NkuCQmWxWJeSXeuAqt7LBjq580vp0ecgQCp0WTk2

Himpunan | Materi, Soal dan Pembahasan | Matematika SMP 7

Kumatho.com - Konsep himpunan banyak ditemui sehari-hari. Indonesia sendiri misalnya, kita mengenal suku Jawa, suku Madura, suku Dayak, suku Batak, dan lain sebagainya.

Semua itu merupakan kelompok, dan pengertian himpunan sendiri sederhananya mengarah padanan terhadap kumpulan, kelompok, grup, ataupun gerombolan.

Meskipun begitu, tidak semua kumpulan, kelompok, grup, atau gerombolan merupakan himpunan. Mengapa begitu? Mari kita simak...



Himpunan secara Umum

Konsep himpunan pertama kali dikemukakan oleh pakar matematika asal Jerman pada abad ke-18, yaitu Georg Cantor (1845-1918).

Himpunan secara umum merupakan kumpulan objek. Namun, tidak semua kumpulan objek adalah himpunan. Berikut ini diberikan contoh dan kita cari bedanya...

A merupakan para siswa kelas VII E.
B merupakan kumpulan bilangan prima.
C merupakan kumpulan pelajaran yang disenangi siswa.
D merupakan kumpulan makanan lezat.

PEMBAHASAN.

  • A = himpunan
  • B = himpunan
  • C = bukan himpunan
  • D = bukan himpunan.

Mengapa?
  • A dan B merupakan himpunan karena terdefinisi jelas dan objektif (satu penafsiran atau kesepakatan).
  • C dan D bukan merupakan himpunan karena tidak terdefinisi jelas dan subjektif (memiliki banyak penafsiran setiap orang).

Dari penjelasan perbedaan himpunan dan bukan himpunan di atas, kita bisa tarik kesimpulan pengertian himpunan sebagai berikut:

Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan jelas.

1.1 Menyajikan Himpunan

A: Enumerisasi

Enumerisasi yaitu himpunan yang dinyatakan dengan menyebutkan semua anggota dalam simbol "kurung kurawal: $\{ \dots \}$". Boleh disebut juga: dengan mendaftar anggota.

X merupakan kumpulan bilangan prima kurang dari 20.

PEMBAHASAN.

$X = \{ 2,3,5,7,11,13,17 \}$

B: Definisi

Himpunan yang dinyatakan secara kata dan definisi umumnya. Ini sering digunakan dalam bahasa dan komunikasi sehari-hari.

Misal diberikan:
$$ Y = \{ 1,2,3,4,5 \} $$

PEMBAHASAN.

$ Y = \{ \text{bil. asli kurang dari 6} \} $

C: Notasi Pembentuk

Menyatakan himpunan dengan notasi pembentuk merupakan kegiatan menulis bentuk umum dalam notasi matematis. Ini merupakan kebalikan dari enumerisasi.

Misal diberikan:
$$ Z = \{ 1,2,3,4,5 \} $$

PEMBAHASAN.

$ Z = \{ x | x \le 5, x \in ~ \text{bil. asli} \} $

Dibaca: $x$ berhingga dari: $x$ kurang dari atau sama dengan 5 dan x anggota bilangan asli.

D: Diagram Venn

Diagram Venn yakni penyajian himpunan secara grafis dan lebih informatif. Kita akan membahas rinci dalam subjudul khusus di postingan ini.

Kita lanjut dulu...

1.2 Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga

Himpunan dibedakan menjadi dua jenis berdasarkan kuantitas anggotanya...

A: Himpunan Berhingga

Himpunan yang keanggotaannya memiliki titik henti atau batas, dan cenderung mungkin untuk disajikan semua dalam enumerisasi.

Misalkan diberikan: A himpunan bilangan prima kurang dari 10.

PEMBAHASAN.

$A = \{ 2,3,5,7 \}$

B: Himpunan Tak Berhingga

Himpunan yang keanggotaannya tidak memiliki titik henti atau terus-menerus dan tak terbatas, sehingga cenderung mustahil disebut semua dalam enumerisasi.

Dalam penulisan, biasanya kita mengambil beberapa sampel anggota, kemudian menyisipkan simbol "titik-titik: $\dots$" yang bermakna terus dan berkelanjutan.

Misalkan diberikan: B himpunan bilangan bulat.

PEMBAHASAN.

$B = \{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \}$

Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta

A: Himpunan Kosong

Himpunan Kosong berciri: tidak memiliki anggota ( $n(X) = 0$ ), dan dilambangkan dengan: "$\{ \}$" atau "$\varnothing$".

Misalkan diberikan: A adalah kumpulan bilangan asli kurang dari 1.

PEMBAHASAN.

$\begin{aligned} \begin{array}{ccc} A = \varnothing & \text{atau} & A = \{ \} \end{array} \end{aligned}$

B: Himpunan Semesta

Himpunan Semesta merupakan himpunan yang memuat semua anggota himpunan-himpunan yang dibicarakan. Berikutnya dilambangkan dengan: " $S$ ".

Misalkan diberikan:
$$ A = \{ 2,3,5,7 \} $$
, maka himpunan semesta yang mungkin...

PEMBAHASAN.

$\begin{aligned} \begin{array}{lll} \text{(1)..} & S = \{ \text{bil. prima} \} & \\ \text{(2)..} & S = \{ \text{bil. asli} \} & \\ \text{(3)..} & S = \{ \text{bil. cacah} \} & \\ \text{(4)..} & S = \{ \text{bil. bulat} \} & \\ \text{...} & & \end{array} \end{aligned}$

Himpunan Bagian

Himpunan Bagian didefinisikan sebagai suatu himpunan yang semua anggotanya termuat dalam suatu himpunan lain. Dilambangkan sebagai: "$\subset$" dan "$\supset$".

Misalkan diberikan:
$$A = \{ 2,3,5 \} ~ \text{dan} ~ B = \{ 1,2,3,4,5 \}$$

PEMBAHASAN.

Seluruh anggota himpunan A termuat di himpunan B, maka: $A \subset B$ (himpunan A bagian dari himpunan B).

Atau boleh juga memakai lambang sebaliknya menjadi: $B \supset A$ (himpunan B memuat bagian, yakni himpunan A).

A: Menghitung Bagian dari Suatu Himpunan

Metode Manual untuk Banyak Himpunan. Ini merupakan teknik dasar menyelesaikan banyak himpunan bagian dan mengerti apa saja anggota bagian-bagiannya.

Berikut ini penjelesan dengan contoh...

Misalkan diberikan:
$$X = \{ a,b,c \}$$
maka banyak himpunan bagian...

PEMBAHASAN.

Diketahui: $X = \{ a,b,c \}$ ; $n(X) = 3$ .
Ditanya: $HB = ~ \cdots \text{?}$

Dijawab:

Quick Formula A: Rumus Banyak Himpunan Bagian. Secara matematis, untuk menentukan jumlah seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan secara langsung adalah dengan rumus:

$\boxed{HB = 2^{n(X)}}$

Keterangan:

  • $HB$ = banyak himpunan bagian
  • $n(X)$ = banyak anggota suatu himpunan

Mari kita coba dengan contoh...

Misalkan diberikan:
$$X = \{ a,b,c \}$$
maka banyak himpunan bagian...

PEMBAHASAN.

Diketahui: $X = \{ a,b,c \}$ ; $n(X) = 3$ .
Ditanya: $HB = ~ \cdots \text{?}$

Dijawab:

$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{i)..} & HB & = 2^{n(X)} \\ & & = 2^{3} \\ & & = 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ & HB & = 8 \end{array} \end{aligned}$

Metode Pascal untuk Banyak Himpunan Bagian. Dengan contoh yang sama seperti sebelumnya, simaklah penyelesaian banyak himpunan bagian menggunakan metode segitiga pascal...

Misalkan diberikan:
$$X = \{ a,b,c \}$$
maka banyak himpunan bagian...

PEMBAHASAN.

Diketahui: $X = \{ a,b,c \}$ ; $n(X) = 3$ .
Ditanya: $HB = ~ \cdots \text{?}$

Dijawab:

Diagram Venn

Cara menyajikan himpunan juga bisa dinyatakan dalam gambar atau grafik yang disebut Diagram Venn. Konsep ini pertama kali diperkenalkan oleh pakar matematika Inggris bernama John Venn (1834-1923).

Petunjuk membuat diagram venn:

  1. Himpunan Semesta ( $S$ ) sebagai 'wadah' berbentuk segiempat yang memuat semua himpunan yang dibicarakan. Simbol " $S$ " diletakkan pada pojok kiri-atas.
  2. Setiap himpunan yang berada dalam " $S$ " disajikan dalam kurva tertutup sederhana (bentuk segi: segitiga, segiempat, lingkaran, ...).
  3. Setiap satu anggota himpunan disajikan dengan tanda "titik" disampingnya.
  4. Bila suatu himpunan mempunyai sangat banyak anggota, maka sajikan anggota-anggota yang memang penting dibahas atau seperlunya saja.

Kita ambil contoh dan penjelasan berikut...

Misalkan diberikan:
$$ S = \{ a,b,c,d,e \} ~ \text{dan} ~ A = \{ b,d,e \} $$

PEMBAHASAN.

Selanjutnya, diagram venn menjadi lebih informatif untuk menyajikan dan memahami: operasi himpunan...

Operasi Himpunan

Himpunan memiliki setidaknya empat operasi:

  1. Irisan
  2. Gabungan
  3. Selisih
  4. Komplemen

Mari kita bahas satu per satu, urut mulai dari...

5.1 Irisan

Irisan dilambangkan: " $\cap$ ". Pengertian Irisan ialah suatu himpunan yang memuat semua jenis anggota yang berpasangan/sama dari dua himpunan.

Perhatikan diagram venn di bawah ini.

Dari diagram tersebut kita bisa mengetahui:

$\begin{aligned} & A = \{ 2,3,5,7 \} \\ & B = \{ 1,3,5,7,9 \} \\ & \boxed{ A \cap B = \{ 3,5,7 \} } \end{aligned}$

5.2 Gabungan

Gabungan dilambangkan: " $\cup$ ". Pengertian Gabungan ialah suatu himpunan yang memuat semua jenis anggota dari dua himpunan.

Perhatikan diagram venn di bawah ini.

Dari diagram tersebut kita bisa mengetahui:

$\begin{aligned} & A = \{ 0,1,2,3,4,5 \} \\ & B = \{ 2,4,6,10 \} \\ & \boxed{ A \cup B = \{ 0,1,2,3,4,5,6,10 \} } \end{aligned}$

5.3 Selisih

Selisih dilambangkan: " $-$ ". Pengertian Selisih ialah suatu himpunan yang memuat semua jenis anggota yang tidak berpasangan/sama dari dua himpunan.

Perhatikan diagram venn.

Dari diagram tersebut kita bisa mengetahui:

$\begin{aligned} & A = \{ 1,3,5,7,9 \} \\ & B = \{ 1 \} \\ & \boxed{ A - B = \{ 3,5,7,9 \} } \end{aligned}$

5.4 Komplemen

Komplemen dilambangkan: " $X^{c}$ ". Pengertian Komplemen ialah suatu himpunan yang memuat semua anggota di luar himpunan itu sendiri.

Perhatikan diagram venn.

Dari diagram tersebut kita bisa mengetahui:

$\begin{aligned} & S = \{ 1,2,3,4,5,6 \} \\ & A = \{ 2,4,6 \} \\ & \boxed{ A^{c} = \{ 1,3,5 \} } \end{aligned}$


Soal dan Pembahasan


Today Quote:
"Creativity is intelligence having fun."
Albert Einsten

Nomor 1 (Soal UN 2018)
Diketahui
$$L = \{ x | 3 < x \le 8 \}$$
di mana $x$ bilangan asli. Banyak himpunan bagian dari $L$ yang mempunyai 4 anggota adalah ...

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8

PENYELESAIAN.

Diketahui: $L = \{ x | 3 < x \le 8 \}$ ;
Ditanya: $HB ~ \text{pasangan 4} ~ = \cdots \text{?}$

Dijawab:

$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{i)..} & L & = \{ x | 3 < x \le 8 \} \\ & & = \{ 4,5,6,7,8 \} \quad \cdots ~ n(L) = 5 \end{array} \end{aligned}$

(Jawaban A)


Nomor 2
Diberikan suatu himpunan:
$$ P = \{ 1,2,3,4,6,12 \} $$
Jika dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan adalah ...

  1. $\{ x | x > 1, x \in ~ \text{bil. asli} \}$
  2. $\{ x | x > 1, x \in ~ \text{bil. faktor dari 12} \}$
  3. $\{ x | x \ge 1, x \in ~ \text{bil. faktor dari 12} \}$
  4. $\{ x | x \ge 1, x \in ~ \text{bil. cacah} \}$

PENYELESAIAN.

Diketahui: $P = \{ 1,2,3,4,6,12 \}$
Ditanya: $\text{notasi pembentuk} ~ = \cdots \text{?}$

Dijawab:

$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{i)..} & P & = \{ 1,2,3,4,6,12 \} \\ & & = \{ x | x \ge 1, x \in ~ \text{bil. faktor dari 12} \} \end{array} \end{aligned}$

(Jawaban C)


Nomor 3
Berikut ini merupakan himpunan, kecuali ...

  1. kumpulan hewan herbivora
  2. kumpulan tumbuhan berbunga indah
  3. kumpulan bilangan prima kurang dari 10
  4. kumpulan hewan berkaki empat

PENYELESAIAN.

(A): himpunan, karena $A = \{ sapi, kelinci, \cdots \}$.
(C): himpunan, karena $C = \{ 2,3,5,7 \}$.
(D): himpunan, karena $D = \{ kucing, kambing, \cdots \}$.
(B): bukan himpunan, karena definisi 'tumbuhan berbunga indah' memiliki banyak penafsiran setiap individu.

(Jawaban B)


Nomor 4
Diantara himpunan berikut ini, yang merupakan himpunan kosong adalah ...

  1. $\{ \text{bil. prima genap} \}$
  2. $\{ \text{faktor dari 15 yang habis dibagi 3} \}$
  3. $\{ \text{bil. ganjil yang habis dibagi bil. genap} \}$
  4. $\{ \text{bil. kelipatan 4 yang habis dibagi 5} \}$

PENYELESAIAN.

(A): $A = \{ 2 \}$
(B): $B = \{ 3,15 \}$
(C): $C = \{ \}$
(D): $D = \{ 20,40,60, \cdots \}$

(Jawaban C)


Nomor 5 (Soal UN 2018)
Diketahui:
$$\begin{aligned} & S = \{ \text{bil. asli < 13} \} \\ & P = \{ \text{bil. faktor dari 12} \} \\ & Q = \{ \text{bil. kelipatan 2 kurang dari 13} \} \end{aligned}$$
himpunan dari komplemen $\left( P \cup Q \right)$ adalah ...

  1. $\{ 1,5,7,12 \}$
  2. $\{ 5,7,9,11 \}$
  3. $\{ 2,3,4,6,8,10,12 \}$
  4. $\{ 1,2,3,4,6,8,10,12 \}$

PENYELESAIAN.

Diketahui: $S$ ; $P$ ; $Q$ ;
Ditanya: $\left( P \cup Q \right)^{c} = \cdots \text{?}$

Dijawab:

$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{i)..} & S & = \{ \text{bil. asli < 13} \} \\ & & = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 \} \end{array} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{ii)..} & P & = \{ \text{bil. faktor dari 12} \} \\ & & = \{ 1,2,3,4,6,12 \} \end{array} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{iii)..} & Q & = \{ \text{bil. kelipatan 2 kurang dari 13} \} \\ & & = \{ 2,4,6,8,10 \} \end{array} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{iv)..} & P \cup Q & = \{ 1,2,3,4,6,12 \} \cup \{ 2,4,6,8,10 \} \\ & & = \{ 1,2,3,4,6,8,10,12 \} \end{array} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{v)..} & \left( P \cup Q \right)^{c} & = \{ 1,2,3,4,6,8,10,12 \}^{c} \\ & & = S - \left( P \cup Q \right) \\ & & = \{ 5,7,9,11 \} \end{array} \end{aligned}$

(Jawaban B)


Nomor 6
Dari diagram venn berikut:

Yang merupakan $\left( P \cup Q \right)^{c}$ adalah ...

  1. $\{ 4,12,13 \}$
  2. $\{ 2,3 \}$
  3. $\{ 1,6,8,10 \}$
  4. $\{ 2,3,4,5,7,9,11,12,13 \}$

PENYELESAIAN.

Diketahui: $S$ ; $P$ ; $Q$ ;
Ditanya: $\left( P \cup Q \right)^{c} = \cdots \text{?}$

Dijawab:

$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{i)..} & S & = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 \} \end{array} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{ii)..} & P & = \{ 2,3,4,12,13 \} \end{array} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{iii)..} & Q & = \{ 2,3,5,7,9,11 \} \end{array} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{iv)..} & P \cup Q & = \{ 2,3,5,7,9,11,12,13 \} \end{array} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{v)..} & \left( P \cup Q \right)^{c} & = \{ 1,6,8,10 \} \end{array} \end{aligned}$

(Jawaban C)


Nomor 7
Perhatikan gambar di bawah ini:

Yang merupakan $A \subset B$ adalah ...

  1. Gambar A
  2. Gambar B
  3. Gambar C
  4. Gambar D

PENYELESAIAN.

(Jawaban A)


Nomor 8
Banyaknya himpunan bagian dari himpunan P yang beranggotakan huruf dari kata "BUKU SAKU" adalah ...

  1. 16
  2. 32
  3. 64
  4. 128

PENYELESAIAN.

Diketahui: $X = \{ B,U,K,S,A \}$ ; $n(X) = 5$ ;
Ditanya: $HB = \cdots \text{?}$

Dijawab:

$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{i)..} & HB & = 2^{n(X)} \\ & & = 2^{5} \\ & & = 32 \end{array} \end{aligned}$

(Jawaban B)


Nomor 9
Diketahui:
$$Q = \{ x | x > 2, x \in ~ \text{faktor dari 24} \}$$
banyaknya himpunan bagian dari Q yang memiliki empat anggota himpunan adalah ...

  1. 1
  2. 6
  3. 15
  4. 20

PENYELESAIAN.

Diketahui: $Q = \{ 3,4,6,8,12,24 \}$ ; $n(Q) = 6$ ;
Ditanya: $HB ~ \text{pasangan 4} = \cdots \text{?}$

Dijawab:

(Jawaban C)


Nomor 10
Hasil pendataan 30 balita di suatu puskesmas: terdapat 6 balita pernah diberi vaksin imunisasi penyakit campak dan polio, 3 balita belum pernah diberi vaksin imunisasi kedua penyakit tersebut. Banyak balita yang diberi vaksin campak 2 kali lipat dari vaksin polio. Banyak balita yang diberi vaksin campak adalah ...

  1. 11
  2. 15
  3. 16
  4. 22

PENYELESAIAN.

Diketahui:
Misalkan:

  • A = campak
  • B = polio
  • S = himpunan semesta yang dibicarakan (seluruh balita di puskesmas)
Maka diketahui:
  1. $n(S) = 30$
  2. $n \left( A \cap B \right) = 6$
  3. $n \left( A \cup B \right)^{c} = 3$
  4. $n(A) = 2 \cdot n(B)$

Ditanya: $n(A) = \cdots \text{?}$

Dijawab:

$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{i)..} & n \left( A \cup B \right) & = n(S) - n \left( A \cup B \right)^{c} \\ & & = 30 - 3 \\ & n \left( A \cup B \right) & = 27 \quad \cdots \text{(1)} \end{array} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{ii)..} & n \left( A \cup B \right) & = n(A) + n(B) - n \left( A \cap B \right) \\ & 27 & = 2 \cdot n(B) + n(B) - 6 \\ & 27 + 6 & = 3 \cdot n(B) \\ & 33 & = 3 \cdot n(B) \\ & n(B) & = \dfrac{33}{3} \\ & n(B) & = 11 \quad \cdots \text{(2)} \end{array} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \begin{array}{lcl} \text{iii)..} & n(A) & = 2 \cdot n(B) \\ & & = 2 \cdot 11 \\ & n(A) & = 22 \end{array} \end{aligned}$

(Jawaban D)



Referensi:

Indonesia, Forum Tentor. 2019. King Pocket Matematika SMP. Yogyakarta: Forum Edukasi.

Related Posts
Terbaru Lebih lama
Wisnu Bara Oktafia
Jangan sesali waktu. Terus berkarya, dan bekerjalah yang membuat kita berharga.

Related Posts

Posting Komentar