Dua Masalah dengan Satu Tema - 2.1 Turunan (Kalkulus)

Contents

• 1 Garis Singgung
• 2 Kecepatan Rata-rata dan Kecepatan Sesaat
• 3 Laju Perubahan

Masalah kita yang pertama adalah masalah yang sangat tua dan sudah muncul sejak masa ilmuwan besar Yunani Archimedes (287-212 SM). Masalah yang kita maksudkan di sini adalah masalah kemiringan garis singgung.

Masalah yang kedua lebih baru, mulai berkembang dari percobaan-percobaan Kepler (1571-1630), Galileo (1564-1642), Newton (1642-1727), dan lainnya untuk mendeskripsikan kecepatan sebuah benda yang bergerak, yaitu masalah kecepatan sesaat (instantaneous velocity).

Dua masalah tersebut, satu geometri dan satunya mekanis, nampaknya tidak saling berkaitan. Sebenarnya, kedua masalah tersebut merupakan masalah yang sama.

Garis Singgung

Gagasan Euclides tentang garis singgung sebagai garis yang menyentuh suatu kurva hanya pada satu titik, benar untuk lingkaran (Gambar 1) tetapi sama sekali tidak memuaskan untuk kebanyakan kurva lain (Gambar 2).

Gagasan bahwa garis singgung pada suatu kurva di P sebagai garis yang paling baik mengaproksimasi kurva dekat P adalah lebih baik, tetapi masih tetap agak samar untuk kecermatan matematis. Konsep limit menyediakan suatu cara untuk memperoleh deskripsi terbaik.

Misalkan P adalah sebuah titik pada suatu kurva dan misalkan Q adalah sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan pada kurva tersebut. Pandang garis yang melalui P dan Q, disebut garis sekan (atau talibusur). Garis singgung (garis tangen) di P adalah posisi pembatas (jika ada) dari garis sekan itu bila Q bergerak ke arah P di sepanjang kurva (Gambar 3).

Misalkan kurva tersebut adalah grafik dari persamaan $y = f(x)$. Maka P mempunyai koordinat $\left( {c} , {f(c)} \right)$, titik Q di dekatnya mempunyai koordinat $\left( {c+h} , {f(c+h)} \right)$, dan talibusur yang melalui P dan Q mempunyai kemiringan $m_{sec}$ yang diberikan oleh (Gambar 4):

$$m_{sec} = \frac{f(c+h)-f(c)}{h}$$

Dengan menggunakan konsep limit, yang telah kita bahas di bab sebelumnya, sekarang kita dapat memberikann definisi resmi tentang garis singgung.

Definisi: Garis Singgung

Garis singgung pada kurva $y = f(x)$ di titik $P \left( {c} , {f(c)} \right)$ adalah garis yang melalui P dengan kemiringan
$$ m_{tan} = \lim_{h \to 0} m_{sec} = \lim_{h \to 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} $$
asalkan bahwa limit ini ada dan bukan $\infty$ atau $- \infty$.

Carilah kemiringan garis singgung pada kurva $f(x) = x^{2}$ di titik (2, 4).

PENYELESAIAN. Garis yang kemiringannya kita cari diperlihatkan pada Gambar 5. Terlihat jelas bahwa garis tersebut mempunyai kemiringan positif yang besar.

$ \begin{aligned} m_{tan} & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(2+h) - f(2)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(2+h)^{2} - 2^{2}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{4 + 4h + h^{2} - 4}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}(4+h)}{\cancel{h}} \\ & = 4 \end{aligned} $

Carilah kemiringan garis singgung pada kurva $y = f(x) = -x^{2} + 2x + 2$ di titik-titik dengan absis ${-1}, {\frac{1}{2}} , {3}, {\text{dan}} ~ 3$.

PENYELESAIAN. Ketimbang membuat perhitungan terpisah, lebih baik kita menghitung kemiringan itu pada titik dengan absisnya $c$ dan kemudian mendapatkan empat jawaban yang diinginkan dengan cara substitusi.

$ \begin{aligned} m_{tan} & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(c+h) - f(c)}{h} \\ & = \dfrac{-(c+h)^{2} + 2(c+h) + 2 - (-c^{2}+2c+2)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{-c^{2} - 2ch - h^{2} + 2c + 2h + 2 + c^{2} - 2c -2}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h} (-2c - h + 2)}{\cancel{h}} \\ & = -2c + 2 \end{aligned} $

Keempat kemiringan yang diinginkan (diperoleh dengan menetapkan $c = {-1}, {\frac{1}{2}}, {2}, \text{dan} ~ 3$) adalah 4, 1, -2, dan -4. Jawaban ini memang konsisten dengan grafik pada Gambar 6.

Carilah persamaan garis singgung pada kurva $y = 1/x$ di titik $\left( {2}, {\frac{1}{2}} \right)$ (lihat Gambar 7).

PENYELESAIAN. Misalkan $f(x) = 1/x$.

$ \begin{aligned} m_{tan} & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(2+h) - f(2)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\frac{2}{2(2+h)} - \frac{2+h}{2(2+h)}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{2 - (2+h)}{2(2+h)h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{-h}{2(2+h)h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{-1}{2(2+h)} \\ & = - \dfrac{1}{4} \end{aligned} $

Dengan mengetahui bahwa kemiringan garis adalah $- \dfrac{1}{4}$ dan $\left( {2}, {\frac{1}{2}} \right)$ berada pada garis itu, dengan mudah kita dapat menuliskan persamaannya dengan menggunakan bentuk kemiringan titik $y - y_{0} = m (x - x_{0})$. Hasilnya adalah $y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} (x-2)$, atau $y = 1 - \frac{1}{4}x$.

Kecepatan Rata-rata dan Kecepatan Sesaat

Jika kita mengendarai mobil dari sebuah kota ke kota lain yang berjarak 80 km selama 2 jam, maka kecepatan rata-rata kita adalah 40 km tiap jam. Kecepatan rata-rata adalah jarak dari posisi pertama ke posisi kedua dibagi dengan waktu tempuh.

Tetapi selama perjalanan penunjuk laju ('speedometer') sering tidak menunjukkan angka 40. Pada saat berangkat, menunjuk 0; kadang kala naik sampai setinggi 57; akhirnya turun ke 0 lagi. Jadi apa yang diukur oleh penunjuk laju? Jelas tidak menunjukkan kecepatan rata-rata.

Sebuah contoh yang lebih persis yaitu sebuah benda P yang jatuh dalam ruang hampa udara. Percobaan menunjukkan bahwa apabila mulai dari keadaan diam, maka P jatuh sejauh $16t^{2}$ feet dalam $t$ detik.

Jadi benda jatuh sejauh 16 feet dalam detik pertama dan 64 feet selama 2 detik pertama (Gambar 8); jelaslah P jatuh semakin cepat dengan berlalunya waktu. Gambar 9 memperlihatkan jarak tempuh (pada sumbu tegak) sebagai fungsi waktu (pada sumbu mendatar).

Selama detik kedua (yakni, dalam interval waktu $t=1$ sampai $t=2$). P jatuh sejauh $64 - 16 = 48 ~ feet$. Kecepatan rata-ratanya adalah

$v_{rata} = \dfrac{64 - 16}{2 - 1} = 48 ~ feet/detik$

Selama inteval waktu dari $t=1$ sampai $t = {1,5}$ , benda jatuh sejauh $16({1,5})^{2} - 16 = 20 ~ feet$. Kecepatan rata-ratanya adalah

$\begin{aligned} & \text{i)..} \quad v_{rata} = \dfrac{16({1,1})^{2} - 16}{{1,1} - 1} = \dfrac{3,36}{0,1} = {33,6} ~ feet/detik \\ & \text{ii)..} \quad v_{rata} = \dfrac{16({1,01})^{2} - 16}{{1,01} - 1} = \dfrac{0,3216}{0,01} = {32,16} ~ feet/detik \end{aligned}$

Apa yang telah kita lakukan adalah menghitung kecepatan rata-rata interval waktu yang semakin singkat, masing-masing mulai pada $t=1$. Semakin pendek interval waktu, semakin baik kita mengaproksimasi kecepatan sesaat pada $t=1$.

Dengan memperhatikan bilangan-bilangan 48; 40; 33,6; dan 32,16; kita boleh jadi menerka bahwa 32 feet per detik adalah kecepatan sesaatnya.

Tetapi marilah kita lebih persis. Misalkan bahwa sebuah benda P bergerak di sepanjang garis koordinat sehingga posisinya pada saat $t$ diberikan oleh $s = f(t)$. Pada saat $c$ benda berada di $f(c)$; pada saat yang berdekatan $t+h$, benda berada di $f(c+h)$ (lihat Gambar 10). Jadi kecepatan rata-rata pada interval ini adalah

$$v_{rata} = \frac{f(c+h) - f(c)}{h}$$

Sekarang kita dapat mendefinisikan kecepatan sesaat.

Definsi: Kecepatan Sesaat

Jika benda bergerak di sepanjang garis koordinat dengan fungsi posisi $f(t)$, maka kecepatan sesaat pada saat $c$ adalah
$$ v = \lim_{h \to 0} v_{rata} = \lim_{h \to 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} $$
asalkan bahwa limit ini ada dan bukan $\infty$ atau $- \infty$.

Dalam kasus $f(t) = 16t^{2}$, kecepatan sesaat pada $t=1$ adalah

$\begin{aligned} v & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{16(1+h)^{2} - 16}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{16 + 32h + 16h^{2} - 16}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \left( 32 + 16h \right) \\ & = 32 \end{aligned}$

Ini membenarkan dugaan kita sebelumnya.

Sebuah benda, awalnya diam, jatuh dikarenakan gaya berat. Carilah kecepatan pada $t= {3,8} ~ detik$ dan pada $t= {5,4} ~ detik$.

PENYELESAIAN. Kita hitung kecepatan sesaat pada $t = c ~ detik$. Karena $f(t) = 16t^{2}$,

$\begin{aligned} v & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(c+h) - f(c)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{16(c+h)^{2} - 16c^{2}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{16c^{2} + 32ch + 16h^{2} - 16c^{2}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \left( 32c + 16h \right) \\ & = 32c \end{aligned}$

Jadi, kecepatan sesaat pada $t = {3,8} ~ detik$ adalah $32({3,8}) = {121,6} ~ feet/detik$; pada $t = {5,4} ~ detik$ adalah $32({5,4}) = {172,8} ~ feet/detik$.

Berapa lama waktu yang diperlukan oleh benda jatuh dalam Contoh 4 untuk mencapai kecepatan sesaat sebesar $112 ~ feet/detik$?

PENEYELESAIAN. Kita pelajari dalam Contoh 4 bahwa kecepatan sesaat setelah $t$ detik adalah $32c$. Jadi kita harus menyelesaikan persamaan $32c = 112$. Penyelesaiannya adalah $\frac{112}{32} = {3,5} ~ detik$.

Sebuah partikel bergerak di sepanjang garis koordinat dan s, jarak berarah dalam sentimeter yang diukur dari titik-asal ke titik yang dicapai setelah t detik, diberikan oleh $s = f(t) = \sqrt{5t+1}$. Hitunglah kecepatan sesaat partikel pada akhir 3 detik.

PENYELESAIAN. Gambar 11 memperlihatkan jarak tempuh sebagai fungsi waktu. Kecepatan sesaat pada waktu $t=3$ sama dengan kemiringan garis singgung $t=3$.

$\begin{aligned} v & = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(3+h) - f(h)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{5(3+h)+1} - \sqrt{5(3)+1}}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{16+5h} - 4}{h} \end{aligned}$

Untuk menghitung limit ini, kita rasionalkan (dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{16+5h} + 4$. Kita peroleh

$\begin{aligned} v & = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{16+5h} - 4}{h} \cdot \dfrac{\sqrt{16+5h} + 4}{\sqrt{16+5h} + 4} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{16 + 5h - 16}{h \left( \sqrt{16+5h} + 4 \right)} \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{5}{\sqrt{16+5h} + 4} \\ & = \dfrac{5}{8} \end{aligned}$

Kita simpulkan bahwa kecepatan sesaat pada akhir 3 detik adalah $\frac{5}{8} ~ cm$ tiap detik.

Laju Perubahan

Kecepatan atau Laju

Untuk sementara waktu kita akan mempergunakan istilah kecepatan dan laju secara bergantian. Nantinya, dalam bab ini (Bab 2: Turunan), kita akan membedakan kedua kata tersebut.

Kecepatan adalah satu dari sekian banyak laju perubahan yang sangat penting dalam kuliah ini; kecepatan adalah laju perubahan jarak terhadap waktu.

Laju perubahan lain yang penting bagi kita adalah kepadatan (atau densitas) suatu kawat (laju perubahan massa terhadap jarak), pendapatan marjinal (laju perubahan pendapatan terhadap beberapa jenis produk), dan arus listrik (laju perubahan muatan listrik terhadap waktu).

Laju-laju ini dan banyak lagi yang lainnya dibahas dalam soal-soal. Dalam masing-masing kasus, kita harus membedakan antara laju perubahan rata-rata pada suatu interval dan laju perubahan sesaat pada suatu titik. Istilah laju perubahan tanpa keterangan apa-apa akan bermakna laju perubahan sesaat.

Literature Review:

[1] Varberg, Rigdon, and Purcell, Kalkulus Edisi 1 Jilid 9 (Jakarta: Penerbit Erlangga).

Setiap kegagalan adalah jalan menuju kesuksesan.

Every failure is a step to success.
- W. Whewell, "Lectures on the History of Moral Philosophy in England"