Himpunan - Kelas 7 (Materi, Soal dan Pembahasan)
Contents
- 1 Himpunan secara Umum
- 2 Himpunan Semesta dan Kosong
- 3 Himpunan Bagian
- 4 Diagram Venn
- 5 Operasi Himpunan
- 6 Soal dan Pembahasan
- QUICK FORMULA:
Konsep himpunan banyak ditemui sehari-hari. Indonesia sendiri misalnya, kita mengenal suku Jawa, suku Madura, suku Dayak, suku Batak, dan lain sebagainya.
Semua itu merupakan kelompok, dan pengertian himpunan sendiri sederhananya mengarah padanan terhadap kumpulan, kelompok, grup, ataupun gerombolan.
Meskipun begitu, tidak semua kumpulan, kelompok, grup, atau gerombolan merupakan himpunan. Mengapa begitu? Mari kita simak...
Himpunan secara Umum
Konsep himpunan pertama kali dikemukakan oleh pakar matematika asal Jerman pada abad ke-18, yaitu Georg Cantor (1845-1918).
Himpunan secara umum merupakan kumpulan objek. Namun, tidak semua kumpulan objek adalah himpunan. Berikut ini diberikan contoh dan kita cari bedanya...
A merupakan para siswa kelas VII E.
B merupakan kumpulan bilangan prima.
C merupakan kumpulan pelajaran yang disenangi siswa.
D merupakan kumpulan makanan lezat.
PEMBAHASAN.
- A = himpunan
- B = himpunan
- C = bukan himpunan
- D = bukan himpunan.
Mengapa?
- A dan B merupakan himpunan karena terdefinisi jelas dan objektif (satu penafsiran atau kesepakatan).
- C dan D bukan merupakan himpunan karena tidak terdefinisi jelas dan subjektif (memiliki banyak penafsiran setiap orang).
Dari penjelasan perbedaan himpunan dan bukan himpunan di atas, kita bisa tarik kesimpulan pengertian himpunan sebagai berikut:
Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan jelas.
1.1 Menyajikan Himpunan
A: Enumerisasi
Enumerisasi yaitu himpunan yang dinyatakan dengan menyebutkan semua anggota dalam simbol "kurung kurawal: $\{ \dots \}$". Boleh disebut juga: dengan mendaftar anggota.
X merupakan kumpulan bilangan prima kurang dari 20.
PEMBAHASAN.
$X = \{ 2,3,5,7,11,13,17 \}$
B: Definisi
Himpunan yang dinyatakan secara kata dan definisi umumnya. Ini sering digunakan dalam bahasa dan komunikasi sehari-hari.
Misal diberikan:
$$ Y = \{ 1,2,3,4,5 \} $$
PEMBAHASAN.
$ Y = \{ \text{bil. asli kurang dari 6} \} $
C: Notasi Pembentuk
Menyatakan himpunan dengan notasi pembentuk merupakan kegiatan menulis bentuk umum dalam notasi matematis. Ini merupakan kebalikan dari enumerisasi.
Misal diberikan:
$$ Z = \{ 1,2,3,4,5 \} $$
PEMBAHASAN.
$ Z = \{ x | x \le 5, x \in ~ \text{bil. asli} \} $
Dibaca: $x$ berhingga dari: $x$ kurang dari atau sama dengan 5 dan x anggota bilangan asli.
D: Diagram Venn
Diagram Venn yakni penyajian himpunan secara grafis dan lebih informatif. Kita akan membahas rinci dalam subjudul khusus di postingan ini.
Kita lanjut dulu...
1.2 Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga
Himpunan dibedakan menjadi dua jenis berdasarkan kuantitas anggotanya...
A: Himpunan Berhingga
Himpunan yang keanggotaannya memiliki titik henti atau batas, dan cenderung mungkin untuk disajikan semua dalam enumerisasi.
Misalkan diberikan: A himpunan bilangan prima kurang dari 10.
PEMBAHASAN.
$A = \{ 2,3,5,7 \}$
B: Himpunan Tak Berhingga
Himpunan yang keanggotaannya tidak memiliki titik henti atau terus-menerus dan tak terbatas, sehingga cenderung mustahil disebut semua dalam enumerisasi.
Dalam penulisan, biasanya kita mengambil beberapa sampel anggota, kemudian menyisipkan simbol "titik-titik: $\dots$" yang bermakna terus dan berkelanjutan.
Misalkan diberikan: B himpunan bilangan bulat.
PEMBAHASAN.
$B = \{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \}$
Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta
A: Himpunan Kosong
Himpunan Kosong berciri: tidak memiliki anggota ( $n(X) = 0$ ), dan dilambangkan dengan: "$\{ \}$" atau "$\varnothing$".
Misalkan diberikan: A adalah kumpulan bilangan asli kurang dari 1.
PEMBAHASAN.
$\begin{aligned} \begin{array}{ccc} A = \varnothing & \text{atau} & A = \{ \} \end{array} \end{aligned}$
B: Himpunan Semesta
Himpunan Semesta merupakan himpunan yang memuat semua anggota himpunan-himpunan yang dibicarakan. Berikutnya dilambangkan dengan: " $S$ ".
Misalkan diberikan:
$$ A = \{ 2,3,5,7 \} $$
, maka himpunan semesta yang mungkin...
PEMBAHASAN.
$\begin{aligned} \begin{array}{lll} \text{(1)..} & S = \{ \text{bil. prima} \} & \\ \text{(2)..} & S = \{ \text{bil. asli} \} & \\ \text{(3)..} & S = \{ \text{bil. cacah} \} & \\ \text{(4)..} & S = \{ \text{bil. bulat} \} & \\ \text{...} & & \end{array} \end{aligned}$
Himpunan Bagian
Himpunan Bagian didefinisikan sebagai suatu himpunan yang semua anggotanya termuat dalam suatu himpunan lain. Dilambangkan sebagai: "$\subset$" dan "$\supset$".
Misalkan diberikan:
$$A = \{ 2,3,5 \} ~ \text{dan} ~ B = \{ 1,2,3,4,5 \}$$
PEMBAHASAN.
Seluruh anggota himpunan A termuat di himpunan B, maka: $A \subset B$ (himpunan A bagian dari himpunan B).
Atau boleh juga memakai lambang sebaliknya menjadi: $B \supset A$ (himpunan B memuat bagian, yakni himpunan A).
A: Menghitung Bagian dari Suatu Himpunan
Metode Manual untuk Banyak Himpunan. Ini merupakan teknik dasar menyelesaikan banyak himpunan bagian dan mengerti apa saja anggota bagian-bagiannya.
Berikut ini penjelesan dengan contoh...
Misalkan diberikan:
$$X = \{ a,b,c \}$$
maka banyak himpunan bagian...
PEMBAHASAN.
Diketahui: $X = \{ a,b,c \}$ ; $n(X) = 3$ .
Ditanya: $HB = ~ \cdots \text{?}$
Dijawab:
Quick Formula A: Rumus Banyak Himpunan Bagian. Secara matematis, untuk menentukan jumlah seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan secara langsung adalah dengan rumus:
$\boxed{HB = 2^{n(X)}}$
Keterangan:
- $HB$ = banyak himpunan bagian
- $n(X)$ = banyak anggota suatu himpunan
Mari kita coba dengan contoh...
Misalkan diberikan:
$$X = \{ a,b,c \}$$
maka banyak himpunan bagian...
PEMBAHASAN.
Diketahui: $X = \{ a,b,c \}$ ; $n(X) = 3$ .
Ditanya: $HB = ~ \cdots \text{?}$
Dijawab:
$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{i)..} & HB & = 2^{n(X)} \\ & & = 2^{3} \\ & & = 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ & HB & = 8 \end{array} \end{aligned}$
Metode Pascal untuk Banyak Himpunan Bagian. Dengan contoh yang sama seperti sebelumnya, simaklah penyelesaian banyak himpunan bagian menggunakan metode segitiga pascal...
Misalkan diberikan:
$$X = \{ a,b,c \}$$
maka banyak himpunan bagian...
PEMBAHASAN.
Diketahui: $X = \{ a,b,c \}$ ; $n(X) = 3$ .
Ditanya: $HB = ~ \cdots \text{?}$
Dijawab:
Diagram Venn
Cara menyajikan himpunan juga bisa dinyatakan dalam gambar atau grafik yang disebut Diagram Venn. Konsep ini pertama kali diperkenalkan oleh pakar matematika Inggris bernama John Venn (1834-1923).
Petunjuk membuat diagram venn:
- Himpunan Semesta ( $S$ ) sebagai 'wadah' berbentuk segiempat yang memuat semua himpunan yang dibicarakan. Simbol " $S$ " diletakkan pada pojok kiri-atas.
- Setiap himpunan yang berada dalam " $S$ " disajikan dalam kurva tertutup sederhana (bentuk segi: segitiga, segiempat, lingkaran, ...).
- Setiap satu anggota himpunan disajikan dengan tanda "titik" disampingnya.
- Bila suatu himpunan mempunyai sangat banyak anggota, maka sajikan anggota-anggota yang memang penting dibahas atau seperlunya saja.
Kita ambil contoh dan penjelasan berikut...
Misalkan diberikan:
$$ S = \{ a,b,c,d,e \} ~ \text{dan} ~ A = \{ b,d,e \} $$
PEMBAHASAN.
Selanjutnya, diagram venn menjadi lebih informatif untuk menyajikan dan memahami: operasi himpunan...
Operasi Himpunan
Himpunan memiliki setidaknya empat operasi:
- Irisan
- Gabungan
- Selisih
- Komplemen
Mari kita bahas satu per satu, urut mulai dari...
5.1 Irisan
Irisan dilambangkan: " $\cap$ ". Pengertian Irisan ialah suatu himpunan yang memuat semua jenis anggota yang berpasangan/sama dari dua himpunan.
Perhatikan diagram venn di bawah ini.
Dari diagram tersebut kita bisa mengetahui:
$\begin{aligned} & A = \{ 2,3,5,7 \} \\ & B = \{ 1,3,5,7,9 \} \\ & \boxed{ A \cap B = \{ 3,5,7 \} } \end{aligned}$
5.2 Gabungan
Gabungan dilambangkan: " $\cup$ ". Pengertian Gabungan ialah suatu himpunan yang memuat semua jenis anggota dari dua himpunan.
Perhatikan diagram venn di bawah ini.
Dari diagram tersebut kita bisa mengetahui:
$\begin{aligned} & A = \{ 0,1,2,3,4,5 \} \\ & B = \{ 2,4,6,10 \} \\ & \boxed{ A \cup B = \{ 0,1,2,3,4,5,6,10 \} } \end{aligned}$
5.3 Selisih
Selisih dilambangkan: " $-$ ". Pengertian Selisih ialah suatu himpunan yang memuat semua jenis anggota yang tidak berpasangan/sama dari dua himpunan.
Perhatikan diagram venn.
Dari diagram tersebut kita bisa mengetahui:
$\begin{aligned} & A = \{ 1,3,5,7,9 \} \\ & B = \{ 1 \} \\ & \boxed{ A - B = \{ 3,5,7,9 \} } \end{aligned}$
5.4 Komplemen
Komplemen dilambangkan: " $X^{c}$ ". Pengertian Komplemen ialah suatu himpunan yang memuat semua anggota di luar himpunan itu sendiri.
Perhatikan diagram venn.
Dari diagram tersebut kita bisa mengetahui:
$\begin{aligned} & S = \{ 1,2,3,4,5,6 \} \\ & A = \{ 2,4,6 \} \\ & \boxed{ A^{c} = \{ 1,3,5 \} } \end{aligned}$
Soal dan Pembahasan
Today Quote:
"Creativity is intelligence having fun."
Nomor 1 (Soal UN 2018)
Diketahui
$$L = \{ x | 3 < x \le 8 \}$$
di mana $x$ bilangan asli. Banyak himpunan bagian dari $L$ yang mempunyai 4 anggota adalah ...
- 5
- 6
- 7
- 8
PENYELESAIAN.
Diketahui: $L = \{ x | 3 < x \le 8 \}$ ;
Ditanya: $HB ~ \text{pasangan 4} ~ = \cdots \text{?}$
Dijawab:
$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{i)..} & L & = \{ x | 3 < x \le 8 \} \\ & & = \{ 4,5,6,7,8 \} \quad \cdots ~ n(L) = 5 \end{array} \end{aligned}$
(Jawaban A)
Nomor 2
Diberikan suatu himpunan:
$$ P = \{ 1,2,3,4,6,12 \} $$
Jika dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan adalah ...
- $\{ x | x > 1, x \in ~ \text{bil. asli} \}$
- $\{ x | x > 1, x \in ~ \text{bil. faktor dari 12} \}$
- $\{ x | x \ge 1, x \in ~ \text{bil. faktor dari 12} \}$
- $\{ x | x \ge 1, x \in ~ \text{bil. cacah} \}$
PENYELESAIAN.
Diketahui: $P = \{ 1,2,3,4,6,12 \}$
Ditanya: $\text{notasi pembentuk} ~ = \cdots \text{?}$
Dijawab:
$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{i)..} & P & = \{ 1,2,3,4,6,12 \} \\ & & = \{ x | x \ge 1, x \in ~ \text{bil. faktor dari 12} \} \end{array} \end{aligned}$
(Jawaban C)
Nomor 3
Berikut ini merupakan himpunan, kecuali ...
- kumpulan hewan herbivora
- kumpulan tumbuhan berbunga indah
- kumpulan bilangan prima kurang dari 10
- kumpulan hewan berkaki empat
PENYELESAIAN.
(A): himpunan, karena $A = \{ sapi, kelinci, \cdots \}$.
(C): himpunan, karena $C = \{ 2,3,5,7 \}$.
(D): himpunan, karena $D = \{ kucing, kambing, \cdots \}$.
(B): bukan himpunan, karena definisi 'tumbuhan berbunga indah' memiliki banyak penafsiran setiap individu.
(Jawaban B)
Nomor 4
Diantara himpunan berikut ini, yang merupakan himpunan kosong adalah ...
- $\{ \text{bil. prima genap} \}$
- $\{ \text{faktor dari 15 yang habis dibagi 3} \}$
- $\{ \text{bil. ganjil yang habis dibagi bil. genap} \}$
- $\{ \text{bil. kelipatan 4 yang habis dibagi 5} \}$
PENYELESAIAN.
(A): $A = \{ 2 \}$
(B): $B = \{ 3,15 \}$
(C): $C = \{ \}$
(D): $D = \{ 20,40,60, \cdots \}$
(Jawaban C)
Nomor 5 (Soal UN 2018)
Diketahui:
$$\begin{aligned} & S = \{ \text{bil. asli < 13} \} \\ & P = \{ \text{bil. faktor dari 12} \} \\ & Q = \{ \text{bil. kelipatan 2 kurang dari 13} \} \end{aligned}$$
himpunan dari komplemen $\left( P \cup Q \right)$ adalah ...
- $\{ 1,5,7,12 \}$
- $\{ 5,7,9,11 \}$
- $\{ 2,3,4,6,8,10,12 \}$
- $\{ 1,2,3,4,6,8,10,12 \}$
PENYELESAIAN.
Diketahui: $S$ ; $P$ ; $Q$ ;
Ditanya: $\left( P \cup Q \right)^{c} = \cdots \text{?}$
Dijawab:
$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{i)..} & S & = \{ \text{bil. asli < 13} \} \\ & & = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 \} \end{array} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{ii)..} & P & = \{ \text{bil. faktor dari 12} \} \\ & & = \{ 1,2,3,4,6,12 \} \end{array} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{iii)..} & Q & = \{ \text{bil. kelipatan 2 kurang dari 13} \} \\ & & = \{ 2,4,6,8,10 \} \end{array} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{iv)..} & P \cup Q & = \{ 1,2,3,4,6,12 \} \cup \{ 2,4,6,8,10 \} \\ & & = \{ 1,2,3,4,6,8,10,12 \} \end{array} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{v)..} & \left( P \cup Q \right)^{c} & = \{ 1,2,3,4,6,8,10,12 \}^{c} \\ & & = S - \left( P \cup Q \right) \\ & & = \{ 5,7,9,11 \} \end{array} \end{aligned}$
(Jawaban B)
Nomor 6
Dari diagram venn berikut:
Yang merupakan $\left( P \cup Q \right)^{c}$ adalah ...
- $\{ 4,12,13 \}$
- $\{ 2,3 \}$
- $\{ 1,6,8,10 \}$
- $\{ 2,3,4,5,7,9,11,12,13 \}$
PENYELESAIAN.
Diketahui: $S$ ; $P$ ; $Q$ ;
Ditanya: $\left( P \cup Q \right)^{c} = \cdots \text{?}$
Dijawab:
$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{i)..} & S & = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 \} \end{array} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{ii)..} & P & = \{ 2,3,4,12,13 \} \end{array} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{iii)..} & Q & = \{ 2,3,5,7,9,11 \} \end{array} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{iv)..} & P \cup Q & = \{ 2,3,5,7,9,11,12,13 \} \end{array} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{v)..} & \left( P \cup Q \right)^{c} & = \{ 1,6,8,10 \} \end{array} \end{aligned}$
(Jawaban C)
Nomor 7
Perhatikan gambar di bawah ini:
Yang merupakan $A \subset B$ adalah ...
- Gambar A
- Gambar B
- Gambar C
- Gambar D
PENYELESAIAN.
(Jawaban A)
Nomor 8
Banyaknya himpunan bagian dari himpunan P yang beranggotakan huruf dari kata "BUKU SAKU" adalah ...
- 16
- 32
- 64
- 128
PENYELESAIAN.
Diketahui: $X = \{ B,U,K,S,A \}$ ; $n(X) = 5$ ;
Ditanya: $HB = \cdots \text{?}$
Dijawab:
$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{i)..} & HB & = 2^{n(X)} \\ & & = 2^{5} \\ & & = 32 \end{array} \end{aligned}$
(Jawaban B)
Nomor 9
Diketahui:
$$Q = \{ x | x > 2, x \in ~ \text{faktor dari 24} \}$$
banyaknya himpunan bagian dari Q yang memiliki empat anggota himpunan adalah ...
- 1
- 6
- 15
- 20
PENYELESAIAN.
Diketahui: $Q = \{ 3,4,6,8,12,24 \}$ ; $n(Q) = 6$ ;
Ditanya: $HB ~ \text{pasangan 4} = \cdots \text{?}$
Dijawab:
(Jawaban C)
Nomor 10
Hasil pendataan 30 balita di suatu puskesmas: terdapat 6 balita pernah diberi vaksin imunisasi penyakit campak dan polio, 3 balita belum pernah diberi vaksin imunisasi kedua penyakit tersebut. Banyak balita yang diberi vaksin campak 2 kali lipat dari vaksin polio. Banyak balita yang diberi vaksin campak adalah ...
- 11
- 15
- 16
- 22
PENYELESAIAN.
Diketahui:
Misalkan:
- A = campak
- B = polio
- S = himpunan semesta yang dibicarakan (seluruh balita di puskesmas)
- $n(S) = 30$
- $n \left( A \cap B \right) = 6$
- $n \left( A \cup B \right)^{c} = 3$
- $n(A) = 2 \cdot n(B)$
Ditanya: $n(A) = \cdots \text{?}$
Dijawab:
$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{i)..} & n \left( A \cup B \right) & = n(S) - n \left( A \cup B \right)^{c} \\ & & = 30 - 3 \\ & n \left( A \cup B \right) & = 27 \quad \cdots \text{(1)} \end{array} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{ii)..} & n \left( A \cup B \right) & = n(A) + n(B) - n \left( A \cap B \right) \\ & 27 & = 2 \cdot n(B) + n(B) - 6 \\ & 27 + 6 & = 3 \cdot n(B) \\ & 33 & = 3 \cdot n(B) \\ & n(B) & = \dfrac{33}{3} \\ & n(B) & = 11 \quad \cdots \text{(2)} \end{array} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{iii)..} & n(A) & = 2 \cdot n(B) \\ & & = 2 \cdot 11 \\ & n(A) & = 22 \end{array} \end{aligned}$
(Jawaban D)
Referensi:
Indonesia, Forum Tentor. 2019. King Pocket Matematika SMP. Yogyakarta: Forum Edukasi.