Kemonotonan dan Kecekungan - 3.2 Aplikasi Turunan (Kalkulus)

Contents

• 1 Turunan Pertama dan Kemonotonan
• 2 Turunan Kedua dan Kecekungan
• 3 Titik Belok

---

Bab 3: Aplikasi Turunan - KALKULUS
3.1	Maksimum dan Minimum
3.2	Kemonotonan dan Kecekungan
3.3	Ekstrim Lokal dan Ekstrim pada Interval Terbuka
3.4	Soal-soal Praktis
3.5	Penggambaran Grafik Menggunakan Kalkulus
3.6	Teorema Nilai Rataan untuk Turunan
3.7	Menyelesaikan Persamaan secara Numerik
3.8	Anti-turunan

---

Dan apa artinya itu bekerja dengan cinta? Itu adalah menenun kain dengan benang yang ditarik dari hatimu, bahkan seolah-olah kekasihmu akan memakai kain itu.

And what is it to work with love? It is to weave the cloth with threads drawn from your heart, even as if your beloved were to wear that cloth.

Kahlil Gibran, "The Prophet"

Perhatikan grafik dalam Gambar 1. Tidak seorang pun akan terkejut jika kita mengatakan bahwa $f$ turun di kiri $c$ dan naik di kanan $c$. Tetapi untuk meyakinkan bahwa kita sepakat mengenai istilah, kita berikan definisi yang presisi.

Definisi:

Misalkan $f$ terdefinisi pada interval $I$ (terbuka, tertutu, atau tidak satu pun). Kita katakan bahwa:

1. $f$ naik pada $I$ jika, untuk setiap pasang bilangan $x_{1}$ dan $x_{2}$ dalam $I$

   $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2})$

2. $f$ turun pada $I$ jika, untuk setiap pasang bilangan $x_{1}$ dan $x_{2}$ dalam $I$,

   $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2})$

3. $f$ monoton murni pada $I$ jika $f$ naik pada $I$ atau turun pada $I$.

Bagaimana kita menentukan di mana suatu fungsi naik? Kita bisa saja menggambarkan grafiknya dan melihatnya, tetapi sebuah grafik biasanya digambar dengan memplot beberapa titik dan menghubungkan titik-titik tersebut dengan suatu kurva mulus.

Siapa yang dapat yakin bahwa grafik ttidak bergoyang di antara titik yang diplot tadi? Bahkan sistem komputer aljabar dan kalkulator grafik memplot hanya dengan menghubungkan titik-titik. Kita memerlukan prosedur yang lebih baik.

Turunan Pertama dan Kemonotonan

Ingat kembali bahwa turunan pertama $f'(x)$ memberikan kita kemiringan dari garis singgung pada grafik $f$ di titik $x$. Jadi, jika $f'(x) > 0$, maka garis singgung menaik ke kanan, yang berarti bahwa $f$ menaik (lihat Gambar 2).

Demikian pula, $f'(x) < 0$, maka garis singgung menurun ke kanan, yang berarti bahwa $f$ menurun. Kita dapat juga melihat ini dalam bentuk gerakan di sepanjang garis. Misalkan sebuah benda berada di posisi $s(t)$ pada saat $t$ dan kecepatannya selalu positif, yaitu $s'(t) = ds/dt \ge 0$.

Maka nampak beralasan bahwa benda akan terus bergerak ke kanan selama turunan tetap positif. Dengan perkataan lain, $s(t)$ adalah fungsi naik dari $t$. Pengamatan ini tidak membuktikan Teorema A, tetapi membuat teorema hasil jelas. Kita tunda bukti yang lebih teliti sampai Subbab 3.6.

Teorema A: Teorema Kemonotonan

Misalkan $f$ kontinu pada interval $I$ dan terdiferensial pada setiap titik-dalam dari $I$.

1. Jika $f'(x) > 0$ untuk semua titik-dalam $I$, maka $f$ naik pada $I$.
2. Jika $f'(x) < 0$ untuk semua titik-dalam $I$, maka $f$ turun pada $I$.

Teorema ini biasanya membolehkan kita untuk menentukan secara presisi di mana suatu fungsi yang terdiferensiasi naik dan di mana fungsi tersebut turun. Ini merupakan masalah menyelesaikan dua pertidaksamaan.

Jika $f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 7$, cari di mana $f$ naik dan di mana $f$ turun.

PENYELESAIAN. Kita mulai dengan mencari turunan $f$.

$\begin{aligned} f'(x) & = 6x^{2} - 6x - 12 \\ & = 6(x+1)(x-2) \end{aligned}$

Kita perlu menentukan nilai $x$ yang memenuhi

$\begin{aligned} (x+1)(x-2) > 0 \end{aligned}$

dan juga yang memenuhi

$\begin{aligned} (x+1)(x-2) < 0 \end{aligned}$

Masalah ini dibahas secara rinci dalam Subbab 0.2, subbab yang sekarang perlu ditelaah ulang. Titik-titik pemisah adalah -1 dan 2; titik ini membagi sumbu-x atas tiga interval: $({- \infty},{-1})$, $({-1},{2})$ dan $({2},{\infty})$.

Dengan menggunakan titik-titik uji -2, 0, dan 3, kita simpulkan bahwa $f'(x) > 0$ pada interval pertama dan terakhir dan bahwa $f'(x) < 0$ pada interval tengah (Gambar 3).

Jadi menurut Teorema A, $f$ naik pada $({- \infty},{-1})$ dan $({2},{\infty})$; turun pada $({-1},{2})$. Perhatikan bahwa teorema tersebut membolehkan kita menyertakan titik-titik ujung dari interval-interval ini, walaupun $f'(x) = 0$ pada titik-titik itu. Grafik $f$ diperlihatkan dalam Gambar 4.

Tentukan di mana $g(x) = x/(1+x^{2})$ mekanik dan menurun.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} g'(x) & = \dfrac{(1 + x^{2})- x(2x)}{(1 + x^{2})^{2}} \\ & = \dfrac{1 - x^{2}}{(1 + x^{2})^{2}} \\ & = \dfrac{(1-x)(1+x)}{(1 + x^{2})^{2}} \end{aligned}$

Karena penyebut selalu positif, $g'(x)$ mempunyai tanda sama seperti $(1-x)(1+x)$. Titik-titik pemisah, -1 dan 1, menentukan tiga interval $({- \infty},{-1})$, $({-1},{1})$, dan $({1},{\infty})$. Karena kita mengujinya, kita temukan bahwa $g'(x) < 0$ pada interval yang pertama dan ketiga dan bahwa $g'(x) > 0$ pada interval yang tengah (Gambar 5).

Kita simpulkan dari Teorema A bahwa $g$ menurun pada $({- \infty},{-1})$ dan $({1},{\infty})$ dan menaik pada $({-1},{1})$, kita tunda penggambaran grafik $g$ sampai nanti, tetapi jika Anda ingin melihat grafiknya lihatlah Gambar 11 dan Contoh 4.

Turunan Kedua dan Kecekungan

Suatu fungsi mungkin menaik dan tetap mempunyai yang sangat bergoyang (Gambar 6).

Untuk menganalisis goyangan, kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berbelok saat kita bergerak dari kiri ke kanan di sepanjang grafik. Jika garis singgung berbelok secara tetap dalam arah yang berlawanan arah putaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis singgung berbelok searah putaran jarum jam, maka grafik cekung ke bawah.

Kedua definisi lebih baik dinyatakan dalam istilah fungsi dan turunan-turunannya.

Definisi:

Misalkan $f$ terdiferensiasi pada interval terbuka $I$. Kita katakan bahwa $f$ (dan grafiknya) cekung ke atas pada $I$ jika $f'$ menaik pada $I$ dan kita katakan bahwa $f$ cekung ke bawah pada $I$ jika $f'$ menurun pada $I$.

Diagram-diagram dalam Gambar 7 akan membantu memperjelas gagasan ini. Perhatikan bahwa kurva yang cekung ke atas berbentuk seperti sebuah cangkir.

Sehubungan dengan Teorema A, kita mempunyai kriteria sederhana untuk memutuskan di mana kurva cekung ke atas dan di mana cekung ke bawah. Kita cukup mengingat bahwa turunan kedua dari $f$ adalah turunan pertama dari $f'$. Jadi $f'$ naik jika $f''$ positif; ia turun jika $f''$ negatif.

Teorema B: Teorema Kecekungan

Misalkan $f$ terdiferensiasikan dua kali pada interval terbuka $I$.

1. Jika $f''(x) > 0$ untuk semua $x$ dalam $I$, maka $f$ cekung ke atas pada $I$.
2. Jika $f''(x) < 0$ untuk semua $x$ dalam $I$, maka $f$ cekung ke bawah pada $I$.

Untuk kebanyakan fungsi, teorema ini mengubah masalah penentuan kecekungan menjadi masalah menyelesaikan pertidaksamaan.

Di mana $f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - 3x + 4$ menaik, menurun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah?

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} f'(x) & = x^{2} - 2x - 3 \\ & = (x+1)(x-3) \\ f''(x) & = 2x -2 \\ & = 2(x-1) \end{aligned}$

Dengan menyelesaikan pertidaksamaan $(x+1)(x-3) > 0$ dan lawannya, $(x+1)(x-3) < 0$, kita simpulkan bahwa $f$ menaik pada $({- \infty},{-1}]$ dan $[{3},{\infty})$ (Gambar 8) dan menurun pada $[{-1},{3}]$.

Demikian pula, dengan menyelesaikan $2(x-1) > 0$ dan $2(x-1) < 0$ memperlihatkan bahwa $f$ cekung ke atas pada $({1},{\infty})$ cekung ke bawah pada $({\infty},{1})$. Grafik $f$ diperlihatkan dalam Gambar 9.

Di mana $g(x) = x/(1+x)^{2}$ cekung ke atas dan di mana cekung ke bawah? Sketsa grafik $g$.

PENYELESAIAN. Kita mulai pembahasan fungsi ini dalam Contoh 2. Di sana kita mempelajari bahwa $g$ menurun pada $({- \infty},{-1}]$ dan $[{1},{\infty})$ dan menaik pada $({-1},{1})$. Untuk menganalisis kecekungan, kita hitung $g''$.

$\begin{aligned} g'(x) & = \dfrac{1 - x^{2}}{(1 + x)^{2}} \\ g''(x) & = \dfrac{(1+x^{2})^{2}(-2x) - (1-x^{2})(2)(1+x^{2})(2x)}{(1+x^{2})^{4}} \\ & = \dfrac{(1 + x^{2}) \left[ (1+x^{2})(-2x) - (1-x^{2}) (4x) \right]}{(1+x^{2})^{4}} \\ & = \dfrac{2x^{3} - 6x}{(1+x^{2})^{3}} \\ & = \dfrac{2x(x^{2} - 3)}{(1+x^{2})^{3}} \end{aligned}$

Karena penyebut selalu positif, kita hanya perlu menyelesaikan $x(x^{2} - 3) > 0$ dan lawannya. Titik-titik pemisah adalah $- \sqrt{3}$, 0, dan $\sqrt{3}$. Tiga titik pemisah itu menentukan empat interval. Setelah mengujinya (Gambar 10), kita simpulkan bahwa $g$ cekung ke atas pada $({- \sqrt{3}},{0})$ dan $({\sqrt{3}},{\infty})$ dan bahwa cekung ke bawah pada $({- \sqrt{\infty}},{- \sqrt{3}})$ dan $({0},{\sqrt{3}})$.

Untuk membuat sketsa grafik $g$ kita manfaatkan semua informasi yang telah diperoleh, ditambah dengan fakta bahwa $g$ sebuah fungsi ganjil yang grafiknya simetri terhadap titik asal (Gambar 11).

Misalkan air dituangkan ke dalam wadah berbentuk kerucut, seperti diperlihatkan dalam Gambar 12, dengan laju konstan sebesar $\frac{1}{2}$ inci kubik tiap detik. Tentukan tinggi $h$ sebagai fungsi waktu $t$ dan buat grafik $h(t)$ mulai dari $t=0$ sampai saat wadah penuh.

PENYELESAIAN. $\boxed{\approx}$ Sebelum kita mencoba memecahkan masalah ini, pikirkanlah seperti apa grafik tersebut nantinya. Pertama, tinggi akan bertambah secara cepat, karena diperlukan sedikit air untuk memenuhi bagian bawah wadah.

Ketika wadah semakin penuh, tinggi akan bertambah secara lebih lambat. Apa yang dikatakan pernyataan ini tentang fungsi $h(t)$, turunannya $h'(t)$, dan turunan keduanya $h''(t)$?

Karena air secara tetap dituangkan, tinggi akan selalu bertambah, sehingga $h'(t)$ akan positif. Tinggi akan bertambah secara lebih lambat ketika permukaan air menaik. Jadi fungsi $h'(t)$ menurun sehingga $h''(t)$ negatif. Karenanya grafik $h(t)$ menaik (karena $h'(t)$ positif) dan cekung ke bawah (karena $h''(t)$ negatif).

Sekarang, begitu kita mempunyai bayangan tentang bentuk grafiknya (menaik dan cekung ke bawah), kita pecahkan masalah ini secara analitis. Volume kerucut lingkaran tegak adalah $V = \frac{1}{3} r^{2} h$, dengan ${V},{r}, \text{dan} ~ h$ semuanya fungsi waktu.

Fungsi $h$ dan $r$ berkaitan: perhatikan segitiga sebangun dalam Gambar 13. Dengan menggunakan sifat segitiga sebangun, kita memperoleh

$\dfrac{r}{h} = \dfrac{1}{4}$

Jadi $r = h/4$. Sehingga volume air di dalam kerucut adalah

$\begin{aligned} V & = \dfrac{1}{3} \pi r^{2} h \\ & = \dfrac{\pi}{3} \left( \frac{h}{4} \right)^{2} h \\ & = \dfrac{\pi}{48h^{3}} \end{aligned}$

Sebaliknya, karena air mengalir ke dalam wadah pada laju $\frac{1}{2}$ inci kubik tiap detik, volume $V$ pada saat $t$ adalah $V = \frac{1}{2}t$, di mana $t$ diukur dalam detik. Dengan menyamakan dan ekspresi untuk $V$ tersebut maka

$\dfrac{1}{2}t = \dfrac{\pi}{48h^{3}}$

Ketika $h = 4$, kita memperoleh $t = \frac{2 \pi}{48} 4^{3} = \frac{8}{3} \pi \approx {8,4}$; jadi diperlukan waktu sekitar 8,4 detik untuk memenuhi wadah. Sekarang pecahkan untuk $h$ dalam persamaan di atas yang menyatakan relasi $h$ dan $t$ untuk memperoleh

$\begin{aligned} h(t) = \sqrt[3]{\frac{24}{\pi}t} \end{aligned}$

Turunan pertama dan kedua dari $h$ adalah

$\begin{aligned} h'(t) & = D_{t} \sqrt[3]{\frac{24}{\pi}t} \\ & = \dfrac{8}{\pi} \left( \frac{24}{\pi} t \right)^{-2/3} \\ & = \dfrac{2}{\sqrt[3]{9 \pi t^{2}}} \end{aligned}$

yang bernilai positif, dan

$\begin{aligned} h''(t) & = D_{t} \dfrac{2}{\sqrt[3]{9 \pi t^{2}}} \\ & = - \dfrac{4}{3 \sqrt[3]{9 \pi t^{5}}} \end{aligned}$

yang bernilai negatif. Grafik $h(t)$ diperlihatkan dalam Gambar 14. Seperti yang diharapkan, grafik $h$ menaik dan cekung ke bawah.

Sebuah kantor berita melaporkan bulan Mei 2004 bahwa pengangguran di Asia Timur terus meningkat dengan laju yang meningkkat pula. Sebaliknya harga makanan menaik, tetapi pada laju yang lebih lambat daripada sebelumnya. Tafsirkan pernyataan ini dalam bentuk fungsi menaik/menurun dan kecekungan.

PENYELESAIAN. Misalkan $u = f(t)$ menyatakan banyaknya penganggur pada saat $t$. Walaupun sebenarnya $u$ melompat dalam satuan jumlah, kita akan mengikuti praktek baku dalam menyatakan $u$ dengan sebuah kurva mulus seperti dalam Gambar 15.

Bertambahnya pengangguran berarti $du/dt > 0$. Bertambahnya pengangguran dengan laju menaik berarti fungsi $du/dt$ menaik; tetapi ini berarti bahwa turunan dari $du/dt$ harus positif.

Jadi $d^{2}u/dt^{2} > 0$. Dalam Gambar 15, perhatikan bahwa kemiringan garis singgung bertambah ketika $t$ bertambah. Pengangguran menaik dan cekung ke atas.

Demikian pula, jika $p = g(t)$ menyatakan harga makanan (yakni biaya bahan makanan satu hari untuk satu orang) pada saat $t$, maka $dp/dt$ positif tetapi berkurang. Jadi, turunan dari $dp/dt$ negatif, sehingga $d^{2}p/dt^{2} < 0$.

Dalam Gambar 16, perhatikan bahwa kemiringan garis singgung berkurang ketika $t$ bertambah. Harga makanan menaik dan cekung ke bawah.

Titik Belok

Misalkan $f$ kontinu di $c$. Kita sebut $({c},{f(c)})$ suatu titik belok (inflection point) dari grafik $f$ jika $f$ cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari $c$. Grafik dalam Gambar 17 menunjukkan sejumlah kemungkinan.

Seperti yang mungkin sudah Anda duga, titik di mana $f''(x) = 0$ atau di mana $f''(x)$ tidak ada adalah calon-calon untuk titik belok. Kita sengaja menggunakan kata calon. Sama halnya seperti calon untuk jabatan politik yang mungkin gagal terpilih, sehingga, sebagai contoh, titik dengan $f''(x) = 0$ mungkin gagal menjadi suatu titik belok. Tinjau $f(x) = x^{4}$, yang mempunyai grafik yang diperlihatkan dalam Gambar 18.

Benar bahwa $f''(0) = 0$; tetapi titik asal bukan titik belok. Karenanya, dalam pencarian titik belok, kita mulai dengan mengenali apakah titik-titik dengan sifat $f''(x) = 0$ (dan titik di mana $f''(x)$ tidak ada). Kemudian kita memeriksa apakah titik-titik tersebut benar-benar merupakan titik-titik belok.

Lihat kembai pada grafik dalam Contoh 4. Anda akan melihat bahwa $f(x)$ mempunyai tiga titik belok, yaitu $({- \sqrt{3}},{- \sqrt{3}/4})$.

Cari semua titik belok untuk $F(x) = x^{1/3} + 2$.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} F'(x) & = \dfrac{1}{3x^{2/3}} \\ F''(x) & = \dfrac{-2}{9x^{5/3}} \end{aligned}$

Turunan kedua, $F''(x)$, tidak pernah 0; namun gagal untuk ada di $x=0$. Titik $({0},{2})$ adalah titik belok karena $F''(x) > 0$ untuk $x < 0$ dan $F''(x) < 0$ untuk $x > 0$. Grafik diberikan dalam Gambar 19.

Literature Review:

[1] Varberg, Rigdon, and Purcell, Kalkulus Edisi 1 Jilid 9 (Jakarta: Penerbit Erlangga).