Anti-turunan - 3.8 Aplikasi Turunan (Kalkulus)

Contents

• 1 Notasi untuk Anti-turunan
• 2 Integral Tak-Tentu adalah Linear
• 3 Aturan Pangkat yang Digeneralisir

Tidak ada apapun di luar diri yang dapat memungkinkanmu menjadi lebih baik, lebih kuat, lebih kaya, lebih cepat, atau lebih pintar. Semuanya ada di dalam. Semuanya ada. Jangan mencari apapun di luar dirimu.

There is nothing outside of yourself that can ever enable you to get better, stroger, richer, quicker, or smarter. Everything is within. Everything is exists. Seek nothing outside of yourself.
- Miyamoto Musashi, "A Book of Five Rings: The Classic Guide to Strategy"

Matematika memiliki banyak pasangan operasi balikan: penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, serta pemangkatan dan penarikan akar. Dalam masing-masing kasus, operasi yang kedua menghapuskan yang pertama, dan sebaliknya.

Salah satu ketertarikan kita dalam operasi balikan adalah kegunaannya dalam menyelesaikan persamaan. Misalnya, memecahkan $x^{3} = 8$ melibatkan penarikan akar. Kita telah mengkaji diferensiasi dalam dua bab yang terakhir.

Jika kita bermaksud memecahkan persamaan yang melibatkan turunan kita akan memerlukan balikannya, disebut anti-diferensiasi atau integrasi.

Definisi:

Kita sebut $F$ suatu anti-turunan $f$ pada interval $I$ jika $D_{x} F(x) = f(x)$ pada $I$, yakni jika $F'(x) = f(x)$ untuk semua $x$ dalam $I$.

Kita menggunakan istilah "suatu" anti-turunan ketimbang "sang" anti-turunan dalam definisi kita. Kenapa demikian, Anda segera akan mengetahuinya.

Carilah suatu anti-turunan fungsi $f(x) = 4x^{3}$ pada $({- \infty},{\infty})$.

PENYELESAIAN. Kita mencari suatu fungsi $F$ yang memenuhi $F'(x) = 4x^{3}$ untuk semua $x$ real. Dari pengalaman kita dengan diferensiasi kita mengetahui bahwa $f(x) = x^{4}$ adalah satu fungsi yang demikian.

Pemikiran singkat akan memberikan penyelesaian lain untuk Contoh 1. Fungsi $F(x) = x^{4} + 6$ juga memenuhi $F'(x) = 4x^{3}$; ini juga adalah suatu anti-turunan dari $f(x) = 4x^{3}$.

Pada kenyataannya, $F(x) = x^{4} + C$, dengan $C$ konstanta sebarang, adalah suatu anti-turunan dari $4x^{3}$ pada $({- \infty},{\infty})$ (lihat Gambar 1).

Gambar 1

Sekarang kita dihadapkan pada pertanyaan penting. Apakah setiap anti-turunan $f(x) = 4x^{3}$ berbentuk $F(x) = x^{4} + C$? Jawabnya adalah ya. Ini diperoleh dari Teorema 3.6B, yang menyatakan bahwa dua fungsi dengan turunan sama hanya berbeda dalam konstanta.

Kesimpulan kita adalah ini. Jika suatu fungsi $f$ mempunyai suatu anti turunan, ia akan mempunyai keseluruhan keluarga, dan setiap anggota keluarga ini dapat diperoleh dari salah satu di antaranya dengan jalan menambahkan suatu konstanta yang cocok.

Keluarga fungsi ini kita memakan anti-turunan umum dari $f$. Setelah kita terbiasa dengan pengertian ini, seringkali kita akan menghilangkan kata sifat umum itu.

Carilah anti-turunan umum dari $f(x) = x^{2}$ pada $({- \infty},{\infty})$.

PENYELESAIAN. Fungsi $F(x) = x^{3}$ tidak akan berhasil karena turunannya adalah $3x^{2}$. Tetapi ini menyarankan $F(x) = \frac{1}{3} x^{3}$, yang memenuhi $F'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{2} = x^{2}$.

Karenanya, anti-turunan umum adalah $\frac{1}{3} x^{3} + C$.

Notasi untuk Anti-turunan

Karena kita telah menggunakan lambang $D_{x}$ untuk operasi penentuan suatu turunan, adalah wajar menggunakan $A_{x}$ untuk operasi pencarian anti-turunan. Jadi,

$\begin{aligned} A_{x} (x^{2}) = \dfrac{1}{3} x^{3} + C \end{aligned}$

Ini adalah notasi yang digunakan oleh beberapa penulis, dan memang digunakan dalam edisi buku ini yang sebelumnya. Namun, notasi asal Leibniz makin lama makin populer, karenanya kita memilih untuk mengikutinya.

Bukannya menggunakan $A_{x}$, Leibniz menggunakan lambang $\begin{aligned} \int \cdots dx \end{aligned}$. Ia menuliskan

$\begin{aligned} \int x^{2} dx = \dfrac{1}{3} x^{3} + C \end{aligned}$

dan

$\begin{aligned} \int 4x^{3} dx = x^{4} + C \end{aligned}$

Kita akan menunda menjelaskan kenapa Leibniz memilih menggunakan s yang dilengkungkan, $\int$, dan $dx$ sampai bab berikutnya.

Untuk saat ini, cukup bayangkan $\int \cdots dx$ sebagai anti-turunan terhadap $x$, sama seperti $D_{x}$ menunjukkan turunan terhadap $x$. Perhatikan bahwa

$\begin{aligned} D_{x} \int f(x) & dx = f(x) \\ & \text{dan} \\ \int D_{x} f(x) & dx = f(x) + C \end{aligned}$

Teorema A: Aturan Pangkat

Jika $r$ adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka
$$\begin{aligned} \int x^{r} dx = \frac{x^{r+1}}{r+1} + C \end{aligned}$$

Bukti Turunan ruas kanan adalah

$\begin{aligned} D_{x} \left[ \frac{x^{r+1}}{r+1} + C \right] & = \dfrac{1}{r+1} (r+1) x^{r} \\ & = x^{r} \end{aligned}$

Kita membuat dua komentar mengenai Teorema A. Pertama, teorema ini dimaksudkan untuk mencakup kasus $r=0$, yakni,

$$\begin{aligned} \int 1 ~ dx = x + C \end{aligned}$$

Kedua, karena tidak ada interval $I$ yang dirinci, maka dipahami kesimpulan sahih hanya untuk interval tempat $x^{r}$ terdefinisi. Secara khusus, kita harus mengecualikan interval yang mengandung titik asal jika $r < 0$.

Mengikuti Leibniz, kita akan sering menggunakan istilah integral tak-tentu sebagai ganti anti-turunan. Anti-diferensiasi juga berarti mengintegrasi. Dalam lambang $\begin{aligned} \int f(x) dx \end{aligned}$, disebut tanda integral dan $f(x)$ disebut integran.

Jadi, kita integralkan integram dan karenanya menghitung integral tak-tentu. Mungkin Leibniz menggunakan kata sifat tak-tentu (indefinite) untuk menyatakan secara tidak langsung bahwa integral tak-tentu selalu melibatkan konstanta sekarang.

Carilah anti-turunan yang umum dari $f(x) = x^{4/3}$.

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} \int x^{4/3} dx & = \dfrac{x^{7/3}}{(7/3)} + C \\ & = \dfrac{3}{7} x^{7/3} + C \end{aligned}$

Perhatikan bahwa untuk mengintegrasi suatu pangkat $x$ kita perbesar pangkatnya dengan $1$ dan membaginya dengan pangkat yang baru.

Teorema B:

$\begin{aligned} \int \sin{x} ~ dx & = - \cos{x} + C \\ & \text{dan} \\ \int \cos{x} ~ dx & = \sin{x} + C \end{aligned}$

Bukti Cukup lihat bahwa $D_{x} \left( - \cos{x} + C \right) = \sin{x}$ dan $D_{x} (\sin{x} + C) = \cos{x}$.

Integral Tak-Tentu adalah Linear

Ingat kembali dari Bab 2 bahwa $D_{x}$ adalah suatu operator linear. Ini berarti dua hal.

1. $D_{x} [k \cdot f(x)] = k \cdot D_{x} f(x)$
2. $D_{x} [f(x) + g(x)] = D_{x} f(x) + D_{x} g(x)$

Dari dua sifat ini, sifat ketiga menyusul secara otomatis.

3. $D_{x} [f(x) - g(x)] = D_{x} f(x) - D_{x} g(x)$

Ternyata bahwa $\int \cdots dx$ juga mempunyai sifat-sifat operasi linear ini.

Teorema C: Integral Tak-Tentu Adalah Operator Linear

Misalkan $f$ dan $g$ mempunyai anti-turunan (integral tak-tentu) dan misalkan $k$ suatu konstanta. Maka

1. $\int k \cdot f(x) ~ dx = k \int f(x) ~ dx ~ \text{;}$
2. $\int [f(x) + g(x)] ~ dx = \int f(x) ~ dx + \int g(x) ~ dx ~ \text{;}$
3. $\int [f(x) - g(x)] ~ dx = \int f(x) ~ dx - \int g(x) ~ dx ~ \text{.}$

Bukti Untuk memperlihatkan (i) dan (ii), kita cukup mendiferensiasikan ruas kanan dan amati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri.

$\begin{aligned} D_{x} \left[ k \int f(x) ~ dx \right] & = k \cdot D_{x} \int f(x) ~ dx \\ & = k f(x) \end{aligned}$

$\begin{aligned} D_{x} & \left[ \int f(x) ~ dx + \int g(x) ~ dx \right] \\ & = D_{x} \int f(x) ~ dx + D_{x} \int g(x) ~ dx \\ & = f(x) + g(x) \end{aligned}$

Sifat (iii) menyusul dari (i) dan (ii).

Menggunakan kelinearan $\begin{aligned} \int \end{aligned}$, hitunglah

1. $\begin{aligned} \int (3x^{2} + 4x) ~ dx \end{aligned}$
2. $\begin{aligned} \int (u^{3/2} - 3u + 14) ~ du \end{aligned}$
3. $\begin{aligned} \int (1/t^{2} + \sqrt{t}) ~ dt \end{aligned}$

PENYELESAIAN.

$\begin{aligned} \text{a)..} ~ \int & (3x^{2} + 4x) ~ dx \\ & = \int 3x^{2} ~ dx + \int 4x ~ dx \\ & = 3 \int x^{2} ~ dx + 4 \int x ~ dx \\ & = 3 \left( \frac{x^{3}}{3} + C_{1} \right) + 4 \left( \frac{x^{2}}{2} + C_{2} \right) \\ & = x^{3} + 2x^{2} + \left( 3 C_{1} + 4 C_{2} \right) \\ & = x^{3} + 2x^{2} + C \end{aligned}$

Dua konstanta sebarang $C_{1}$ dan $C_{2}$ muncul, tetapi digabung dalam suatu konstanta $C$, suatu hal secara konsisten akan kita ikuti.

Perhatikan bahwa penggunaan variabel $u$ ketimbang $x$. Itu baik selama lambang diferensial yang berpadanan adalah $du$, karena itu kita mempunyai suatu perubahan cara penulisan yang lengkap.

$\begin{aligned} \text{b)..} ~ \int & (u^{3/2} - 3u + 14) ~ du \\ & = \int u^{3/2} ~ du - 3 \int u ~ du + 14 \int 1 ~ du \\ & = \dfrac{2}{5} u^{5/2} - \dfrac{3}{2} u^{2} + 14u + C \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{c)..} ~ \int & \left( \frac{1}{t^{2}} + \sqrt{t} \right) ~ dt \\ & = \int (t^{-2} + t^{1/2}) ~ dt \\ & = \int t^{-2} ~ dt + \int t^{1/2} ~ dt \\ & = \dfrac{t^{-1}}{-1} + \dfrac{t^{3/2}}{(3/2)} + C \\ & = - \dfrac{1}{t} + \dfrac{2}{3} t^{3/2} + C \end{aligned}$

Aturan Pangkat yang Digeneralisir

Ingat kembali Aturan Rantai yang diterapkan pada pangkat suatu fungsi. Jika $u = g(x)$ adalah fungsi yang dapat dideferensiasi dan $r$ suatu bilangan rasional $(r \neq -1)$, maka

$D_{x} \left[ \frac{u^{r+1}}{r+1} \right] = u^{r} \cdot D_{x} u$

atau, dalam cara penulisan fungsional,

$D_{x} \left( \frac{[g(x)]^{r+1}}{r+1} \right) = [g(x)]^{r} \cdot g'(x)$

Dari sini kita peroleh suatu aturan penting untuk integral tak-tentu.

Teorema D: Aturan Pangkat yang Digeneralisir

Misalkan $g$ suatu fungsi yang dapat didiferensiasi dan $r$ suatu bilangan rasional yang bukan -1. Maka
$$\begin{aligned} \int [g(x)]^{r} ~ dx = \frac{[g(x)]^{r+1}}{r+1} + C \end{aligned}$$

Untuk menerapkan Teorema D, kita harus mampu mengenali fungsi $g$ dan $g'$ di dalam integran.

Hitunglah

1. $\begin{aligned} \int (x^{4} + 3x)^{30} (4x^{3} + 3) ~ dx \end{aligned}$
2. $\begin{aligned} \int \sin^{10}{x} \cos{x} ~ dx \end{aligned}$

PENYELESAIAN.

(a): Misalkan $g(x) = x^{4} + 3x$; maka $g'(x) = 4x^{3} + 3$. Jadi, menurut Teorema D,

$\begin{aligned} \int & (x^{4} + 3x)^{30} (4x^{3} + 3) ~ dx \\ & = \int [g(x)]^{30} g'(x) ~ dx \\ & = \dfrac{[g(x)]^{31}}{31} + C \\ & = \dfrac{(x^{4} + 3x)^{31}}{31} + C \end{aligned}$

(b): Misal $g(x) = \sin{x}$; maka $g'(x) = \cos{x}$. Jadi,

$\begin{aligned} \int & \sin^{10}{x} \cos{x} ~ dx \\ & = \int [g(x)]^{10} g'(x) ~ dx \\ & = \dfrac{[g(x)]^{11}}{11} + C \\ & = \dfrac{\sin^{11}{x}}{11} + C \end{aligned}$

Contoh 5 memperlihatkan mengapa Leibniz menggunakan diferensial $dx$ dalam cara penulisannya $\begin{aligned} \int \cdots dx \end{aligned}$. Jika kita misalkan $u = g(x)$, maka $du = g'(x) ~ dx$. Karena itu kumpulan dari Teorema D,

$\begin{aligned} \int u^{r} ~ du = \dfrac{u^{r+1}}{r+1} + C , r \neq -1 \end{aligned}$

yaitu aturan pangkat yang biasa dengan $u$ sebagai variabel. Jadi, aturan pangkat yang digeneralisir hanyalah aturan pangkat bisa yang diterapkan pada fungsi.

Tetapi dalam menerapkannya, kita harus selalu yakin bahwa kita mempunyai $du$ bersama-sama dengan $u^{r}$. Contoh-contoh berikut mengilustrasikan apa yang kita maksudkan.

Hitunglah

1. $\begin{aligned} \int (x^{3} + 6x)^{5} (6x^{2} + 12) ~ dx \end{aligned}$
2. $\begin{aligned} (x^{2} + 4)^{10} x ~ dx \end{aligned}$

PENYELESAIAN.

(a): Misalkan $u = x^{3} + 6x$, maka $du = (3x^{2} + 6) ~ dx$. Sehingga, $(6x^{2} + 12) ~ dx = 2 (3x^{2} + 6) ~ dx = 2 ~ du$, dengan demikian

$\begin{aligned} \int & (x^{3} + 6x)^{5} (6x^{2} + 12) ~ dx \\ & = \int u^{5} 2 ~ du \\ & = 2 \int u^{5} ~ du \\ & = 2 \left[ \frac{u^{6}}{6} + C \right] \\ & = \dfrac{u^{6}}{3} + 2C \\ & = \dfrac{(x^{3} + 6x)^{6}}{3} + K \end{aligned}$

Dua hal yang harus diperhatikan mengenai penyelesaian. Pertama, kenyataan bahwa $(6x^{2} + 12) ~ dx$ adalah $2 ~ du$ bukannya $du$ tidak menimbulkan kesukaran; faktor 2 dapat dipindahkan ke depan tanda integral karena kelinearan.

Kedua kita berakhir dengan sebarang konstanta $2C$. Ini masih tetap sebarang konstanta: Kita sebut sebagai K.

(b): Misalkan $u = x^{2} + 4$; maka $du = 2x ~ dx$. Jadi,

$\begin{aligned} \int & (x^{2} + 4)^{10} x ~ dx \\ & = \int (x^{2} + 4)^{10} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 2x ~ dx \\ & = \dfrac{1}{2} \int u^{10} ~ du \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \frac{u^{11}}{11} + C \right) \\ & = \dfrac{(x^{2} + 4)^{11}}{22} + K \end{aligned}$