Ekstrim Lokal dan Ekstrim pada Interval Terbuka - 3.3 Aplikasi Turunan (Kalkulus)
Apa itu kejahatan? Segala sesuatu yang lahir dari kelemahan.
What is bad? Everything that is born of weakness.
Kita ingat kembali dari Subbab 3.1 bahwa nilai maksimum (jika ada) dari suatu fungsi $f$ pada himpunan $S$ adalah nilai $f$ terbesar yang dicapai pada keseluruhan himpunan $S$. Kadang-kadang dilihat sebagai nilai maksimum global, atau nilai maksimum absolut dari $f$. Jadi untuk fungsi $f$ dengan daerah asal $S = [{a},{b}]$ yang grafiknya diberikan dalam Gambar 1, $f(a)$ adalah nilai maksimum global.
Tetapi bagaimana tentang $f(c)$? Mungkin saja ia bukan raja, tetapi paling tidak ia adalah kepala dari lingkungan sekitarnya. Kita sebut $f(c)$ suatu nilai maksimum lokal, atau nilai maksimum relatif. Tentu saja nilai maksimum global berarti juga nilai maksimum lokal.
Gambar 2 melukiskan sejumlah kemungkinan. Perhatikan bahwa nilai maksimum global (jika ada) hanyalah yang terbesar di antara nilai-nilai maksimum lokal. Demikian pula, nilai minimum global adalah yang terkecil di antara nilai-nilai minimum lokal.
Berikut ini definisi formal dari maksimum lokal dan minimum lokal. Ingat kembali bahwa labang $\cap$ menyatakan irisan (bagian bersama) dari dua himpunan.
Di Mana Nilai-nilai Ekstrim Lokal Terjadi?
Teorema Titik Kritis (Teorema 3.1B) berlaku dengan ungkapan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jadi titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner dan titik singular) adalah calon untuk titik tempat kemungkinan tejadinya ekstrim lokal.
Kita gunakan calon karena kita menuntut bahwa bahwa setiap harus merupakan ekstrim lokal. Bagian kiri grafik dalam Gambar 3 membuat ini jelas. Tetapi, jika turunan adalah positif pada satu pihak dari titik kritis dan negatif pada pihak lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal, seperti diperlihatkan dalam grafik tengah dan kanan Gambar 3.
Bukti (i) Karena $f'(x)$ untuk semua $x$ dalam $({a},{c})$, maka menurut Teorema Kemonotonan $f$ menaik pada $({a},{c})$. Lagi-lagi, karena $f'(x) < 0$ untuk semua $x$ dalam $({c},{b})$, maka $f$ menurun pada $({c},{b})$.
Jadi, $f(x) < f(c)$ untuk semua $x$ dalam $({a},{b})$, kecuali tentu saja di $x = c$. Kita simpulkan bahwa $f(c)$ adalah maksimum lokal.
Bukti (ii) dan (iii) serupa.
Carilah nilai-nilai ekstrim lokal dari fungsi $f(x) = x^{2} - 6x + 5$ pada $({- \infty},{\infty})$.
PENYELESAIAN. Fungsi polinomial $f$ kontinu di mana-mana, dan turunannya, $f'(x) = 2x - 6$, ada untuk semua $x$. Jadi satu-satunya titik kritis untuk $f$ adalah penyelesaian tunggal dari $f'(x) = 0$, yakni $x=3$.
Karena $f'(x) = 2(x-3) < 0$ untuk $x < 3$, $f$ menurun pada $({- \infty},{3}]$; dan karena $f'(x) = 2(x-3) > 0$ untuk $x > 3$, $f$ menaik pada $[{3},{\infty})$.
Karena itu, menurut Uji Turunan Pertama, $f(3) = -4$ adalah nilai minimum lokal $f$. Karena 3 adalah satu-satunya titik kritis, tidak terdapat nilai ekstrim lain. Grafik $f$ diperlihatkan dalam Gambar 4. Perhatikan bahwa dalam kasus ini $f(3)$ sebenarnya adalah nilai minimum (global).
Carilah nilai-nilai ekstrim lokal dari $f(x) = \dfrac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3x + 4$ pada $({- \infty},{\infty})$.
PENYELESAIAN. Karena $f'(x) = x^{2} - 2x -3 = (x+1)(x-3)$, titik kritis $f$ hanyalah -1 dan 3. Ketika kita gunakan titik-titik uji -2, 0, dan 4, kita ketahui bahwa $(x+1)(x-3) > 0$ pada $({- \infty},{-1})$ dan $({3},{\infty})$ serta $(x+1)(x-3) < 0$ pada $({-1},{3})$.
Menurut Uji Turunan Pertama kita simpulkan bahwa $f(-1) = \frac{17}{3}$ adalah nilai maksimum lokal dan bahwa $f(3) = -5$ adalah nilai minimum lokal (Gambar 5).
Carilah nilai ekstrim lokal dari $f(x) = (\sin{x})^{2/3}$ pada $({- \pi / 6},{2 \pi / 3})$.
PENYELESAIAN.
Titik 0 dan $\pi / 2$ adalah titik kritis, karena $f'(0)$ tidak ada dan $f'(\pi / 2) = 0$. Sekarang $f'(x) < 0$ pada $({\pi / 6},{0})$ dan pada $({\pi / 2},{2 \pi / 3})$, sedangkan $f'(x) > 0$ pada $({0},{\pi / 2})$.
Menurut Uji Turunan Pertama kita simpulkan bahwa $f(0) = 0$ adalah nilai minimum lokal dan $f(\pi / 2) = 1$ adalah nilai maksimum lokal. Grafik $f$ diperlihatkan dalam Gambar 6.
Uji Turunan Kedua
Terdapat uji lain untuk maksimum dan minimum lokal yang kadang-kadang lebih mudah diterapkan daripada Uji Turunan Pertama. Uji ini melibatkan perhitungan turunan kedua pada titik stasioner, tapi tidak berlaku pada titik-titik singular.
Bukti (i) Kita cenderung mengatakan bahwa karena $f''(c) < 0$, maka $f$ cekung ke bawah dekat $c$ dan menyatakan bahwa ini membuktikan (i).
Namun, agar yakin bahwa $f$ cekung ke bawah di lingkungan $c$, kita memerlukan $f''(x) < 0$ di lingkungan tersebut (tidak hanya di $c$), dan tidak ada dalam hipotesis kita yang menjamin itu. Kita harus lebih hati-hati sedikit. Menurut definisi dan hipotesis,
sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa terdapat interval $({\alpha},{\beta})$ (mungkin pendek) di sekitar $c$ di mana
Tetapi pertidaksamaan ini mengimplikasikan bahwa $f'(x) > 0$ untuk $\alpha < x < c$ dan $f'(x) < 0$ untuk $c < x < \beta$. Jadi menurut Uji Turunan Pertama, $f(c)$ adalah nilai maksimum lokal.
Bukti (ii) serupa.
Untuk $f(x) = x^{2} - 6x + 5$, gunakan Uji Turunan Kedua untuk mengenali ekstrim lokal.
PENYELESAIAN. Ini adalah fungsi dari Contoh 1. Perhatikan bahwa
Jadi $f'(3) = 0$ dan $f''(3) > 0$. Karena itu, menurut Uji Turunan Kedua, $f(3)$ adalah nilai minimum lokal.
Untuk $f(x) = \dfrac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3x + 4$, gunakan Uji Turunan Kedua untuk mengenali ekstrim lokal.
PENYELESAIAN. Ini adalah fungsi dari Contoh 2.
Titik-titik kritis adalah -1 dan 3 $( f'(-1) = f'(3) = 0 )$. Karena $f''(-1) = -4$ dan $f''(3) = 4$, kita simpulkan menurut Uji Turunan Kedua bahwa $f(-1)$ adalah nilai maksimum lokal dan bahwa $f(3)$ adalah nilai minimum lokal.
Sayangnya, Uji Turunan Kedua kadang-kadang gagal, karena $f''(x)$ mungkin 0 pada titik stasioner. Untuk $f(x) = x^{3}$ dan $f(x) = x^{4}$, $f'(0) = 0$ dan $f''(0) = 0$ (lihat Gambar 7).
Yang pertama tidak mempunyai nilai maksimum atau minimum lokal di 0, yang kedua mempunyai minimum lokal di sana. Ini memperlihatkan bahwa jika $f''(x) = 0$ di titik stasioner, kita tidak mampu menarik kesimpulan tentang maksimum atau minimum tanpa informasi yang lengkap.
Ekstrim pada Interval Terbuka
Masalah-masalah yang kita pelajari dalam subbab ini dan dalam Subbab 3.1 kerap kali dengan asumsi bahwa himpunan tempat fungsi yang kita ingin maksimumkan atau minimumkan adalah sebuah interval tertutup.
Namun, interval yang muncul dalam praktek tidaklah selalu tertutup, kadang-kadang terbuka, atau bahkan terbuka pada satu ujung dan tertutup pada ujung lainnya.
Kita tetap dapat menangani masalah ini jika kita secara benar menerapkan teori yang dikembangkan dalam subbab ini. Ingatlah bahwa maksimum (minimum) tanpa keterangan tertentu berarti maksimum (minimum) global.
Carilah (jika ada) nilai-nilai minimum dan maksimum dari $f(x) = x^{4} - 4x$ pada $({- \infty},{\infty})$.
PENYELESAIAN.
Karena $x^{2} + x + 1 = 0$ tidak mempunyai penyelesaian real (rumus abc), maka hanya terdapat satu titik kritis, $x=1$. Untuk $x < 1$, $f'(x) < 0$, sedangkan untuk $x > 1$, $f'(x) > 0$.
Kita simpulkan bahwa $f(1) = -3$ adalah nilai minimum lokal untuk $f$; dan karena $f$ menurun di kiri 1 dan menaik di kanan 1, memang benar nilai ini adalah nilai minimum dari $f$.
Fakta-fakta yang dinyatakan di atas mengimplikasikan bahwa $f$ tidak dapat mempunyai nilai maksimum. Grafik $f$ diperlihatkan dalam Gambar 8.
Carilah (jika ada) nilai-nilai minimum dan maksimum dari
pada (0, 1).
PENYELESAIAN.
satu-satunya titik kritis adalah $p = 1/2$. Untuk setiap nilai $p$ dalam interval (0,1) penyebut positif; jadi pembilang yang menentukan tanda. Jika $p$ berada dalam interval $({0},{1/2})$, maka pembilangnya negatif; karenanya $G'(p) < 0$.
Demikian pula, jika $p$ berada dalam interval $({1/2},{1})$, $G'(p) > 0$. Jadi, menurut Uji Turunan Pertama $G(1/2) = 4$ adalah minimum lokal. Karena tidak terdapat titik ujung atau titik singular untuk diperiksa, $G(1/2)$ adalah minimum global. Tidak terdapat maksimum. Grafik $y = G(p)$ diperlihatkan dalam Gambar 9.
