Aturan Rantai - 2.5 Turunan (Kalkulus)

Contents

• 1 Diferensiasi Fungsi Komposit
• 2 Penerapan Aturan Rantai
• 3 Menerapkan Aturan Rantai Lebih dari Satu Kali
• 4 Bukti Sebagian dari Aturan Rantai

---

Bab 2: Turunan - KALKULUS
2.1	Dua Masalah dengan Satu Tema
2.2	Turunan
2.3	Aturan Pencarian Turunan
2.4	Turunan Fungsi Trigonometri
2.5	Aturan Rantai
2.6	Turunan Tingkat-Tinggi
2.7	Diferensiasi Implisit
2.8	Laju Terkait
2.9	Diferensial dan Aproksimasi

---

Saya cuma benci dimanfaatkan. Tentu, jika itu memang harus saya yang melakukan akan saya lakukan.

I just hate being used. Of course, if I have to do it I will.

Yonezawa Honobu, "Even Though I'm Told I Now Have Wings"

Bayangkan percobaan mencari turunan dari

$F(x) = (2x^{2} - 4x + 1)^{60}$

Kita dapat mencari turunan itu, tetapi pertama kita harus memperkalikan 60 faktor kuadrat $2x^{2} - 4x + 1$ dan kemudian mendiferensiasikan polinomial yang dihasilkan. Atau, bagaimana tentang percobaan mencari turunan

$G(x) = \sin{3x}$

Kita mungkin mampu menggunakan beberapa identitas trigonometri untuk mereduksikannya menjadi sesuatu yang tergantung kepada $\sin{x}$ serta $\cos{x}$ dan kemudian menggunakan aturan-aturan dari subbab sebelumnya.

Untunglah terdapat cara yang lebih baik. Setelah mempelajari Aturan Rantai, kita akan mampu menuliskan jawaban

$F'(x) = 60 (2x^{2} - 4x + 1)^{59} (4x - 4)$

dan

$G'(x) = 3 \cos{3x}$

Aturan Rantai demikian pentingnya sehingga kita akan jarang lagi mendiferensiasikan fungsi tanpa menggunakannya.

Diferensiasi Fungsi Komposit

Jika Ida dapat mengetik dua kali lebih cepat daripada Tini dan Tini dapat mengetik tiga kali lebih cepat daripada Dono, maka Ida dapat mengetik $2 \times 3 = 6$ kali lebih cepat daripada Dono.

Tinjau fungsi komposit $y = f(g(x))$. Jika kita misalkan $u = g(x)$, maka kita dapat memikirkan $f$ sebagai fungsi $u$. Misalkan bahwa $f(u)$ berubah dua kali kecepatan $u$, dan $u = g(x)$ berubah tiga kali kecepatan $x$.

Seberapa cepat perubahan $y$? Pernyataan "$y = f(u)$ berubah dua kali kecepatan $u$" dan "$u = g(x)$ berubah tiga kali kecepatan $x$" dapat dinyatakan kembali sebagai

$\frac{dy}{du} = 2 ~ \text{dan} ~ \frac{du}{dx} = 3$

Sama halnya seperti dalam alinea sebelumnya, kelihatannya seperti laju-laju diperkalikan; yakni laju perubahan $y$ terhadap $x$ seharusnya sama dengan laju perubahan $y$ terhadap $u$ dikalikan laju perubahan $u$ terhadap $x$. Dengan lain perkataan,

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}$$

Ini memang benar dan kita akan menguraikan secara singkat pembuktiannya pada akhir subbab ini. Hasilnya disebut Aturan Rantai.

Teorema A: Aturan Rantai

Misalkan $y = f(u)$ dan $u = g(x)$. Jika $g$ terdiferensiasikan di $x$ dan $f$ terdiferensiasikan di $u = g(x)$, maka fungsi komposit $f \circ g$, yang didefinisikan oleh $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, adalah terdiferensiasikan di $x$ dan
$$(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) g'(x)$$
Yakni
$$D_{x} \left( f(g(x)) \right) = f'(g(x)) g'(x)$$
atau
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

Anda dapat menghafalkan Aturan Rantai dalam cara ini: Turunan fungsi komposit adalah turunan fungsi sebelah luar dihitung pada fungsi sebelah dalam, dikalikan turunan fungsi sebelah dalam.

Penerapan Aturan Rantai

Kita mulai dengan contoh $(2x^{2} - 4x + 1)^{60}$ yang diberikan pada permulaan subbab ini.

Jika $y = (2x^{2} - 4x + 1)^{60}$, carilah $D_{x} y$.

PENYELESAIAN. Kita pikirkan $y$ sebagai pangkat ke-60 suatu fungsi $x$; yakni

$y = u^{60} ~ \text{dan} ~ u = 2x^{2} - 4x + 1$

Fungsi sebelah luar adalah $f(u) = u^{60}$ dan fungsi sebelah dalam adalah $u = g(x) = 2x^{2} - 4x + 1$. Jadi,

$\begin{aligned} D_{x} y & = D_{x} f(g(x)) \\ & = f'(u) g'(x) \\ & = (60u^{59})(4x - 4) \\ & = 60 (2x^{2} - 4x + 1)^{59} (4x - 4) \end{aligned}$

Jika $y = 1 / (2x^{5} - 7)^{3}$, carilah $\frac{dy}{dx}$.

PENYELESAIAN. Pikirkan seperti ini.

$y = \frac{1}{u^{3}} = u^{-3} ~ \text{dan} ~ u = 2x^{5} - 7$

Jadi,

$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} & = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\ & = (-3u^{-4})(10x^{4}) \\ & = \frac{-3}{u^{4}} \cdot 10x^{4} \\ & = \dfrac{-30x^{4}}{(2x^{5} - 7)^{4}} \end{aligned}$

Cari $D_{t} \left( \frac{t^{3} - 2t + 1}{t^{4} + 3} \right)^{13}$.

PENYELESAIAN. Langkah terakhir dalam menghitung ekspresi ini adalah memangkatkan ekspresi di dalam tanda kurung dengan pangkat 13. Jadi, kita mulai dengan menerapkan Aturan Rantai terhadap fungsi $y = u^{13}$, di mana $u = (t^{3} - 2t + 1)/(t^{4} + 3)$. Aturan Rantai diikuti oleh Aturan Hasil Bagi memberikan

$\begin{aligned} D_{t} & \left( \frac{t^{3} - 2t + 1}{t^{4} + 3} \right)^{13} \\ & = 13 \left( \frac{t^{3} - 2t + 1}{t^{4} + 3} \right)^{13-1} D_{t} \left( \frac{t^{3} - 2t + 1}{t^{4} + 3} \right) \\ & = 13 \left( \frac{t^{3} - 2t + 1}{t^{4} + 3} \right)^{12} \cdot \frac{(t^{4} + 3)(3t^{2} - 2) - (t^{3} -2t +1)(4x^{3})}{(t^{3} + 3)^{2}} \\ & = 13 \left( \frac{t^{3} - 2t + 1}{t^{4} + 3} \right)^{12} \cdot \frac{-t^{6} + 6t^{4} - 4t^{3} + 9t^{2} - 6}{(t^{4} + 3)^{2}} \end{aligned}$

Aturan Rantai menyederhanakan perhitungan banyak turunan yang melibatkan fungsi trigonometri. Walaupun dimungkinkan mendiferensiasikan $y = \sin{2x}$ dengan menggunakan identitas trigonometri (lihat Soal 21 subbab sebelumnya), adalah jauh lebih mudah menggunakan Aturan Rantai.

Jika $y = \sin{2x}$, $\frac{dy}{dx}$.

PENYELESAIAN. Langkah terakhir dalam menghitung ekspresi ini adalah mengambil sinus dari besaram $2x$. Jadi, kita mulai dengan menerapkan Aturan Rantai pada fungsi $y = \sin{u}$ dengan $u = 2x$.

$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} & = (\cos{2x}) \left( \frac{d}{dx} \right) 2x \\ & = 2 \cdot \cos{2x} \end{aligned}$

Carilah $F'(y)$ di mana $F(y) = y \cdot \sin{y^{2}}$.

PENYELESAIAN. Langkah terakhir dalam menghitung ekspresi ini adalah memperkalikan $y$ dan $\sin{y^{2}}$, sehingga kita mulai dengan menerapkan Aturan Hasil Kali. Aturan Rantai diperlukan ketika kita mendiferensiasikan $\sin{y^{2}}$.

$\begin{aligned} F'(y) & = y \cdot D_{y} [ \sin{y^{2}} ] + (\sin{y^{2}}) D_{y} y \\ & = y (\cos{y^{2}}) D_{y} (y^{2}) + (\sin{y^{2}})(1) \\ & = 2y^{2} \cos{y^{2}} + \sin{y^{2}} \end{aligned}$

Carilah $D_{x} \left( \frac{x^{2}(1-x)^{3}}{1+x} \right)$.

PENYELESAIAN. Langkah terakhir dalam menghitung ekspresi ini adalah melakukan pembagian. Jadi, Aturan Hasil Bagi adalah yang pertama yang harus diterapkan.

Tetapi perhatikan bahwa ketika kita mengambil turunan pembilang, kita harus menerapkan Aturan Hasil Kali dan diikuti Aturan Rantai.

$\begin{aligned} D_{x} & \left( \frac{x^{2}(1 - x)^{3}}{1 + x} \right) \\ & = \dfrac{(1+x) D_{x} (x^{2}(1-x)^{3}) - x^{2}(1-x)^{3} D_{x} (1+x)}{(1+x)^{2}} \\ & = \dfrac{(1+x)[x^{2}(3(1-x)^{2}(-1)) + (1-x)^{3}(2x)] - x^{2}(1-x)^{3}}{(1+x)^{2}} \\ & = \dfrac{(1+x)[-3x^{2}(1-x)^{2} + 2x(1-x)^{3}] - x^{2} (1-x)^{3}}{(1+x)^{2}} \\ & = \dfrac{(1+x)(1-x)^{2}x(2-5x) - x^{2}(1-x)^{3}}{(1+x)^{2}} \end{aligned}$

Carilah $\frac{d}{dx} \cdot \frac{1}{(2x-1)^{3}}$.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} \frac{d}{dx} \dfrac{1}{(2x-1)^{3}} & = \frac{d}{dx} (2x-1)^{-3} \\ & = -3 (2x-1)^{-3-1} \frac{d}{dx} (2x - 1) \\ & = \dfrac{6}{(2x-1)^{4}} \end{aligned}$

Dalam contoh yang terakhir ini kita mampu menghindari penggunaan Aturan Hasil Bagi. Jika Anda menggunakan Aturan Hasil Bagi, Anda akan mengamati bahwa turunan pembilang adalah nol, yang menyederhanakan perhitungan. (Anda harus memeriksa bahwa Aturan Hasil Bagi memberikan jawaban seperti di atas.)

Sebagai aturan umum, jika pembilang suatu pecahan adalah konstanta, maka jangan gunakan Aturan Hasil Bagi; sebagai ganti tuliskan pecahan itu sebagai hasil konstanta dan ekspresi di penyebut dipangkatkan suatu pangkat negatif, dan kemudian gunakan Aturan Rantai.

Nyatakan turunan-turunan berikut dalam bentuk fungsi $F(x)$. Anggap bahwa $F$ dapat didiferensiasikan.

1. $D_{x} (F(x^{3}))$
2. $D_{x} [(F(x))^{3}]$

PENYELESAIAN.

1. Langkah terakhir dalam menghitung ekspresi ini akan berupa penerapan fungsi $F$. (Di sini fungsi yang sebelah dalam adalah $u = x^{3}$ dan fungsi lainnya adalah $F(u)$.) Jadi

   $\begin{aligned} D_{x} (F(x^{3})) & = F'(x^{3}) D_{x} (x^{3}) \\ & = 3x^{2} (F'(x^{3})) \end{aligned}$

2. Untuk ekspresi ini pertama-tama kita akan menghitung $F(x)$ dan kemudian memangkatkan tiga hasilnya. (Di sini fungsi sebelah dalam adalah $u = F(x)$ dan fungsi sebelah luar adalah $u^{3}$). Jadi, pertama kita menerapkan Aturan Pangkat kemudian Aturan Rantai.

   $\begin{aligned} D_{x} [(F(x))^{3}] & = 3 [F(x)]^{2} D_{x} (F(x)) \\ & = 3 [F(x)]^{2} F'(x) \end{aligned}$

Menerapkan Aturan Rantai Lebih dari Satu Kali

Kadang-kadang ketika kita menerapkan Aturan Rantai terhadap fungsi komposit kita temukan bahwa diferensiasi fungsi sebelah dalam juga memerlukan Aturan Rantai. Dalam kasus seperti ini, kita cukup harus menggunakan Aturan Rantai untuk kali yang kedua.

Cari $D_{x} \sin^{3}{(4x)}$.

PENYELESAIAN. Ingat bahwa $\sin^{3}{(4x)} = [\sin{(4x)}]^{3}$, sehingga kita memandang ini pangkat tiga dari suatu fungsi $x$. Jadi, dengan menggunakan atura kita "turunan fungsi sebelah luar dihitung pada fungsi sebelah dalam dikalikan turunan fungsi sebelah dalam", kita mempunyai

$\begin{aligned} D_{x} \sin^{3}{(4x)} & = D_{x} [\sin{(4x)}]^{3} \\ & = 3 [\sin{(4x)}]^{3-1} D_{x} [\sin{(4x)}] \end{aligned}$

Sekarang kita terapkan Aturan Rantai sekali lagi untuk turunan fungsi sebelah dalam.

$\begin{aligned} D_{x} & \sin^{3}{(4x)} \\ & = 3 [\sin{(4x)}]^{2} \cdot \cos{(4x)} D_{x} (4x) \\ & = 3 [\sin{(4x)}]^{2} \cos{(4x)(4)} \\ & = 12 \cos{(4x)} \sin^{2}{(4x)} \end{aligned}$

Cari $D_{x} \sin{[\cos{(x^{2})}]}$.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} D_{x} & \sin{[\cos{(x^{2})}]} \\ & = \cos{[\cos{(x^{2})}]} \cdot [\sin{(x^{2})}] \cdot 2x \\ & = -2x \sin{(x^{2})} \cdot [\cos{(x^{2})}] \end{aligned}$

Misalkan bahwa grafik-grafik $y = f(x)$ dan $y = g(x)$ seperti diperlihatkan dalam Gambar 1. Gunakan grafik-grafik ini untuk mengaproksimasi (a) $(f - g)'(2)$ dan (b) $(f \circ g)'(2)$.

PENYELESAIAN.

1. Menurut Teorema 2.3F, $(f-g)'(2) = f'(2) - g'(2)$. Dari Gambar 1, kita dapat menentukan bahwa $f'(2) \approx 2$ dan $g'(2) \approx - \frac{1}{2}$. Jadi

   $\begin{aligned} (f-g)'(2) & \approx 1 - \left( - \frac{1}{2} \right) \\ & \approx \frac{3}{2} \end{aligned}$

2. Dari Gambar 1 kita dapat menentukan bahwa $f'(1) \approx \frac{1}{2}$. Jadi menurut Aturan Rantai,

   $\begin{aligned} (f \circ g)'(2) & = f'(g(2)) g'(2) \\ & = f'(1) g'(1) \\ & \approx \dfrac{1}{2} \left( - \frac{1}{2} \right) \\ & \approx - \dfrac{1}{4} \end{aligned}$

Bukti dari Sebagian Aturan Rantai

Sekarang kita dapat memberikan uraian singkat bukti Aturan Rantai.

Bukti Kita misalkan bahwa $y = f(u)$ dan $u = g(x)$, bahwa $g$ terdiferensiasikan di $x$ dan bahwa $f$ terdiferensiasikan di $u = g(x)$.

Ketika $x$ diberikan pertambahan $\triangle x$, terdapat pertambahan yang berkorespondensi dalam $u$ dan $y$ yang diberikan oleh

$\begin{aligned} \triangle u & = g(x + \triangle x) - g(x) \\ \triangle y & = f(g(x + \triangle x)) - f(g(x)) \\ & = f(u + \triangle u) - f(u) \end{aligned}$

Jadi

$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} & = \lim_{\triangle x \to 0} \dfrac{\triangle y}{\triangle x} \\ & = \lim_{\triangle x \to 0} \dfrac{\triangle y}{\triangle u} \cdot \dfrac{\triangle u}{\triangle x} \\ & = \lim_{\triangle x \to 0} \dfrac{\triangle y}{\triangle x} \cdot \lim_{\triangle x \to 0} \dfrac{\triangle u}{\triangle x} \end{aligned}$

Karena $g$ terdiferensiasikan di $x$, maka $g$ kontinu di sana (Teorema 2.2A), sehingga $\triangle x \to 0$ memaksa $\triangle u \to 0$. Karenanya,

$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} & = \lim_{\triangle u \to 0} \dfrac{\triangle y}{\triangle u} \cdot \lim_{\triangle x \to 0} \dfrac{\triangle u}{\triangle x} \\ & = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \end{aligned}$

Bukti ini sangat cerdik, tetapi sayangnya mengandung suatu cacat halus. Terdapat fungsi-fungsi $u = g(x)$ yang bersifat bahwa $\triangle u = 0$ untuk beberapa titik di setiap lingkungan $x$ (fungsi konstanta $g(x) = k$ adalah sebuah contoh yang baik).

Ini berarti pembagian oleh $\triangle u$ pada langkah pertama mungkin tidak sahih. Namun, tidak ada cara yang mudah untuk mengatasi kesulitan ini, meskipun Aturan Rantai bahkan tetap sahih dalam kasus ini.

Literature Review:

[1] Varberg, Rigdon, and Purcell, Kalkulus Edisi 1 Jilid 9 (Jakarta: Penerbit Erlangga).