Diferensial dan Aproksimasi - 2.9 Turunan (Kalkulus)

Contents

• 1 Diferensial Terdefinisi
• 2 Aproksimasi
• 3 Estimasi Galat
• 4 Aproksimasi Linear

---

Bab 2: Turunan - KALKULUS
2.1	Dua Masalah dengan Satu Tema
2.2	Turunan
2.3	Aturan Pencarian Turunan
2.4	Turunan Fungsi Trigonometri
2.5	Aturan Rantai
2.6	Turunan Tingkat-Tinggi
2.7	Diferensiasi Implisit
2.8	Laju Terkait
2.9	Diferensial dan Aproksimasi

---

Meragukan dan memercayai adalah dua hal yang serupa; keduanya menghalangi kita dari bernalar.

To doubt everything and to believe everything are two equally convenient solutions; each saves us from thinking.

Henri Poincaré, "Science and Hypothesis"

Notasi Leibniz $dy/dx$ telah digunakan untuk turunan $y$ terhadap $x$. Notasi $d/dx$ telah digunakan sebagai operator untuk turunan (dari apapun yang mengikuti $d/dx$) terhadap $x$. Jadi $d/dx$ dan $D_{x}$ sinonim.

Sampai sekarang, kita telah, kita telah memperlakukan $dy/dx$ (atau $d/dx$) sebagai lambang tunggal belaka dan tidak mencoba memberikan makna tersendiri pada $dy$ dan $dx$. Dalam subbab ini kita akan memberikan makna terhadap $dy$ dan terhadap $dx$.

Misalkan $f$ adalah fungsi yang terdiferensiasi. Untuk memberi motivasi definisi kita, misalkan $P(x_{0} , y_{0})$ adalah titik tetap pada grafik $y = f(x)$, seperti diperlihatkan dalam Gambar 1. Karena $f$ terdiferensiasikan,

$$\begin{aligned} \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_{0} + \triangle x) - f(x_{0})}{\triangle x} = f'(x_{0}) \end{aligned}$$

Jadi, jika $\triangle x$, hasil-bagi $[f(x_{0} + x) - f(x_{0})] / \triangle x$ akan bernilai kira-kira sebesar $f'(x_{0})$, sehingga

$f(x_{0} + \triangle x) - f(x_{0}) \approx \triangle x f'(x_{0})$

Ruas kiri ekspresi ini disebut $\triangle y$; ini adalah perubahan sebenarnya dalam $y$ ketika $x$ berubah dari $x_{0}$ ke $x_{0} + \triangle x$. Ruas kanan disebut $dy$, dan dia bertindak sebagai aproksimasi terhadap $\triangle y$. Seperti ditunjukkan oleh Gambar 2, besaran $dy$ sama dengan perubahan dalam garis singgung terhadap kurva di $P$ ketika $x$ berubah dari $x_{0}$ ke $x_{0} + \triangle x$. Ketika $\triangle x$ kecil, kita harapkan $dy$ adalah aproksimasi yang bagus terhadap $\triangle y$, dan karena hanya berupa konstanta dikali $\triangle x$, perhitungannya biasanya lebih mudah.

Diferensial Terdefinisi

Berikut adalah definisi formal dari diferensial $dx$ dan $dy$.

Definisi: Diferensial

Misalkan $y = f(x)$ adalah fungsi terdiferensiasi dari variabel bebas $x$

• $\triangle x$ adalah pertambahan sebarang dalam variabel bebas $x$.
• $dx$, disebut diferensial variabel bebas $x$, adalah sama dengan $\triangle x$.
• $\triangle y$ adalah perubahan sebenarnya dalam variabel $y$ ketika $x$ berubah dari $x$ ke $x + \triangle x$; yakni $\triangle y = f(x + \triangle x) - f(x)$.
• $dy$, disebut diferensial variablel tak-bebas $y$, didefinisikan oleh $dy = f'(x) dx$.

Carilah $dy$ jika

1. $y = x^{3} - 3x + 1$
2. $y = \sqrt{x^{2} + 3x}$
3. $y = \sin{(x^{4} - 3x^{2} + 11)}$

PENYELESAIAN. Jika kita mengetahui bagaimana menghitung turunan, maka kita tahu bagaimana menghitung diferensial. Kita cukup menghitung turunan dan mengalikannya dengan $dx$.

$\begin{array}{lcl} \text{a)..} \quad dy & = & (3x^{2} - 3)dx \\ \text{b)..} \quad dy & = & \dfrac{1}{2} (x^{2} + 3x)^{-1/2} (2x+3)dx \\ & = & \dfrac{2x + 3}{2 \sqrt{x^{2} + 3x}} \\ \text{c)..} \quad dy & = & \cos{(x^{4} - 3x^{2} + 11)} \cdot (4x^{3} - 6x)dx \end{array}$

Sekarang kami minta Anda memperhatikan beberapa hal. Pertama, karena $dy = f'(x) dx$, pembagian kedua ruas oleh $dx$ menghasilkan

$$f'(x) = \frac{dy}{dx}$$

dan kita dapat, jika kita menginginkan, menafsirkan turunan sebagai suatu hasil bagi dua diferensial.

Kedua, berkorespondensi terhadap setiap aturan turunan, terdapat aturan diferensial yang diperoleh dari yang lebih dahulu dengan memperkalikan dengan $dx$. Kita ilustrasikan aturan-aturan utama dalam tabel di bawah.

Aproksimasi

Diferensial akan memainkan beberapa peranan dalam buku ini, tetapi untuk sekarang penggunaan utamanya adalah dalam penyediaan aproksimasi. Kita telah menunjuk hal ini sebenarnya.

Misalkan bahwa $y = f(x)$ seperti diperlihatkan dalam Gambar 3. Pertambahan $\triangle x$ menghasilkan pertambahan yang berkorespondensi $\triangle y$ dalam $y$, yang dapat dihampiri oleh $dy$. Jadi $f(x + \triangle x)$ diaproksimasi oleh

$$f(x + \triangle x) \approx f(x) + dy = f(x) + f'(x) \triangle x$$

Ini adalah dasar untuk penyelesaian terhadap semua contoh yang menyusul.

Misalkan Anda memerlukan aproksimasi yang baik terhadap $\sqrt{4,6}$ dan $\sqrt{8,2}$, tetapi kalkulator Anda mati. Apa yang mungkin Anda kerjakan?

PENYELESAIAN. Tinjau grafik $y = \sqrt{x}$ yang disketsakan dalam Gambar 4. Ketika $x$ berubah dari 4 ke 4,6 maka $\sqrt{x}$ berubah dari $\sqrt{4} = 2$ ke (secara aproksimasi) $\sqrt{4} + dy$. Sekarang

$\begin{aligned} dy & = \dfrac{1}{2} x^{-1/2} dx \\ & = \dfrac{1}{2 \sqrt{2}} dx \end{aligned}$

yang, di $x=4$ dan $dx = {0,6}$, memiliki nilai

$\begin{aligned} dy & = \dfrac{1}{2 \sqrt{4}} (0,6) \\ & = \dfrac{0,6}{4} \\ & = 0,15 \end{aligned}$

Jadi,

$\begin{aligned} \sqrt{4,6} \approx \sqrt{4} + dy & = 2 + {0,15} \\ & = {2,15} \end{aligned}$

Demikian pula, di $x = 9$ dan $dx = -{0,8}$,

$\begin{aligned} dy & = \dfrac{1}{2 \sqrt{9}} (-{0,8}) \\ & = \dfrac{-{0,8}}{6} \\ & \approx -{0,133} \end{aligned}$

Karena itu

$\begin{aligned} \sqrt{8,2} & \approx \sqrt{9} + dy \\ & \approx 3 - {0,133} = {2,867} \end{aligned}$

Perhatikan bahwa $dx$ dan $dy$ dua-duanya negatif dalam kasus ini.

Nilai-nilai aproksimasi 2,15 dan 2,867 boleh dibandingkan terhadap nilai-nilai sejati (sampai empat posisi desimal) 2,1448 dan 2,8636.

Gunakan diferensial untuk mengaproksimasi pertambahan luas sebuah gelembung sabun pada saat jari-jarinya bertambah dari 3 inci menjadi 3,025 inci.

PENYELESAIAN. Luas gelembung bola sabun diberikan oleh $A = 4 \pi r^{2}$. Kita boleh mengaproksimasi nilai sebenarnya, $\triangle A$ dengan diferensial $dA$, dengan

$dA = 8 \pi r dr$

Pada $r = 3$ dan $dr = \triangle r = {0,025}$,

$\begin{aligned} dA & = 8 \pi (3)(0,025) \\ & \approx {1,885} ~ \text{inci persegi} \end{aligned}$

Estimasi Galat

Berikut ini adalah masalah yang sering muncul dalam sains. Seorang peneliti mengukur variabel $x$ tertentu yang bernilai $x_{0}$ dengan galat (error) yang mungkin berukuran $\pm \triangle x$.

Nilai $x_{0}$ kemudian digunakan menghitung nilai $y_{0}$ untuk $y$ tergantung pada $x$. Nilai $y_{0}$ tercemar oleh galat dalam $x$, tetapi seberapa buruk?

Prosedur baku adalah mengestimasi galat ini dengan menggunakan sarana diferensial.

Rusuk kubus diukur sebagai ${11,4} ~ cm$ dengan galat yang mungkin $\pm {0,05} ~ cm$. Hitung volume kubus dan berikan estimasi untuk galat dalam nilai ini.

PENYELESAIAN. Volume kubus $V$ yang rusuknya $x$ adalah $V = x^{3}$. Jadi $dV = 3x^{2}dx$. Jika $x = {11,4}$ dan $dx = {0,05}$, maka $V = (11,4)^{3} \approx 1482$ dan

$\begin{aligned} \triangle V \approx dV = 3(11,4)^{2}(0,05) \approx 19 \end{aligned}$

Jadi, kita dapat melaporkan volume kubus sebagai $1482 \pm 19 ~ cm^{3}$.

Besaran $\triangle V$ dalam Contoh 4 disebut galat mutlak. Ukuran galat yang lain adalah galat relatif, yang ditemukan dengan membagi galat maksimum oleh volume total. Kita dapat mengaproksimasi galat relatif $\triangle V / V$ dengan $dV/V$. Dalam Contoh 4, galat relatif adalah

$\begin{aligned} \dfrac{\triangle V}{V} & \approx \dfrac{dV}{V} \\ & \approx {19/1482} \\ & \approx {0,0128} \end{aligned}$

Galat relatif seringkali diekspresikan dalam bentuk persen. Jadi, kita katakan bahwa untuk kubus dalam Contoh 4 galat relatif kira-kira ${1,28} \%$.

Hukum Poiseuille untuk aliran darah mengatakan bahwa volume yang mengalir melalui suatu pembuluh darah sebanding terhadap pangkat empat jari-jari, yakni $V = kR^{4}$. Berapakah jari-jari harus diperbesar agar aliran darah bertambah $50 \%$?

PENYELESAIAN. Diferensial-diferensialnya memenuhi $dV = 4kR^{3}dR$. Perubahan relatif dalam volume adalah

$\begin{aligned} \dfrac{\triangle V}{V} & \approx \dfrac{dV}{V} \\ & = \dfrac{4kR^{3}dR}{kR^{4}} \\ & = 4 \dfrac{dR}{R} \end{aligned}$

Perubahan relatif dalam R haruslah sebesar

$\begin{aligned} \dfrac{\triangle R}{R} & \approx \dfrac{dR}{R} \\ & \approx \dfrac{0,5}{4} \\ & = {0,125} \end{aligned}$

Jadi, hanya 12,5% pertambahan dalam jari-jari pembuluh darah akan memperbesar aliran darah sebesar kira-kira 50%.

Aproksimasi Linear

Jika $f$ terdiferensiasi di $a$, maka dari bentuk kemiringan titik suatu garis, yaitu garis singgung terhadap $f$ pada $({a} , {f(a)})$ diberikan oleh $y = f(a) + f'(a)(x-a)$. Fungsi

$$L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$$

disebut aproksimasi linear terhadap fungsi $f$ pada $a$, dan dia sering merupakan aproksimasi yang sangat bagus terhadap $f$ ketika $x$ dekat ke $a$.

Carilah dan plot aproksimasi linear terhadap $f(x) = 1 + \sin{2x}$ pada $x = \pi / 2$.

PENYELESAIAN. Turunan $f$ adalah $f'(x) = 2 \cos{2x}$, sehingga aproksimasi linear adalah

$\begin{aligned} L(x) & = f(\pi / 2) + f'(\pi / 2)(x - \pi / 2) \\ & = (1 + \sin{\pi}) + (2 \cos{\pi})(x - \pi / 2) \\ & = 1 - 2(x - \pi / 2) \\ & = (1 + \pi) - 2x \end{aligned}$

Gambar 5a memperlihatkan grafik fungsi $f$ dan aproksimasi linear $L$ pada interval $[{0},{\pi}]$. Kita dapat melihat bahwa aproksimasi bagus dekat $\pi / 2$, tetapi aproksimasi tidak bagus ketika Anda bergerak menjauh dari $\pi / 2$.

Gambar 5b dan c juga memperlihatkan plot fungsi $L$ dan $f$ pada interval yang lebih kecil. Untuk nilai-nilai $x$ dekat $\pi / 2$, kita lihat bahwa aproksimasi linear sangat dekat ke fungsi $f$.

Literature Review:

[1] Varberg, Rigdon, and Purcell, Kalkulus Edisi 1 Jilid 9 (Jakarta: Penerbit Erlangga).