Penggambaran Grafik Fungsi Menggunakan Kalkulus - 3.5 Aplikasi Turunan (Kalkulus)
Keberuntung adalah apa yang terjadi ketika persiapan bertemu dengan kesempatan.
Luck is what happens when preparation meets opportunity.
Pembuatan grafik yang kita pelajari pada Subbab 0.4 adalah sederhana. Kita mengusulkan untuk memplot cukup banyak titik sehingga bentuk dasar grafik terlihat jelas. Kita menyebutkan bahwa kesimetrian grafik dapat mempermudah pembuatan grafik.
Kita sarankan agar hati-hati terhadap asimtot-asimtot yang mungkin. Namun demikian jika persamaan yang harus digambar grafiknya cukup rumit atau jika ingin membuat grafik yang sangat cermat, teknik-teknik pada subbab tersebut tidak memadai.
Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik, khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan ciri-ciri grafik. Kita dapat melokasikan titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik-titik belok; kita dapat menentukan secara persis tempat grafik menaik atau tempat cekung ke atas.
Pengikutsertaan semua gagasan ini dalam prosedur penggambaran grafik bisa kita merupakan program untuk subbab ini.
Fungsi Polinomial
Polinomial derajat 1 atau 2 mudah digambar grafiknya; yang berderajat 50 hampir mustahil. Jika derajatnya sedang, misalnya 3 sampai 6, kita akan sangat terbantu oleh alat-alat dari kalkulus.
Sketsakan grafik $f(x) = \frac{3x^{5} - 20x^{3}}{32}$.
PENYELESAIAN. Karena $f(-x) = - f(x)$, maka $f$ adalah fungsi ganjil, oleh karena itu fungsi grafiknya simetri terhadap titik asal. Dengan menetapkan $f(x) = 0$, kita temukan perpotongan sumbu-x adalah 0 dan $\pm \sqrt{20/3} \approx \pm {2,6}$. Kita dapat melangkah sejauh ini tanpa kalkulus.
Ketika kita diferensiasi $f$, kita peroleh
Jadi titik-titik kritis adalah -2, 0, dan 2; secara cepat kita temukan (Gambar 1) bahwa $f''(x) > 0 > \text{pada} ~ ({- \infty},{-2}) ~ \text{dan} ~ ({2},{\infty})$ dan bahwa $f'(x) < 0$ pada (-2, 0) dan (0, 2). Fakta-fakta ini memberitahu kita tempat $f$ naik dan turun; juga ditegaskan bahwa $f(-2) = 2$ adalah nilai maksimum lokal dan bahwa $f(2) = -2$ adalah nilai minimum lokal.
Dengan mendiferensiasikan lagi, kita peroleh
Dengan mempelajari tanda $f''(x)$ (Gambar 2), kita simpulkan bahwa $f$ cekung ke atas pada $({- \sqrt{2}},{0})$ dan $({\sqrt{2}},{\infty})$ dan cekung ke bawah pada $({- \infty},{- \sqrt{2}})$ dan $({0},{\sqrt{2}})$.
Jadi terdapat tiga titik belok, yaitu $({- \sqrt{2}};{7 \sqrt{2}/8}) \approx (-{1,4};{1,2})$, (0, 0) dan $({\sqrt{2}},{-7 \sqrt{2} / 8}) \approx ({1,4}; -{1,2})$.
Banyak dari informasi ini dikumpulkan pada bagian atas Gambar 3, yang kita gunakan mensketsakan grafik secara langsung di bawahnya.
Fungsi Rasional
Fungsi rasional, yang merupakan hasil bagi dua fungsi polinomial, agak lebih rumit untuk digambarkan grafiknya dibanding polinomial. Khususnya, kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis dekat tempat penyebut akan bernilai nol.
Sketsakan grafik $f(x) = \dfrac{x^{2} - 2x + 4}{x - 2}$
PENYELESAIAN. Fungsi ini bukan ganjil atau genap, sehingga kita tidak mempunyai simetri yang biasa. Tidak terdapat perpotongan dengan sumbu-x, karena penyelesaian dari $x^{2} - 2x + 4 = 0$ bukan bilangan real.
Perpotongan sumbu-y adalah -2. Kita mengharapkan asimtot tegak pada $x = 2$. Kenyataannya,
Diferensiasi dua kali memberikan
Karena itu titik stasioner adalah $x=0$ dan $x=4$.
Jadi, $f'(x) > 0$ pada $({- \infty},{0}) \cup ({4},{\infty})$ dan $f'(x) < 0$ pada $({0},{2}) \cup ({2},{4})$. (Ingat, bahwa $f'(x)$ tidak ada ketika $x=2$).
Selain itu $f''(x) > 0$ pada $({2},{\infty})$ dan $f''(x) < 0$ pada $({- \infty},{2})$.
Karena $f''(x)$ tidak pernah 0, tidak terdapat titik belok. Sebaliknya, $f(0) = -2$ dan $f(4) = 6$ masing-masing memberikan nilai maksimum dan minimum lokal.
Merupakan gagasan yang baik untuk memeriksa perilaku $f(x)$ untuk $\lvert x \rvert$ besar. Karena
grafik $y = f(x)$ makin lama semakin dekat ke garis $y = x$ ketika $\lvert x \rvert$ menjadi semakin besar. Kita sebut garis $y = x$ ini asimtot miring untuk grafik $f$ (lihat Soal 49 dan Subbab 1.5).
Dengan semua informasi ini, kita mampu membuat sketsa grafik yang agak cermat (Gambar 4).
Fungsi yang Melibatkan Akar
Terdapat beraneka ragam fungsi yang melibatkan akar. Berikut sebuah contoh.
Analisis fungsi
dan sketsakan grafiknya
PENYELESAIAN. Daerah asal $F$ adalah $[{0},{\infty})$ dan daerah nilai adalah $[{0},{\infty})$, sehingga grafik $F$ terbatas di kuadran pertama dan sumbu koordinat positif. Perpotongan sumbu-x adalah 0 dan 5; perpotongan sumbu-y adalah 0. Dari
kita temukan titik-titik stasioner 1 dan 5. Karena $F'(x) > 0$ pada (0, 1) dan $({5},{\infty})$ sedangkan $F'(x) < 0$ pada (1, 5), kita simpulkan bahwa $F(1) = 4$ adalah nilai maksimum lokal dan $F(5) = 0$ adalah nilai maksimum lokal.
Sedemikian jauh, semuanya berjalan lancar. Tetapi pada perhitungan turunan kedua, kita peroleh
yang agak rumit. Namun, $3x^{2} - 6x - 5 = 0$ mempunyai satu penyelesaian dalam interval $({0},{\infty})$, yaitu $1 + 2 \sqrt{6} / 3 \approx {2,6}$.
Dengan menggunakan titik-titik uji 1 dan 3, kita simpulkan bahwa $f''(x) < 0$ pada $({0},{1 + 2 \sqrt{6}/3})$ dan $f''(x) > 0$ pada $({1 + 2 \sqrt{6}/3},{\infty})$. Akibatnya titik $({1 + 2 \sqrt{6}/3},{F(1 + 2 \sqrt{6}/3)})$, yaitu sekitar (2,6; 2,3) adalah titik belok.
Ketika $x$ bertambah besar, $F(x)$ bertambah besar tanpa batas dan jauh lebih cepat daripada fungsi linear mana pun; tidak terdapat asimtot-asimtot. Grafik diberikan dalam Gambar 5.
Ringkasan Metode
Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu.
Langkah 1: Analisis prakalkulus.
- Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di bidang yang dikecualikan.
- Uji kesimetrian terhadap sumbu-y dan titik asal. (Apakah fungsi genap atau ganjil).
- Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.
Langkah 2: Analisis kalkulus.
- Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan mengetahui tempat-tempat grafik menaik dan menurun.
- Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum lokal.
- Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan titik balik.
- Cari asimtot-asimtot.
Langkah 3: Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik belok).
Langkah 4: Sketsakan grafik.
Sketsakan grafik $f(x) = x^{1/3}$ dan $g(x) = x^{2/3}$ beserta turunan-turunannya.
PENYELESAIAN. Daerah asal untuk dua fungsi itu adalah $({- \infty},{\infty})$. (Ingat akar kubik ada untuk setiap bilangan real).
Daerah nilai untuk $f(x)$ adalah $({- \infty},{\infty})$ karena setiap bilangan real merupakan akar kubik suatu bilangan lain. Dengan menuliskan $g(x)$ sebagai $g(x) = x^{2/3} = (x^{1/3})^{2}$, kita lihat bahwa $g(x)$ haruslah tak-negatif; daerah nilainya adalah $[{0},{\infty})$.
dan
dan turunan-turunan kedua adalah
dan
Untuk kedua fungsi satu-satunya titik kritis, dalam kasus ini titik di mana turunan tidak ada, adalah $x = 0$.
Perhatikan bahwa $f'(x) > 0$ untuk semua $x$, kecuali $x=0$. Jadi $f$ menaik pada $({- \infty},{0}]$ dan juga $[{0},{\infty})$, tetapi karena $f$ kontinu pada $({- \infty},{\infty})$, maka kita simpulkan bahwa $f$ menaik.
Akibatnya, $f$ tidak mempunyai maksimum atau minimum lokal. Karena $f''(x)$ positif ketika $x$ negatif dan adalah negatif ketika $x$ positif (dan tidak terdefinisi ketika $x=0$), kita simpulkan bahwa $f$ cekung ke atas pada $({- \infty},{0})$ dan cekung ke bawah pada $({0},{\infty})$.
Titik (0, 0) adalah titik belok, karena di sana tempat kecekungan berubah.
Sekarang tinjau $g(x)$. Perhatikan bahwa $g'(x)$ negatif ketika $x$ negatif dan positif ketika $x$ positif. Karena $g$ menurun pada $({- \infty},{0}]$ dan menaik pada $[{0},{\infty})$, maka $g(0) = 0$ adalah minimum lokal.
Perhatikan juga bahwa $g''(x)$ negatif selama $x \neq 0$. Jadi $g$ cekung ke bawah pada $({- \infty},{0})$ dan cekung ke bawah pada $({0},{\infty})$, sehingga (0, 0) bukanlah titik belok. Grafik-grafik ${f(x)},{f'(x)},{f''(x)},{g(x)},dan ~ {g'(x)}$ diperlihatkan dalam Gambar 6 dan 7.
Perhatikan bahwa dalam contoh di atas kedua fungsi mempunyai satu titik kritis $x=0$, sedangkan turunan tidak terdefinisi. Namun demikian grafik-grafik fungsi tersebut sangat berbeda.
Grafik $y = f(x)$ mempunyai garis singgung di semua titik, tetapi tegak ketika $x=0$. (Jika garis singgungnya tegak, maka turunan tidak ada di titik tersebut).
Grafik $y = g(x)$ mempunyai titk tajam, disebut cusp, di $x=0$.
Penggunaan Turunan untuk Menggambar Grafik Fungsi
Dengan hanya mengenal turunan fungsi dapat memberitahu kita banyak hal tentang fungsi itu sendiri dan bagaimana tentang grafiknya.
Gambar 8 memperlihatkan grafik $y = f'(x)$. Carilah semua ekstrim lokal dan titik belok dari $f$ pada interval [-1, 3]. Diketahui bahwa $f(1) = 0$, sketsakan grafik $y = f(x)$.
PENYELESAIAN. Turunan negatif pada interval (-1, 0) dan (0, 2), dan positif pada interval (2, 3). Jadi $f$ menurun pada [-1, 0] dan pada [0, 2], sehingga terdapat maksimum lokal di titik ujung kiri $x = -1$.
Karena $f'(x)$ positif pada (2, 3), maka $f$ menaik pada [2, 3], sehingga terdapat maksimum lokal di titik ujung kanan $x=3$. Karena $f$ menurun pada [-1, 2] dan menaik pada [2, 3], terdapat minimum lokal di $x = 2$.
Gambar 9 meringkas informasi ini.
Titik belok untuk $f$ terjadi ketika kecekungan $f$ berubah. Karena $f'$ menaik pada (-1, 0) dan pada (0, 3), $f$ cekung ke atas pada (-1, 0) dan pada (1, 3).
Karena $f'$ menurun pada (0, 1), $f$ cekung ke bawah pada (0, 1). Jadi $f$ berubah kecekungan di $x=0$ dan $x=1$.
Karenanya titik-titik belok adalah $({0},{f(0)})$ dan $({1},{f(1)})$.
Informasi yang disketsakan di atas, bersama fakta bahwa $f(1) = 0$, dapat digunakan untuk mensketsakan grafik $y = f(x)$. (Sketsa tidak dapat terlalu persis karena kita masih tetap mempunyai informasi terbatas tentang $f$).
Sketsa diperlihatkan dalam Gambar 10.
