NkuCQmWxWJeSXeuAqt7LBjq580vp0ecgQCp0WTk2

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel | Materi, Soal dan Pembahasan | Matematika SMP VII

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel | Matematika SMP VII


Kumatho.com – Sebelum masuk ke materi, izinkan Bang Bara memberikan pengantar sedikit ya, sob. Jadi begini, dalam kehidupan sehari-hari, kita sering bertemu dengan persoalan terkait kalimat. Ada kalimat yang sudah langsung yang sudah langsung dapat ditentukan kebenarannya, dan ada yang belum.

Mungkin kamu bertanya: "Apa kaitan kalimat dengan persamaan atau pertidaksamaan?" Sangat terkait. Begini sobat, dalam materi ini secara umum kita akan menyingkap fakta bahwa persamaan atau pertidaksamaan merupakan kalimat (katakanlah bahasa matematika) yang digunakan bertujuan mencari nilai kebenaran yang mungkin. Bisa dalam bentuk kalimat setara (persamaan) atau tidak setara (pertidaksamaan).

Apa yang Perlu Kamu Ketahui?

  • definisi: kalimat terbuka/tertutup, linear, persamaan/pertidaksamaan, variabel
  • penyelesaian masalah: persamaan/pertidaksamaan linear satu variabel

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel di sini bertujuan untuk modal awal kita dalam naik ke tingkat selanjutnya sistem persamaan atau pertidaksamaan linear multivariabel (lebih dari satu variabel).

Tak lupa, kami tekankan untuk sobat-sobat pembelajar matematika bahwasanya kemauan lebih utama daripada ketepatan sehingga belajarlah dari kesalahan dan terus maju, bukannya memaksa untuk selalu benar dalam setiap pembelajaran kamu, ya!

Berikut materi kami sajikan.



Kalimat


Perhatikan kalimat berikut.

  1. Sragen merupakan salah satu kabupaten di provinsi Jawa Tengah.
  2. $x + 2 = 8$
  3. $4 - 3 = 15$

Kita amati kalimat di atas:

  • (1): kalimat tertutup atau pernyataan (bernilai benar; kebenaran dapat langsung ditentukan)
  • (2): kalimat terbuka (terdapat variabel; nilai kebenaran belum pasti)
  • (3): kalimat tertutup (bernilai salah; kebenaran dapat langsung ditentukan)

Dari analisis di atas kita mampu memahami dan dapat mendefinisikan sendiri, apa itu kalimat terbuka dan kalimat tertutup.

Kalimat Tertutup adalah kalimat yang nilai kebenarannya (benar atau salah) dapat dikonfirmasi langsung atau secara pasti.

Kalimat Terbuka adalah kalimat yang nilai kebenarannya belum dapat dikonfirmasi, sifatnya belum pasti dan terdapat kemungkinan.

Perhatikan kalimat di bawah ini:

  1. Semarang adalah ibukota provinsi Jawa Tengah.
  2. Susilo Bambang Yudhoyono menjadi presiden RI pada tahun 2003-2013.
  3. Hari ini hujan deras.
  4. Dua ditambah suatu bilangan menghasilkan delapan.
  5. Susi adalah siswi di sekolah itu.

PENYELESAIAN.

(1): kalimat tertutup (bernilai benar)
(2): kalimat tertutup (bernilai salah; karena SBY menjabat pada 2004-2014)
(3): kalimat tertutup-faktual (bernilai benar/salah secara pasti, asalkan diselidiki lanjut)
(4): kalimat terbuka (terdapat variabel: 'suatu bilangan')
(5): kalimat tertutup-faktual (bernilai benar/salah secara pasti, asalkan diselidiki lanjut).



Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)


Sebelum melangkah lebih lanjut, mari kita pahami makna kata pembentuk dari PLSV:

  • persamaan: hubungan kesetaraan (disimbolkan '$=$')
  • linear: terletak pada garis lurus (sistem garis bilangan)
  • variabel: variasi nilai yang memenuhi kemungkinan

Dari hal di atas, kita boleh mendefinisikan PLSV sebagai berikut:

PLSV adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan setara (antara ruas kanan dan kiri) dengan satu variabel.

Perhatikan beberapa contoh persamaan linear berikut:

  1. $x + 3 = 7$
  2. $3x + 5 = 11$
  3. $2x + 3y = 7$
  4. $x^{2} - 2x + 3 = 0$

Dari contoh di atas, apakah semua termasuk PLSV? Jika kalian menjawab "Tidak semua,", itu berarti kalian mulai memahami pengertian PLSV. Jadi, persamaan (1) dan (3) merupakan PLSV, kemudian persamaan (2) dan (4) bukan PLSV (merupakan persamaan linear dua variabel).

2.1 Penyelesaian PLSV

A: Substitusi

Substitusi berarti 'mengganti' variabel dengan nilai yang memenuhi.

$x + 2 = 4$

substitusi
$\begin{aligned} & x = 0 & \to 0 + 2 = 4 \quad & \text{(tidak memenuhi)} \\ & x = 1 & \to 1 + 2 = 4 \quad & \text{(tidak memenuhi)} \\ & x = 2 & \to 2 + 2 = 4 \quad & \text{(memenuhi)} \end{aligned}$

Catatan: cara ini terkadang kurang praktis! Mari kita lihat cara lain juga.

B: Operasi Antar-Ruas

Cara operasi antar-ruas ini cenderung lebih baik dan lebih praktis, dengan memperhatikan prinsip berikut ini.

(1)... Jika ruas kiri dioperasikan ($+ , - , \times , : $) suatu bilangan $a$, maka ruas kanan juga dioperasikan (jenis operasi yang sama dengan ruas kiri) suatu bilangan $a$.

$\begin{aligned} x + 2 & = 4 \\ x + 2 \color{red}{- 2} & = 4 \color{red}{- 2} \\ x & = 2 \end{aligned}$

(2)... Jika bilangan $a$ di ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan, maka tanda operasi yang melekat bilangan $a$ berubah lawannya ('$+$' lawannya '$-$' ; dan '$\times$' lawannya '$ : $').

$\begin{aligned} x \color{red}{+ 2} & = 4 \\ x & = 4 \color{red}{- 2} \\ x & = 2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 2y \color{red}{- 1} & = 5 \\ 2y & = 5 \color{red}{+ 1} \\ \color{blue}{2} y & = 6 \\ y & = \dfrac{6}{\color{blue}{2}} \\ y & = 3 \end{aligned}$

Jika
$ x + 6 = 4x - 6 $
maka nilai dari $x - 4$ adalah $\cdots$

PENYELESAIAN.

Diketahui: $x + 6 = 4x - 6$
Ditanya: $x - 4 = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad x + 6 & = 4x - 6 \\ 6 + 6 & = 4x - x \\ 12 & = 3x \\ \dfrac{12}{3} & = x \\ x & = 4 \end{aligned}$
$\begin{aligned} \text{ii)...} \quad x - 4 & = \color{red}{4} - 4 \\ & = 0 \end{aligned}$

Jadi, nilai $\boxed{x - 4 = 0}$.



Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)


Pertidaksaman memiliki makna: 'hubungan ke-tidaksetaraan'. Dalam konsep ini, kita akan menggunakan beberapa simbol dengan masing-masing makna yang berbeda:

  • $ > $, yaitu 'lebih dari'
  • $ < $, yaitu 'kurang dari'
  • $ \ge $, yaitu 'lebih dari atau sama dengan'
  • $ \le $, yaitu 'kurang dari atau sama dengan'

Sekarang kita coba mendefinisikan PtLSV, mungkin dengan cara seperti ini.

PtLSV adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ketaksamaan atau ketidaksetaraan dengan satu variabel.

Perhatikan! Semua kalimat di bawah ini merupakan contoh dari PtLSV.

  1. Daya angkut maksimal suatu kendaraan adalah maksimal 1 ton.
  2. $x+5 < 9$
  3. $3a - 1 \le a + 5$

3.1 Penyelesaian PtLSV

Sama halnya dengan persamaan, pertidaksamaan dapat diselesaikan dengan cara: (1) substitusi, dan (2) operasi antar-ruas. Dengan tambahan catatan khusus ini untuk pertidaksamaan:

(1)... Jika kedua ruas dikali ($\times$) atau dibagi ($:$) suatu bilangan $-a$ (negatif), maka tanda pertidaksamaan berubah berlawanan ('$ > $' lawannya '$ < $' ; dan '$ \ge $' lawannya '$ \le $').

$\begin{aligned} \dfrac{p}{-10} & \color{blue}{>} 5 \\ \dfrac{p}{\cancel{-10}} \cdot \cancel{\color{red}{(-10)}} & \color{blue}{<} 5 \cdot \color{red}{(-10)} \\ p & < -50 \end{aligned}$

(2)... Jika suatu bilangan $-a$ yang melekat operasi kali atau bagi dipindah ruas, maka tanda pertidaksamaan berubah berlawanan.

$\begin{aligned} \dfrac{p}{\color{red}{-10}} & \color{blue}{>} 5 \\ p & \color{blue}{<} 5 \cdot \color{red}{(-10)} \\ p & < -50 \end{aligned}$

Himpunan penyelesaian dari
$ 2x - 3 \ge 5x + 9 $
untuk $x$ bilangan bulat adalah$\cdots$

PENYELESAIAN.

Diketahui: $2x - 3 \ge 5x + 9$
Ditanya: $x = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad 2x - 3 & \ge 5x + 9 \\ 2x - 5x & \ge 9 + 3 \\ -3x & \ge 12 \\ x & \le \dfrac{12}{-3} \\ x & \le -4 \\ x & = \{ \cdots, -6, -5, -4 \} \end{aligned}$



Soal dan Pembahasan


Today Quote:
"Orang bodoh yang mau bekerja keras dan haus belajar akan jadi lebih sukses dari orang pintar yang malas bekerja dan merasa dirinya sudah pintar. Kosongkan gelas!"
Bob Sadino

Nomor 1 (Soal UN 2018)
Jika
$$ 2(3x - 1) + 5 = 4 (6x + 7) - 7 $$
mempunyai penyelesaian $x = n$, nilai $10n + 12$ adalah$\cdots$

  1. 32
  2. 22
  3. 2
  4. -2

PENYELESAIAN.

Diketahui: $2 (3x-1) + 5 = 4 (6x + 7) - 7$
Ditanya: $10n + 12 = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad 2 (3x-1) + 5 & = 4 (6x + 7) - 7 \\ 6x -2 + 5 & = 24x + 28 - 7 \\ 6x + 3 & = 24x + 21 \\ 6x - 24x & = 21 - 3 \\ -18x & = 18 \\ x & = -1 \end{aligned}$
$\begin{aligned} \text{ii)...} \quad 10n + 12 & = 10x + 12 \\ & = 10 \cdot (-1) + 12 \\ & = -10 + 12 \\ 10n + 12 & = 2 \end{aligned}$

(Jawaban C)


Nomor 2 (Soal UN 2018)
Jika
$$ 5(x-6) = 2 (x-3) $$
maka nilai dari $x + 3$ adalah$\cdots$

  1. 19
  2. 11
  3. 7
  4. -9

PENYELESAIAN.

Diketahui: $5(x-6) = 2 (x-3)$
Ditanya: $x + 3 = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad 5 (x-6) & = 2 (x-3) \\ 5x - 30 & = 2x - 6 \\ 5x - 2x & = -6 + 30 \\ 3x & = 24 \\ x & = 8 \end{aligned}$
$\begin{aligned} \text{ii)...} \quad x + 3 & = \color{red}{8} + 3 \\ & = 11 \end{aligned}$

(Jawaban B)


Nomor 3 (Soal UN 2017)
Jika $k$ merupakan penyelesaian dari $$ 5 (7x - 4) = -3 (-9x + 12) + 8 $$
maka nilai $k-7$ adalah$\cdots$

  1. -8
  2. -6
  3. -5
  4. -2

PENYELESAIAN.

Diketahui: $5 (7x - 4) = -3 (-9x + 12) + 8$
Ditanya: $k - 7 = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad 5 (7x - 4) & = -3 (-9x + 12) + 8 \\ 35x - 20 & = 27x - 28 \\ 35x - 27x & = -28 + 20 \\ 8x & = -8 \\ x & = -1 \end{aligned}$
$\begin{aligned} \text{ii)...} \quad k - 7 & = x - 7 \\ & = \color{red}{-1} - 7 \\ k - 7 & = -8 \end{aligned}$

(Jawaban A)


Nomor 4 (Soal UN 2015)
Suatu persegi panjang, panjangnya 5 cm lebih dari lebarnya. Jika keliling persegi panjang 38 cm dan lebarnya $x$ cm, maka model matematikanya adalah$\cdots$

  1. $5 + x = 38$
  2. $2 (2x + 5) = 38$
  3. $2 (x + 5) = 38$
  4. $5 + 2x = 38$

PENYELESAIAN.

Diketahui: $p = 5 + x$ cm; $l = x$ cm; $K = 38$ cm
Ditanya: $\text{model matematika (persamaan)} = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad K & = 2 (p + l) \\ 38 & = 2 \left( (5+x)+x \right) \\ 38 & = 2 (5 + 2x) \\ 2 (2x + 5) & = 38 \end{aligned}$

(Jawaban B)


Nomor 5
Himpunan penyelesaian dari
$3 (2x - 5) \le 2 (x + 3) - 1$
untuk $x$ bilangan bulat adalah$\cdots$

  1. $\{ -5, -4, -3, \cdots \}$
  2. $\{ \cdots , -7 , -6 , -5 \}$
  3. $\{ 5, 6, 7, \cdots \}$
  4. $\{ \cdots , 3 , 4 , 5 \}$

PENYELESAIAN.

Diketahui: $3 (2x - 5) \le 2 (x + 3) - 1$
Ditanya: $x = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad 3 (2x - 5) & \le 2 (x + 3) - 1 \\ 6x - 15 & \le 2x + 6 - 1 \\ 6x - 2x & \le 5 + 15 \\ 4x & \le 20 \\ x & \le 5 \\ x & = \{ \cdots , -7 , -6 , -5 \} \end{aligned}$

(Jawaban D)


Nomor 6 (Soal UN 2012)
Himpunan penyelesaian dari
$-7p + 8 < 3p - 22$
untuk $p$ bilngan bulat adalah$\cdots$

  1. $\{ \cdots , -6 , -5 , -4 \}$
  2. $\{ \cdots , 0 , 1 , 2 \}$
  3. $\{ -2, -1, 0, \cdots \}$
  4. $\{ 4 , 5 , 6 , \cdots \}$

PENYELESAIAN.

Diketahui: $-7p + 8 < 3p - 22$
Ditanya: $p = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad -7p + 8 & < 3p - 22 \\ -7p - 3p & < -22 - 8 \\ -10p & < -30 \\ p & > \dfrac{-30}{-10} \\ p & > 3 \\ p & = \{ 4 , 5 , 6 , \cdots \} \end{aligned}$

(Jawaban D)


Nomor 7 (Soal UN 2013)
Himpunan penyelesaian dari
$6x - 8 < 22 - 9x$
dengan $x$ biangan real adalah$\cdots$

  1. $\{ x | x > 2 , x \text{bil. real} \}$
  2. $\{ x | x > -2 , x \text{bil. real} \}$
  3. $\{ x | x < 2 , x \text{bil. real} \}$
  4. $\{ x | x < -2 , x \text{bil. real} \}$

PENYELESAIAN.

Diketahui: $6x - 8 < 22 - 9x$
Ditanya: $x = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad 6x - 8 & < 22 - 9x \\ 6x + 9x & < 22 + 8 \\ 15x & < 30 \\ x & < \dfrac{30}{15} \\ x & < 2 \end{aligned}$

Jadi, HP adalah $\boxed{x = \{ x | x < 2 , x \text{bil. real} \}}$.

(Jawaban C)


Nomor 8
Himpunan penyelesaian dari
$\dfrac{3 - 5x}{-4} > -2$
adalah$\cdots$

  1. $x < -1$
  2. $x > -1$
  3. $x < 1$
  4. $x > 1$

PENYELESAIAN.

Diketahui: $\dfrac{3 - 5x}{-4} > -2$
Ditanya: $x = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad \dfrac{3 - 5x}{-4} & > -2 \\ 3 - 5x & < -2 \cdot (-4) \\ 3 - 5x & < 8 \\ -5x & < 8 - 3 \\ -5x & < 5 \\ x & > \dfrac{5}{-5} \\ x & > -1 \end{aligned}$

(Jawaban B)


Nomor 9
Usia ayah saat ini adalah 6 tahun lebih tua dari dua kali usia kakak. Jika jumlah usia mereka dua tahun yang lalu adalah 58 tahun. Maka, usia kaka saat ini adalah$\cdots$

  1. 18
  2. 20
  3. 14
  4. 15

PENYELESAIAN.

Diketahui: $a = \text{ayah} , b = \text{kakak}$; $a = 6 + 2b$; $(a+b)-2 = 58$
Ditanya: $b = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad a = 6 + 2b ~ ~ \text{..(1)} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \text{ii)...} \quad (a+b) - 2 & = 58 \\ a+b & = 60 \\ a & = 60 - b ~ ~ \text{..(2)} \end{aligned}$
substitusi persamaan (2) ke pers. (1)
$\begin{aligned} \text{iii)...} \quad \color{red}{a} & = 6 + 2b \\ \color{red}{60 - b} & = 6 + 2b \\ 60 - 6 & = 2b + b \\ 54 & = 3b \\ b & = \dfrac{54}{3} \\ b & = 18 \end{aligned}$

(Jawaban A)


Nomor 10
Tiga bilangan genap berurutan berjumlah 180. Jumlah bilangan genap terkecil dan terbesar adalah$\cdots$

  1. 120
  2. 122
  3. 124
  4. 126

PENYELESAIAN.

Diketahui: $x + (x+1) + (x+2) = 180$
Ditanya: $x + (x+2) = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad x + (x+1) + (x+2) & = 180 \\ 3x + 3 & = 180 \\ 3x & = 177 \\ x & = \dfrac{177}{3} \\ x & = 59 \end{aligned}$
$\begin{aligned} \text{ii)...} \quad x + (x+2) & = 2x + 2 \\ & = 2 \cdot (59) + 2 \\ & = 118 + 2 \\ x + (x+2) & = 120 \end{aligned}$

(Jawaban A)





Referensi:

Indonesia, Forum Tentor. 2019. King Pocket Matematika SMP. Yogyakarta: Forum Edukasi.

Related Posts
Terbaru Lebih lama
Kumatho.com
"Sebuah misi penyebaran ajaran matematika dalam jaringan."

Related Posts

Posting Komentar