Aturan Pencarian Turunan - 2.3 Turunan (Kalkulus)

Contents

• 1 Aturan Konstanta dan Pangkat
• 2 $D_{x}$ adalah Operator Linear
• 3 Aturan Hasil Kali dan Hasil Bagi

---

Bab 2: Turunan - KALKULUS
2.1	Dua Masalah dengan Satu Tema
2.2	Turunan
2.3	Aturan Pencarian Turunan
2.4	Turunan Fungsi Trigonometri
2.5	Aturan Rantai
2.6	Turunan Tingkat-Tinggi
2.7	Diferensiasi Implisit
2.8	Laju Terkait
2.9	Diferensial dan Aproksimasi

---

Saya ingin benar-benar 'habis berguna' ketika mati, untuk semakin keras saya bekerja semakin lebih saya mencintai. Saya bersukacita dalam hidup untuk kepentingan kehidupan itu sendiri. Hidup bukanlah lilin singkat bagi saya; itu adalah semacam obor indah yang saya pegang untuk saat ini dan saya ingin membuatnya menyala seterang mungkin sebelum menyerahkannya kepada generasi mendatang.

I want to be thoroughly used up when I die, for the harder I work the more I love. I rejoice in life for its own sake. Life is no brief candle to me; it is a sort of splendid torch which I've got a hold of for the moment and I want to make it burn as brightly as possible before handing it on to future generations.

George Bernard Shaw, quoted in Stephen R. Covey, "Principle-Centered Leadership"

Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan yakni dengan hasil bagi selisih

$\dfrac{f(x+h) - f(x)}{x}$

dan menghitung limitnya dapat memakan waktu banyak dan membosankan. Kita akan mengembangkan cara yang akan memungkinkan kita untuk memperpendek proses yang berkepanjangan ini dan akan memungkinkan kita untuk mencari turunan semua fungsi yang nampaknya rumit dengan segera.

Ingat kembali bahwa turunan suatu fungsi $f$ adalah fungsi lain $f'$. Kita lihat dalam subbab sebelumnya bahwa, jika $f(x) = x^{3} + 7x$ adalah rumus untuk $f$, maka $f'(x) = 3x^{2} + 7$ adalah rumus untuk $f'$.

Turunan beroperasi pada $f$ untuk menghasilkan $f'$. Seringkali kita menggunakan lambang $D_{x}$ untuk menunjukkan operasi diferensiasi (Gambar 1).

Lambang $D_{x}$ mengatakan bahwa kita harus mengambil turunan (terhadap variabel $x$) dari apa yang mengikuti. Jadi kita menuliskan $D_{x} = f'(x)$ atau (dalam kasus yang baru saja disebutkan) $D_{x} (x^{3} + 7x) = 3x^{2} + 7$.

$D_{x}$ ini adalah contoh sebuah operator. Seperti dalam Gambar 1, operator adalah fungsi yang masukannya fungsi dan keluarannya adalah fungsi lain.

Dengan notasi Leibniz, yang diperkenalkan dalam subbab sebelum ini, sekarang kita mempunyai tiga notasi untuk turunan. Jika $y = f(x)$, kita dapat menyatakan turunan dari $f$ oleh

$f'(x) ~ \text{atau} ~ D_{x} f(x) ~ \text{atau} ~ \dfrac{dy}{dx}$

Kita akan menggunakan notasi $\frac{d}{dx}$ yang bermakna sama seperti operator $D_{x}$.

Aturan Konstanta dan Pangkat

Grafik fungsi konstanta $f(x) = k$ adalah sebuah garis mendatar (Gambar 2), yang karenanya mempunyai kemiringan nol di mana-mana.

Ini merupakan suatu cara untuk memahami teorema pertama kita.

Teorema A: Aturan Fungsi Konstanta

Jika $f(x) = k$, dengan $k$ suatu konstanta maka untuk sebarang $x$, $f'(x) = 0$; yakni,
$$ D_{x} (k) = 0 $$

Bukti

$\begin{aligned} f'(x) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{k - k}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} 0 \\ & = 0 \end{aligned}$

Grafik $f(x) = x$ berupa sebuah garis yang melalui titik-asal dengan kemiringan 1 (Gambar 3); sehingga seharusnya kita mengharapkan turunan fungsi ini adalah 1 untuk semua $x$.

Teorema B: Aturan Fungsi Satuan

Jika $f(x) = x$, maka $f'(x) = 1$; yakni,
$$ D_{x} (x) = 1 $$

Bukti

$\begin{aligned} f'(x) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{x + h - x}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{h}{h} \\ & = 1 \end{aligned}$

Sebelum menyatakan teorema yang berikutnya, kita ingatkan kembali sesuatu dari aljabar: bagaimana memangkatkan suatu binomial.

$\begin{aligned} (a+b)^{2} & = a^{2} + 2ab + b^{2} \\ (a+b)^{3} & = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} \\ (a+b)^{4} & = a^{4} + 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} + 4ab^{3} + b^{4} \\ \cdots & \cdots \\ (a+b)^{n} & = a^{n} + n \cdot a^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2} a^{n-2}b^{2} + \cdots + n \cdot ab^{n-1} + b^{n} \end{aligned}$

Teorema C: Aturan Pangkat

Jika $f(x) = x^{n}$, dengan $n$ bilangan bulat positif, maka $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$ yakni,
$$ D_{x} \left( x^{n} \right) = n \cdot x^{n-1} $$

Bukti

$\begin{aligned} f'(x) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{x^{n} + n \cdot x^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h^{2} + \cdots + nxh^{n-1} + h^{n} - x^{2}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h} \left[ nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2}h + \cdots + nxh^{n-2} + h^{n-1} \right]}{\cancel{h}} \end{aligned}$

Di dalam kurung siku, semua suku kecuali yang pertama mempunyai $h$ sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol ketika $h$ mendekati nol. Jadi

$$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$$

Sebagai ilustrasi Teorema C, perhatikan bahwa

$\begin{aligned} D_{x} \left( x^{3} \right) & = 3x^{2} \\ D_{x} \left( x^{9} \right) & = 9x^{8} \\ D_{x} \left( x^{100} \right) & = 100x^{99} \end{aligned}$

$D_{x}$ adalah Operator Linear

Operator $D_{x}$ berkelakuan sangat baik ketika diterapkan pada kelipatan konstanta fungsi atau pada jumlah fungsi.

Teorema D: Aturan Kelipatan Konstanta

Jika $k$ suatu konstanta dan $f$ suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka $(kf)'(x) = k \cdot f'(x)$ yakni,
$$ D_{x} \left[ k \cdot f(x) \right] = k \cdot D_{x} f(x) $$
Dalam kata-kata, pengali konstanta $k$ dapat dikeluarkan dari operator $D_{x}$.

Bukti Misalkan $F(x) = k \cdot f(x)$. Maka

$\begin{aligned} F'(x) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{F(x+h) - F(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{k \cdot f(x+h) - k \cdot f(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} k \cdot \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ & = k \cdot \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ & = k \cdot f'(x) \end{aligned}$

Langkah sebelum yang terakhir adalah kritis. Kita dapat menggeser $k$ melewati tanda limit menurut Teorema Limit Utama Bagian 3.

Contoh-contoh yang mengilustrasikan hasil ini adalah

$\begin{aligned} D_{x} \left( -7x^{3} \right) & = -7 D_{x} \left( x^{3} \right) \\ & = -7 \cdot 3x^{2} \\ & = -21x^{2} \end{aligned}$

dan

$\begin{aligned} D_{x} \left( \frac{4}{3} x^{9} \right) & = \frac{4}{3} D_{x} \left( x^{9} \right) \\ & = \frac{4}{3} \cdot 9x^{8} \\ & = 12x^{8} \end{aligned}$

Teorema E: Aturan Jumlah

Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka $(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)$ yakni,
$$ D_{x} \left[ f(x) + g(x) \right] = D_{x} f(x) + D_{x} g(x) $$
Dalam kata-kata, turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunan-turunan.

Bukti Misalkan $F(x) = f(x) + g(x)$. Maka

$\begin{aligned} F'(x) & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\left[ f(x+h) + g(x+h) \right]}{h} - \dfrac{\left[ f(x) + g(x) \right]}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} + \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} + \dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} \\ & = f'(x) + g'(x) \end{aligned}$

Lagi-lagi, langkah sebelum yang terakhir adalah kritis. Ini terbukti benar apabila kita melihat pada Teorema Limit Utama Bagian 4.

Sebarang operator $L$, dengan sifat-sifat yang dinyatakan dalam Teorema D dan E disebut linear; yakni $L$ adalah operator linear jika:

1. $L (kf) = kL(f)$, untuk setiap konstanta $k$;
2. $L(f+g) = L(f) + L(g)$.

Operator linear akan muncul berulang-ulang dalam buku ini; $D_{x}$ merupakan sebuah contoh penting. Operator linear selalu memenuhi aturan selisih $L(f-g) = L(f) - L(g)$ yang dinyatakan berikut untuk $D_{x}$.

Teorema F: Aturan Selisih

Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka $(f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)$ yakni,
$$ D_{x} \left[ f(x) - g(x) \right] = D_{x} f(x) - D_{x} g(x) $$

Carilah turunan dari $5x^{2} + 7x - 6$ dan $4x^{6} - 3x^{5} - 10x^{2} + 5x + 16$.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} D_{x} \left( 5x^{2} + 7x - 6 \right) & = D_{x} \left( 5x^{2} + 7x \right) - D_{x} \left( 6 \right) \quad \text{(Teo. F)} \\ & = D_{x} \left( 5x^{2} \right) + D_{x} \left( 7x \right) - D_{x} \left( 6 \right) \quad \text{(Teo. E)} \\ & = 5 D_{x} \left( x^{2} \right) + 7 D_{x} \left( x \right) - D_{x} \left( 6 \right) \quad \text{(Teo. D)} \\ & = 5 \cdot 2x + 7 \cdot 1 - 0 \quad \text{(Teo. C, B, A)} \\ & = 10x + 7 \end{aligned}$

Untuk mencari turunan berikutnya, kita perhatikan bahwa teorema-teorema pada jumlah dan selisih meluas sampai sejumlah berhingga suku. Jadi

$\begin{aligned} D_{x} & \left( 4x^{6} - 3x^{5} - 10x^{2} + 5x + 16 \right) \\ & = D_{x} \left( 4x^{6} \right) - D_{x} \left( 3x^{5} \right) - D_{x} \left( 10x^{2} \right) + D_{x} \left( 5x \right) + D_{x} \left( 16 \right) \\ & = 4 \left( 6x^{5} \right) - 3 \left( 5x^{4} \right) - 10 \left( 2x \right) + 5 \left( 1 \right) + 0 \\ & = 24x^{5} - 15x^{4} - 20x + 5 \end{aligned}$

Metode pada Contoh 1 memungkinkan kita untuk mencari turunan sebarang polinomial. Jika Anda mengetahui Aturan Pangkat dan melakukan apa yang datang secara alamiah, Anda hampir pasti memperoleh hasil yang benar. Dengan latihan Anda juga akan menemukan bahwa Anda dapat menulis turunan segera, tanpa harus menuliskan langkah antara apa pun.

Aturan Hasil Kali dan Hasil Bagi

Sekarang kita siap untuk suatu kejutan. Sedemikian jauh, kita telah melihat bahwa limit suatu jumlah atau selisih adalah sama dengan jumlah atau selisih limit (Teorema 1.3A, Bagian 4 dan 5), limit hasil kali atau hasil bagi limit (Teorema 1.3A, Bagian 6 dan 7), dan turunan jumlah atau selisih adalah jumlah atau selisih turunan (Teorema E dan F). Jadi apa yang dapat lebih alami daripada mempunyai turunan suatu hasil kali berupa hasil kali turunan?

Ini mungkin nampak alami, tetapi salah. Untuk melihat kenapa, marilah perhatikan contoh berikut.

Misalkan $g(x) = x$, $h(x) = 1 + 2x$, dan $f(x) = g(x) \cdot h(x) = x(1 + 2x)$. Carilah $D_{x} f(x)$, $D_{x} g(x)$, dan $D_{x} h(x)$, serta perlihatkan bahwa $D_{x} f(x) \neq \left[ D_{x} g(x) \right] \left[ D_{x} h(x) \right]$.

$\begin{array}{ccc} \text{i)..} \quad D_{x} f(x) & = & D_{x} \left[ x(1 + 2x) \right] \\ & = & D_{x} (x + 2x^{2}) \\ & = & 1 + 4x \\ \text{ii)..} \quad D_{x} g(x) & = & D_{x} x \\ & = & 1 \\ \text{iii)..} \quad D_{x} h(x) & = & D_{x} (1 + 2x) \\ & = & 2 \end{array}$

Perhatikan bahwa

$\begin{aligned} D_{x} \left( g(x) \right) D_{x} \left( h(x) \right) & = 1 \cdot 2 \\ & = 2 \end{aligned}$

sedangkan

$\begin{aligned} D_{x} f(x) & = D_{x} \left[ g(x) h(x) \right] \\ & = 1 + 4x \end{aligned}$

Jadi $D_{x} f(x) \neq \left[ D_{x} g(x) \right] \left[ D_{x} h(x) \right]$.

Bahwa turunan suatu hasil kali seharusnya berupa hasil kali turunan nampak demikian alami bahkan ini menipu Gottfried Wilhelm von Leibniz, salah satu penemu kalkulus. Dalam makalah 11 November 1675, dia menghitung hasil kali dua fungsi dan mengatakan (tanpa memeriksa) bahwa itu sama dengan turunan hasil kali.

Sepuluh hari kemudian, dia menangkap kesalahan tersebut dan memberikan aturan hasil kali yang benar, yang kita sajikan sebagai Teorema G.

Teorema G: Aturan Hasil Kali

Jika $f$ dan $g$ adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka
$$ \left( f \cdot g \right)'(x) = f(x) g'(x) + g(x) f'(x) $$
Yakni
$$ D_{x} \left[ f(x) g(x) \right] = f(x) D_{x} g(x) + g(x) D_{x} f(x) $$

Ini harus dihafalkan dalam kata-kata sebagai berikut: Turunan hasil kali dua fungsi adalah fungsi pertama dikalikan turunan fungsi kedua ditambah fungsi kedua dikalikan turunan fungsi pertama.

Bukti Misalkan $F(x) = f(x) g(x)$. Maka

$\begin{aligned} & F'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{F(x+h) -F(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) g(x+h) - f(x) g(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) g(x+h) - f(x+h) g(x) + f(x+h) g(x) - f(x) g(x)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \left[ f(x+h) \cdot \frac{g(x+h) - g(x)}{h} + g(x) \cdot \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \right] \\ & = \lim_{h \to 0} f(x+h) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h + g(x)} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ & = f(x) g'(x) + g(x) f'(x) \end{aligned}$

Penurunan yang baru saja diberikan mengandalkan pada dua hal. Pertama, taktik penambahan dan pengurangan hal yang sama, yakni $f(x+h) g(x)$. Kedua, pada akhirnya kita menggunakan fakta bahwa

$$ \lim_{h \to 0} f(x+h) = f(x) $$

Ini tidak lain adalah penerapan dari Teorema 2.2A (yang mengatakan bahwa keterdiferensian pada suatu titik mengimplikasikan kontinuitas di sana) dan definsi kontinuitas di suatu titik.

Cari turunan $\left( 3x^{2} - 5 \right) \left( 2x^{4} - x \right)$ dengan menggunakan Aturan Hasil Kali. Periksa jawabannya dengan mengerjakan soal itu dengan cara lain.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} D_{x} & \left[ (3x^{2} - 5)(2x^{4} - x) \right] \\ & = (3x^{2} - 5) D_{x} (2x^{4} - x) + (2x^{4} - x) D_{x} (3x^{2} - 5) \\ & = (3x^{2} - 5)(8x^{3} - 1) + (2x^{4} - x)(6x) \\ & = 24x^{5} - 3x^{2} - 40x^{3} + 5 + 12x^{5} - 6x^{2} \\ & = 36x^{5} - 40x^{3} - 9x^{2} + 5 \end{aligned}$

Untuk memeriksa, pertama kita kalikan dan kemudian cari turunannya.

$(3x^{2} - 5)(2x^{4} - x) = 6x^{6} - 10x^{4} - 3x^{3} + 5x$

Jadi,

$\begin{aligned} D_{x} & \left[ (3x^{2} - 5)(2x^{4} - x) \right] \\ & = D_{x} (6x^{6}) - D_{x} (10x^{4}) - D_{x} (3x^{3}) + D_{x} (5x) \\ & = 36x^{5} - 40x^{3} - 9x^{2} + 5 \end{aligned}$

Teorema H: Aturan Hasil Bagi

Misalkan $f$ dan $g$ adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan dengan $g(x) \neq 0$. Maka
$$ \left( \frac{f}{g} \right)' (x) = \frac{g(x) f'(x) - f(x) g'(x)}{g^{2}(x)} $$
Yaitu,
$$ D_{x} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{g(x) D_{x} f(x) - f(x) D_{x} g(x)}{g^{2}(x)} $$

Kami sangat menyarankan agar Anda menghafalkan ini dalam kata-kata, sebagai berikut: Turunan suatu hasil bagi adalah sama dengan penyebut dikalikan turunan pembilang dikurangi pembilang dikalikan turunan penyebut, seluruhnya dibagi dengan kuadrat penyebut.

Bukti Misalkan $F(x) = f(x)/g(x)$. Maka

$\begin{array}{lll} \displaystyle F'(x) = \lim_{h \to 0}\dfrac{F(x+h) - F(x)}{h} & & \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h} & & \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0} \dfrac{g(x) f(x+h) - f(x) g(x+h)}{h} \cdot \dfrac{1}{g(x) g(x+h)} & & \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{g(x) f(x+h) - g(x) f(x) + f(x) g(x) - f(x) g(x+h)}{h} \right] & & \\ \displaystyle = \lim_{h \to 0} \{ \left[ g(x) \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - f(x) \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \frac{1}{g(x) g(x+h)} \right] \} & & \\ \displaystyle = \left[ g(x) f'(x) - f(x) g'(x) \right] \dfrac{1}{g(x) \cdot g(x)} & & \end{array}$

Cari turunan $\frac{d}{dx} \frac{(3x - 5)}{(x^{2} + 7)}$.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} \frac{d}{dx} & \left[ \frac{3x - 5}{x^{2} + 7} \right] \\ & = \dfrac{(x^{2} + 7) \frac{d}{dx} (3x - 5) - (3x - 5) \frac{d}{dx} (x^{2} + 7)}{(x^{2} + 7)^{2}} \\ & = \dfrac{(x^{2} + 7)(3) - (3x - 5)(2x)}{(x^{2} + 7)^{2}} \\ & = \frac{-3x^{2} + 10x + 21}{(x^{2} + 7)^{2}} \end{aligned}$

Dari $D_{x} y$ jika $y = \frac{2}{x^{4} + 1} + \frac{3}{x}$

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} & D_{x} y = D_{x} \left( \frac{2}{x^{4} + 1} \right) + D_{x} \left( \frac{3}{x} \right) \\ & = \dfrac{(x^{4} + 1) D_{x} (2) - 2 D_{x} (x^{4} + 1)}{(x^{4} + 1)^{2}} + \dfrac{x \cdot D_{x} (3) - 3 \cdot D_{x} (x)}{x^{2}} \\ & = \dfrac{(x^{4} + 1)(0) - (2)(4x^{3})}{(x^{4} + 1)^{2}} + \dfrac{(x)(0) - (3)(1)}{x^{2}} \\ & = \dfrac{-8x^{3}}{(x^{4} + 1)^{2}} - \dfrac{3}{x^{2}} \end{aligned}$

Tunjukkan bahwa Aturan Pangkat berlaku untuk pangkat bulat negatif; yakni,

$$ D_{x} \left( x^{-n} \right) = -n \cdot x^{-n-1} $$

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} D_{x} \left( x^{-n} \right) & = D_{x} \left( \frac{1}{x^{n}} \right) \\ & = \dfrac{x^{n} \cdot 0 - 1 \cdot nx^{n-1}}{x^{2n}} \\ & = \dfrac{-nx^{-n-1}}{x^{2n}} \\ & = -nx^{-n-1} \end{aligned}$

Kita lihat sebagai bagian dari Contoh 5 bahwa $D_{x} (3/x) = -3/x^{2}$. Sekarang kita telah memiliki cara lain untuk melihat hal yang sama.

Literature Review:

[1] Varberg, Rigdon, and Purcell, Kalkulus Edisi 1 Jilid 9 (Jakarta: Penerbit Erlangga).

You may like these posts