dan $h$ dengan berubahnya waktu (mereka adalah fungsi-fungsi implisit dari $t$), tetapi mereka selalu dikaitkan oleh persamaan Pythagoras

$s^{2} = h^{2} + (150)^{2}$

Jika kita diferensiasikan secara implisit terhadap $t$ dan menggunakan Aturan Rantai, kita peroleh

$2x \dfrac{ds}{dt} = 2h \dfrac{dh}{dt}$

atau

$s \dfrac{ds}{dt} = h \dfrac{dh}{dt}$

Hubungan ini juga berlaku untuk semua $t > 0$.

Sekarang, dan bukan sebelumnya, kita berpaling pada situasi ketika $h=50$. Dari Teorema Pythagoras, kita lihat bahwa, ketika $h=50$

$\begin{aligned} s & = \sqrt{(50)^{2} + (150)^{2}} \\ & = 50 \sqrt{10} \end{aligned}$

Dengan mensubstitusikan $s(ds/dt) = h(dh/dt)$, kita memperoleh

$50 \sqrt{10} \frac{ds}{dt} = 50(8)$

atau

$\begin{aligned} \frac{ds}{dt} & = \dfrac{8}{\sqrt{10}} \\ & \approx {2,53} \end{aligned}$

Pada saat $h=50$, jarak antar balon dan pengamat bertambah dengan kecepatan 2,53$$ feet per detik.

Air dituangkan ke dalam bak berbentuk kerucut dengan laju 8 feet kubik per menit. Jika tinggi bak adalah 12 feet dan jari-jari permukaan atas adalah 6 feet, seberapa cepat permukaan air naik ketika kedalaman air adalah 4 feet?

PENYELESAIAN. Nyatakan kedalaman air dalam bak pada saat $t$ sebarang adalah $h$ dan misalkan $r$ jari-jari permukaan air yang berkorespondensi (lihat Gambar 3).

Diketahui bahwa volume $V$, volume air dalam bak naik dengan laju 8 feet kubik per menit; yakni $dV/dt = 8$. Kita ingin mengetahui seberapa cepat air naik (yakni, $dh/dt$) pada saat $h=4$.

Kita perlu mencari sebuah persamaan yang mengaitkan $V$ dan $h$; kemudian kita akan mendiferensiasikan untuk memperoleh kaitan antar $dV/dt$ dan $dh/dt$. Rumus untuk volume air dalam bak, $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$, mengandung variabel $r$ yang tidak diinginkan $r$; dia tidak diinginkan karena kita tidak mengetahui laju $dr/dt$.

Namun, menggunakan segitiga-segitiga yang sebangun (lihat kotak di pinggir), kita mempunyai $r/h = 6/12$, sehingga $r = h/2$. Dengan mensubstitusikan ini ke dalam $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$ memberikan

$\begin{aligned} V & = \dfrac{1}{3} \pi \left( \frac{h}{2} \right)^{2}h \\ & = \dfrac{\pi h^{3}}{12} \end{aligned}$

Sekarang kita diferensiasikan secara implisit, dengan tetap mengingat bahwa $V$ dan $h$ keduanya bergantung pada $t$. Kita peroleh,

$\begin{aligned} \dfrac{dV}{dt} & = \dfrac{3 \pi h^{2}}{12} \cdot \dfrac{dh}{dt} \\ & = \dfrac{\pi h^{2}}{4} \cdot \dfrac{dh}{dt} \end{aligned}$

Sekarang kita mempunyai hubungan antara $dV/dt$ dan $dh/dt$, bukannya lebih dini, kita tinjau situasi ketika $h=4$. Dengan mensubstitusi $h=4$ dan $dV/dt = 8$, kita peroleh

$8 = \dfrac{\pi (4)^{2}}{4} \cdot \dfrac{dh}{dt}$

Selanjutnya

$\begin{aligned} \frac{dh}{dt} & = \dfrac{2}{\pi} \\ & \approx {0,637} \end{aligned}$

Ketika kedalaman air 4 feet, permukaan air naik dengan laju $0,637$ feet per menit.

Bila Anda pikirkan Contoh 2 sejenak, Anda menyadari bahwa permukaan air akan naik semakin lambat dengan berlalunya waktu. Misalnya, ketika $h=10$

$8 = \dfrac{\pi (10)^{2}}{4} \cdot \dfrac{dh}{dt}$

sehingga

$\dfrac{32}{\pi} = h^{2} \dfrac{dh}{dt}$

Jika kita diferensiasikan lagi secara implisit, kita peroleh

$0 = h^{2} \dfrac{d^{2} h}{dt^{2}} + \dfrac{dh}{dt} \left( 2h \frac{dh}{dt} \right)$

yang mengimplikasikan

$\dfrac{d^{2}h}{dt^{2}} = \dfrac{-2 \left( \frac{dh}{dt} \right)^{2}}{h}$

Ini jelas negatif.

Prosedur Sistematis

Contoh 1 dan 2 menyarankan metode yang berikut untuk menyelesaikan masalah laju-laju berkaitan.

Langkah 1: Misal $t$ menyatakan waktu yang terlalui. Gambarkan sebuah diagram yang berlaku untuk semua $t > 0$. Beri pengenal besaran-besaran yang nilainya tidak bila $t$ bertambah dengan nilai-nilai konstantanya yang diketahui. Berikan nama huruf pada besaran yang berubah sesuai dengan $t$, dan beri pengenal bagian-bagian gambar yang sesuai dengan variabel-variabel ini.

Langkah 2: Nyatakan apa yang diketahui dan apa yang diinginkan tentang variabel-variabel tersebut. Informasi ini akan berbentuk turunan-turunan terhadap variabel $t$.

Langkah 3: Hubungkan variabel-variabel dengan menuliskan persamaan yang valid untuk semua waktu $t > 0$, bukan hanya pada beberapa saat tertentu.

Langkah 4: Diferensiasikan secara implisit persamaan yang ditemukan dalam Langkah 3 terhadap $t$. Persamaan yang dihasilkan, memuat turunan-turunan terhadap $t$, benar untuk semua $t > 0$.

Langkah 5: Pada tahap ini, bukan lebih dini, substitusikan ke dalam persamaan yang ditemukan dalam Langkah 4 semua data yang sahih pada saat tertentu seperti yang diperlukan untuk jawaban soal. Pecahkan untuk turunan yang diinginkan.

Sebuah pesawat udara terbang ke utara dengan laju 640 mil/jam melintasi sebuah kota pada tengah hari. Pesawat kedua terbang ke timur dengan laju 600 mil/jam langsung di atas kota yang sama 15 menit kemudian. Jika pesawat-pesawat itu terbang pada ketinggian yang sama, seberapa cepat mereka berpisah pada pukul 13.15?

PENYELESAIAN.

Langkah 1: Misalkan $t$ menyatakan lamanya jam setelah pukul 12.15, $y$ jarak dalam mil yang ditempuh pesawat ke arah-utara setelah pukul 12.15, $x$ jarak yang ditempuh oleh pesawat ke arah-timur setelah pukul 12.15, dan $s$ jarak antara pesawat-pesawat tersebut. Dalam waktu 15 menit dari tengah hari ke pukul 12.15, pesawat ke arah-utara akan terbang $\frac{640}{4} = 160 ~ mil$, sehingga jarak dari kota ke pesawat ke arah-utara pada saat $t$ akan sebesar $y + 160$. (Lihat Gambar 4).

Langkah 2: Untuk semua $t > 0$, diketahui bahwa $dy/dt = 640$ dan $dx/dt = 600$. Kita ingin mengetahui $dx/dt$ pada saat $t=1$, yakni pukul 13.15.

Langkah 3: Menurut Teorema Pythagoras

$s^{2} = x^{2} + (y + 160)^{2}$

Langkah 4: Dengan mendiferensiasikan secara implisit terhadap $t$ dan menggunakan Aturan Rantai, kita mempunyai

$\begin{aligned} 2s \frac{ds}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2(y + 160) \frac{dy}{dt} \end{aligned}$

atau

$s \frac{ds}{dt} = x \frac{dx}{dt} + (y + 160)\frac{dy}{dt}$

Langkah 5: Untuk semua $t > 0$, $dx/dt = 600$ dan $dy/dt = 640$, sedangkan pada saat khusus $t = 1$, $x=600$, dan $s = \sqrt{(600)^{2} + (640 + 160)^{2}} = 1000$. Ketika kita mensubstitusikan data-data ini ke dalam persamaan dari Langkah 4, kita peroleh

$1000 \frac{ds}{dt} = (600)(600) + (640+160)(640)$

sehingga

$\frac{ds}{dt} = 872$

Pada pukul 13.15, pesawat-pesawat itu berpisah pada kecepatan 872 mil/jam.

$\boxed{\approx}$ Sekarang marilah kita lihat apakah jawaban kita masuk akal. Lihat lagi Gambar 4. Jelas, $s$ bertambah lebih cepat dibandingkan bertambahnya $x$ ataupun $y$, sehingga $ds/dt$ melebihi 640. Sebaliknya, $s$ pasti bertambah lebih lambat daripada jumlah $x$ dan $y$, yakni $ds/dt < 600 + 640 = 1240$. Jawaban kita, $ds/dt = 872$, adalah masuk akal.

Seorang wanita berdiri di atas tebing mengawasi perahu motor menggunakan teropong ketika perahu mendekati pantai tepat di bawahnya. Jika teropong berada 250 feet di atas permukaan laut dan jika perahu mendekat dengan laju 250 feet dari pantai?

PENYELESAIAN.

Langkah 1: Kita buat sebuah (Gambar 5) dan perkenalkan variabel-variabel $x$ dan $\theta$, seperti diperlihatkan.

Langkah 2: Diketahui bahwa $dx/dt = -20$; tanda adalah negatif karena $x$ berkurang dengan berlalunya waktu. Kita ingin mengetahui $d_{\theta}/dt$ pada saat $x=250$.

Langkah 3: Dari ilmu ukur segitiga,

$\tan{\theta} = \dfrac{x}{250}$

Langkah 4: Kita diferensiasikan secara implisit menggunakan fakta bahwa $D_{\theta} \tan{\theta} = \sec^{2}{\theta}$ (Teorema 2.4B). Kita peroleh

$\sec^{2}{\theta} \frac{d \theta}{dt} = \dfrac{1}{250} \cdot \frac{dx}{dt}$

Langkah 5: Pada saat $x=250$, $\theta$ adalah $\pi / 4$ radian dan $\sec^{2} {\theta} = \sec^{2} (\pi / 4) = 2$. Jadi,

$2 \frac{d \theta}{dt} = \dfrac{1}{250} (-20)$

atau

$\frac{d \theta}{dt} = \dfrac{-1}{25} = -{0,04}$

Sudut berubah dengan laju $-{0,04} ~ radian/detik$. Tandanya negatif karena $\theta$ berkurang dengan berlalunya waktu.

Ketika matahari terbenam di belakang sebuah gedung tinggi 120 feet, bayangan gedung bertambah. Seberapa cepat bayangan bertambah (dalam feet per detik) ketika sinar matahari membentuk sudut $45^{\circ}$ (atau $\pi / 4 ~ radian$).

PENYELESAIAN.

Langkah 1: Misalkan $t$ menyatakan waktu dalam detik setelah tengah malam. Misalkan $x$ menyatakan panjang bayangan dalam, dan misalkan $\theta$ menyatakan sudut sinar matahari. Lihat Gambar 6.

Langkah 2: Karena bumi berputar setiap 24 jam, atau 86.400 detik, kita mengetahui bahwa $d \theta / dt = -2 \pi / 86.400$. (Tanda negatif diperlukan karena $\theta$ berkurang ketika matahari terbenam). Kita ingin mengetahui $dx/dt$ ketika $\theta = \pi / 4$.

Langkah 3: Gambar 6 menunjukkan bahwa besaran $x$ dan $\pi$ memenuhi $\cot{\theta} = x/120$ sehingga $x = 120 \cdot \cot{\theta}$ terhadap $t$, yang menghasilkan

$\begin{aligned} \dfrac{dx}{dt} & = 120 (\csc^{2}{\theta}) \frac{d \theta}{dt} \\ & = -120 (\csc^{2}{\theta}) \left( - \frac{2 \pi}{86.400} \right) \\ & = \dfrac{\pi}{360} \csc^{2}{\theta} \end{aligned}$

Langkah 5: Ketika $\theta = \pi / 4$, kita mempunyai

$\begin{aligned} \frac{dx}{dt} & = \dfrac{\pi}{360} \csc^{2}{\frac{\pi}{4}} \\ & = \dfrac{\pi}{360} \left( \sqrt{2} \right)^{2} \\ & = \dfrac{\pi}{180} \\ & \approx {0,0175} \frac{ft}{det} \end{aligned}$

Perhatikan bahwa ketika matahari terbenam, $\theta$ berkurang (karenanya $d \theta / dt$ negatif), sedangkan bayangan $x$ bertambah (karenanya $dx/dt$ positif).

Masalah Laju yang Berhubungan dengan Grafik

Seringkali dalam situasi kehidupan nyata, kita tidak mengetahui rumus untuk suatu fungsi tertentu, tetapi hanya mempunyai grafik yang ditentukan secara empiris. Kita masih tetap mampu menjawab pertanyaan-pertanyaan tentang laju.

Kota Bogor memantau ketinggian air dalam tangki airnya berbentuk tabung yang dilengkapi alat pencatat otomatis. Secara tetap air dipompa ke dalam tangki dengan laju $2400 ~ ft^{3}/jam$, seperti diperlihatkan dalam Gambar 7. Selama periode 12 jam tertentu (dimulai pada tengah malam), permukaan air naik dan turun sesuai dengan grafik dalam Gambar 8. Jika jari-jari tangki 20 feet, berapakah laju air pada pukul 7.00?

PENYELESAIAN. Misalkan $t$ menyatakan banyaknya jam setelah tengah malam, $h$ ketinggian air dalam tangki pada saat $t$, dan $V$ volume air dalam tangki pada saat itu (lihat Gambar 6).

Maka $dV/dt$ adalah laju masuk dikurangi laju keluar, sehingga $2400 - dV/dt$ adalah laju penggunaan air pada sebarang waktu $t$. Karena kemiringan garis singgung di $t=7$ kira-kira -3 (Gambar 7), kita simpulkan bahwa $dh/dt \approx -3$ pada saat itu.

Untuk tabung, $V = \pi r^{2} h$, sehingga

$V = \pi (20)^{2} h$

dan

$\dfrac{dV}{dt} = 400 \pi \dfrac{dh}{dt}$

Pada $t = 7$,

$\begin{aligned} \dfrac{dV}{dt} & \approx 400 \pi (-3) \\ & \approx -3770 \end{aligned}$

Jadi penduduk Kota Bogor menggunakan air dengan laju $2400 + 3770 = 6170 ~ ft^{3}/jam$ pada pukul 7.00.

Literature Review:

[1] Varberg, Rigdon, and Purcell, Kalkulus Edisi 1 Jilid 9 (Jakarta: Penerbit Erlangga).