Diferensiasi Implisit - 2.7 Turunan (Kalkulus)

Contents

• 1 Sebuah Contoh yang Dapat Diperiksa
• 2 Beberapa Kesukaran yang Tak-Kentara
• 3 Lebih Banyak Contoh
• 4 Aturan Pangkat Lagi

---

Bab 2: Turunan - KALKULUS
2.1	Dua Masalah dengan Satu Tema
2.2	Turunan
2.3	Aturan Pencarian Turunan
2.4	Turunan Fungsi Trigonometri
2.5	Aturan Rantai
2.6	Turunan Tingkat-Tinggi
2.7	Diferensiasi Implisit
2.8	Laju Terkait
2.9	Diferensial dan Aproksimasi

---

Kepelikan adalah langkah awal menuju kebenaran.

Adversity is the first path to truth.

G. G. Byron, "Don Juan"

Dalam persamaan

$y^{3} + 7y = x^{3}$

kita tidak dapat memecahkan $y$ dalam bentuk $x$. Namun, boleh jadi masih tetap menjadi kasus, bahwa terdapat tepat satu $y$ yang berkorespondensi terhadap masing-masing $x$. Misalnya, kita boleh menanyakan berapa nilai-nilai $y$ (jika ada) yang berkorespondensi terhadap $x=2$. Untuk menjawab pertanyaan ini, kita harus memecahkan

$y^{3} + 7y = 8$

Tentu saja, $y=1$ adalah satu penyelesaian, dan ternyata bahwa $y=1$ adalah satu-satunya penyelesaian real.

Diberikan $x=2$, persamaan $y^{3} + 7y = x^{3}$ menentukan nilai $y$ yang berkorespondensi. Kita katakan bahwa persamaan mendefinisikan $y$ sebagai fungsi implisit $x$.

Grafik persamaan ini, diperlihatkan dalam Gambar 1, tentu saja nampak seperti grafik suatu fungsi yang terdiferensiasikan. Elemen baru ini tidak berbentuk $y = f(x)$. Berdasarkan grafik, kita anggap bahwa $y$ adalah sesuatu fungsi yang tidak diketahui dari $x$. Jika kita nyatakan fungsi ini oleh $y(x)$, kita dapat menuliskan persamaan tersebut sebagai

$[y(x)]^{3} + 7y(x) = x^{3}$

Walaupun kita tidak mempunyai rumus untuk $y(x)$, kita masih tetap dapat memperoleh kaitan antara $x$, $y(x)$, dan $y'(x)$, dengan mendiferensiasikan kedua ruas persamaan itu terhadap $x$. Dengan menggunakan Aturan Rantai, kita peroleh

$\begin{aligned} \frac{d}{dx} (y^{3}) + \frac{d}{dx} (7y) & = \frac{d}{dx} x^{3} \\ 3y^{2} \frac{dy}{dx} + 7 \frac{dy}{dx} & = 3x^{2} \\ \frac{dy}{dx} (3y^{2} + 7) & = 3x^{2} \\ \frac{dy}{dx} & = \dfrac{3x^{2}}{3y^{2} + 7} \end{aligned}$

Perhatikan bahwa ekspresi kita untuk $dy/dx$ melibatkan $x$ dan $y$, suatu fakta yang sering menyulitkan. Tetapi jika kita hanya ingin mencari kemiringan pada suatu titik yang kedua koordinatnya diketahui, tidak ada kesukaran. Pada $(2,1)$,

$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} & = \dfrac{3(2)^{2}}{3(1)^{2} + 7} \\ & = \dfrac{12}{10} \\ & = \dfrac{6}{5} \end{aligned}$

Kemiringannya adalah $\frac{6}{5}$.

Metode yang baru saja diilustrasikan untuk mencari $dy/dx$ tanpa terlebih dahulu menyelesaikan secara gamblang persamaan yang diberikan untuk $y$ dalam $x$ disebut diferensiasi implisit. Tetapi apakah metode tersebut valid - apakah metode ini memberikan jawaban yang benar?

Sebuah Contoh yang Dapat Diperiksa

Untuk membuktikan fakta guna kebenaran metode tersebut, tinjau contoh berikut, yang dapat dikerjakan dalam dua cara.

Cari $dy/dx$ jika $4x^{2}y - 3y = x^{3} - 1$.

PENYELESAIAN.

Metode 1 Kita dapat menyelesaikan persamaan yang diberikan untuk $y$ secara gamblang sebagai berikut:

$\begin{aligned} y(4x^{2} - 3) & = x^{3} - 1 \\ y & = \dfrac{x^{3} - 1}{4x^{2} - 3} \end{aligned}$

Jadi,

$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} & = \dfrac{(4x^{2} - 3)(3x^{2}) - (x^{3} - 1)(8x)}{(4x^{2} - 3)^{2}} \\ & = \dfrac{4x^{4} - 9x^{2} + 8x}{(4x^{2} - 3)^{2}} \end{aligned}$

Metode 2 Diferensiasi Implisit Kita samakan turunan-turunan kedua ruas dari

$\begin{aligned} \frac{d}{dx} (4x^{2}y - 3y) & = \frac{d}{dx} (x^{3} - 1) \end{aligned}$

Setelah menggunakan Aturan Hasil Kali pada suku pertama, kita peroleh

$\begin{aligned} 4x^{2} \cdot \frac{dy}{dx} + y \cdot 8x - 3 \frac{dy}{dx} & = 3x^{2} \\ \frac{dy}{dx} (4x^{2} - 3) & = 3x^{2} - 8xy \\ \frac{dy}{dx} & = \dfrac{3x^{2} - 8xy}{4x^{2} - 3} \end{aligned}$

Dua jawaban ini kelihatannya berlainan. Untuk satu hal, jawaban yang diperoleh dari Metode 1 hanya melibatkan $x$, sedangkan jawaban dari Metode 2 melibatkan $x$ maupun $y$.

Namun, ingat bahwa persamaan persamaan yang semula dapat dipecahkan untuk $y$ dalam bentuk $x$ dan memberikan $y = (x^{3} - 1)/(4x^{2} - 3)$. Ketika mensubstitusi $y = (x^{3} - 1)/(4x^{2} - 3)$ ke dalam ekspresi untuk $dy/dx$ yang baru saja diperoleh, kita mendapatkan yang berikut:

$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} & = \dfrac{3x^{2} - 8xy}{4x^{2} - 3} \\ & = \dfrac{3x^{2} - 8x \frac{x^{3} - 1}{4x^{2} - 3}}{4x^{2} - 3} \\ & = \dfrac{12x^{4} - 9x^{2} - 8x^{4} + 8x}{(4x^{2} - 3)^{2}} \\ & = \dfrac{4x^{4} - 9x^{2} + 8x}{(4x^{2} - 3)^{2}} \end{aligned}$

Beberapa Kesukaran yang Tak-Kentara

Jika sebuah persamaan dalam $x$ dan $y$ menentukan fungsi $y = f(x)$ dan jika fungsi ini terdiferensiasikan, maka metode diferensiasi implisit akan menghasilkan ekspresi yang benar untuk $dy/dx$. Tetapi perhatikan terdapat dua "jika" besar dala pernyataan ini.

Tinjau persamaan

$x^{2} + y^{2} = 25$

yang menentukan fungsi-fungsi $y = f(x) = \sqrt{25 - x^{2}}$ dan fungsi $y = g(x) = - \sqrt{25 - x^{2}}$. Grafik fungsi-fungsi tersebut diperlihatkan dalam Gambar 2.

Untunglah, kedua fungsi ini terdiferensiasikan pada $({-5},{5})$. Pertama perhatikam $f$. Fungsi ini memenuhi

$x^{2} + [f(x)]^{2} = 25$

Ketika kita diferensiasikan secara implisit dan diselesaikan untuk $f'(x)$, kita peroleh

$\begin{aligned} 2x + 2f(x) f'(x) & = 0 \\ f'(x) & = - \dfrac{x}{f(x)} \\ & = - \dfrac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}} \end{aligned}$

Perlakuan serupa yang lengkap terhadap $g(x)$ menghasilkan

$\begin{aligned} g'(x) & = - \dfrac{x}{g(x)} \\ & = \dfrac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}} \end{aligned}$

Agar lebih praktis, kita dapat memperoleh kedua hasil ini secara serempak dengan diferensiasi secara implisit dari $x^{2} + y^{2} = 25$. Ini memberikan

$\begin{aligned} 2x + 2y \frac{dy}{dx} & = 0 \\ \frac{dy}{dx} & = - \dfrac{x}{y} \\ & = \dfrac{-x}{\sqrt{25 - x}} , ~ \text{jika} ~ y = f(x) \\ & = \dfrac{-x}{- \sqrt{25 - x^{2}}}, ~ \text{jika} ~ y = g(x) \end{aligned}$

Pada umumnya, hasil-hasilnya identik dengan yang diperoleh di atas.

Perhatikan bahwa sering cukup untuk mengetahui $dy/dx = -x/y$ agar dapat menerapkan hasil-hasil kita. Misalkan kita ingin mengetahui kemiringan garis singgung pada lingkaran $x^{2} + y^{2} = 25$ ketika $x=3$.

Untuk mengetahui $x = 3$, nilai-nilai $y$ yang berkorespondensi adalah 4 dan -4. Kemiringan di (3,4) dan (3, -4), yang masing-masing diperoleh dengan mensubstitusi dalam $-x/y$, masing-masing adalah $- \frac{3}{4}$ dan $\frac{3}{4}$ (lihat Gambar 2).

Untuk mempersulit keadaan, kita tunjukkan bahwa

$\begin{aligned} x^{2} + y^{2} = 25 \end{aligned}$

menentukan banyak fungsi lain. Misalnya, tinjau fungsi $h$ yang didefinisikan oleh

$\begin{aligned} h(x) & = \sqrt{25-x^{2}} , ~ \text{jika} ~ -5 \le x \le 3 \\ & = - \sqrt{25 - x^{2}} , ~ \text{jika} ~ 3 < x \le 5 \end{aligned}$

Fungsi ini juga memenuhi $x^{2} + y^{2} = 25$, karena $x^{2} + [h(x)]^{2} = 25$. Tetapi tidak kontinu di $x = 3$, sehingga tentu saja tidak mempunyai turunan di sana (lihat Gambar 3).

Sementara kajian fungsi implisit menuju ke masalah teknis yang sukar (ditangani dalam kalkulus lanjut), soal-soal yang kita bahas mempunyai penyelesaian langsung.

Lebih Banyak Contoh

Dalam contoh-contoh berikut, kita anggap bahwa persamaan yang diberikan menentukan satu atau lebih fungsi-fungsi terdiferensiasi yang turunan-turunannya dapat dicari dengan diferensiasi implisit. Perhatikan bahwa dalam tiap kasus, kita mulai dengan mengambil turunan tiap ruas persamaan yang diberikan terhadap variabel yang sesuai. Kemudian kita gunakan Aturan Rantai seperti yang diperlukan.

Carilah $dy/dx$ jika $x^{2} + 5y^{3} = x+9$.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} \frac{d}{dx} (x^{2} + 5y^{3}) & = \frac{d}{dx} (x+9) \\ 2x + 15y^{2} \frac{dy}{dx} & = 1 \\ \frac{dy}{dx} & = \dfrac{1-2x}{15y^{2}} \end{aligned}$

Cari persamaan garis singgung pada kurva
$$y^{3} - xy^{2} + \cos{xy} = 2$$
di titik (0, 1).

PENYELESAIAN. Untuk menyederhanakan, kita gunakan notasi $y'$ untuk $dy/dx$. Ketika kita mendiferensiasikan kedua ruas dan menyamakan hasilnya, kita peroleh

$\begin{aligned} 3y^{2}y' - x(2yy') - y^{2} - (\sin{xy})(xy' + y) & = 0 \\ y'(3y^{2} - 2xy - x \cdot \sin{xy}) & = y^{2} + y \cdot \sin{xy} \\ y' & = \dfrac{y^{2} + y \cdot \sin{xy}}{3y^{2} - 2xy - x \cdot \sin{xy}} \end{aligned}$

Di titik $(0,1)$, $y' = \frac{1}{3}$. Sehingga persamaan garis singgung di $(0,1)$ adalah

$y - 1 = \dfrac{1}{3}(x-0)$

atau

$y = \dfrac{1}{3}x + 1$

Aturan Pangkat Lagi

Kita telah mempelajari bahwa $D_{x}(x^{n}) = nx^{n-1}$, di mana $n$ adalah sebarang bilangan bulat. Sekarang ini kita perluas untuk kasus dengan $n$ adalah sebarang bilangan rasional.

Teorema A: Aturan Pangkat

Misalkan $r$ sebarang bilangan rasional. Maka untuk $x > 0$,
$$D_{x}(x^{r}) = rx^{x-1}$$
Jika $r$ dapat dituliskan dalam suku terendah sebagai $r = p/q$, di mana $q$ ganjil, maka $D_{x}(x^{r}) = rx^{r-1}$ untuk semua $x$.

Bukti Karena $r$ rasional, maka $r$ dapat dituliskan sebagai $p/q$, di mana $p$ dan $q$ bilangan bulat dan $q > 0$. Misalkan

$y = x^{r} = x^{p/q}$

Maka

$y^{q} = x^{p}$

dan, dengan diferensiasi implisit,

$qy^{q-1} D_{x}y = px^{p-1}$

Jadi,

$\begin{aligned} D_{x}y & = \dfrac{px^{p-1}}{qy^{q-1}} \\ & = \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{x^{p-1}}{(x^{p/q})^{q-1}} \\ & = \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{x^{p-1}}{x^{p-p/q}} \\ & = \dfrac{p}{q} x^{p-1-p+p/q} \\ & = \dfrac{p}{q} x^{p/q-1} \\ & = rx^{r-1} \end{aligned}$

Kita memperoleh hasil dikehendaki, tetapi secara jujur kita harus menunjukkan kekurangan dalam argumentasi kita. Dalam langkah pendiferensiasikan implisit kita bahwa $D_{x}y$ ada, yakni bahwa $y = x^{p/q}$ terdiferensiasi.

Jika $y = 2x^{5/3} + \sqrt{x^{2}+1}$, carilah $D_{x} y$.

PENYELESAIAN. Dengan menggunakan Teorema A dan Aturan Rantai, kita mempunyai

$\begin{aligned} D_{x} y & = 2 D_{x} x^{5/3} + D_{x} (x^{2}+1)^{1/2} \\ & = 2 \cdot \dfrac{5}{3} x^{5/3-1} + \dfrac{1}{2} (x^{2}+1)^{1/2-1} \cdot (2x) \\ & = \dfrac{10}{3} x^{2/3} + \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} \end{aligned}$

Literature Review:

[1] Varberg, Rigdon, and Purcell, Kalkulus Edisi 1 Jilid 9 (Jakarta: Penerbit Erlangga).