NkuCQmWxWJeSXeuAqt7LBjq580vp0ecgQCp0WTk2

Pola, Barisan, dan Deret Bilangan | Materi, Soal dan Pembahasan | Matematika SMP/VIII

Pola, Barisan, dan Deret Bilangan | Matematika SMP VIII


Kumatho.com – Sebagai pengantar dalam kajian barisan dan deret bilangan, kita akan berkenalan terlebih dahulu dengan pola bilangan. Di tahap selanjutnya, dalam posting-an ini juga, kamu bertemu dengan barisan dan deret yang dikhususkan untuk aritmetika dan geometri.

Ngomong-ngomong terkait pola, barisan, dan deret bilangan. Kita bisa melihat ke-tidakteratur-an atau tak berpola dan keteraturan atau berpola, pada bilangan. Para ilmuwan matematika telah berhasil mengelompokkan dan merumuskan hal tersebut dalam beberapa pola bilangan yang bisa kita pelajari di tingkat sekolah menengah pertama.

Apa yang Perlu Kamu Ketahui?

  • definisi: pola, barisan, dan deret bilangan
  • perbedaan: pola, barisan, dan deret bilangan
  • jenis dan rumus: pola, barisan, dan deret bilangan

Terlepas dari motivasi apa pun, mari kita ingatkan untuk suatu ke-bermanfaat-an ilmu ini. Pola bilangan di sini bertujuan untuk modal awal kita, dengan memahami beberapa pola-pola bilangan berikut kalian diasumsikan bisa lebih memiliki wawasan dalam mempelajari barisan dan deret. Begitulah alurnya.

Tak lupa, kami tekankan keutamaan untuk belajar dari kesalahan, bukan memaksa untuk selalu bisa benar, dalam setiap pembelajaran kamu ya!

Berikut materi kami sajikan.



Pola Bilangan


Bukalah mata dengan serius sejenak, lihat susunan bilangan-bilangan di bawah ini:
$1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21, \cdots$
$2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22, \cdots$
Coba kita amati dan pikirkan. Ada sesuatu yang konsisten, ada sebuah bentuk, ada sebuah pola yang terus-menerus, sehingga kita bisa menebak angka-angka selanjutnya, bukan?

Jadi, kita definisikan pengertian pola bilangan ini sebagai:

Pola bilangan adalah susunan angka yang membentuk pola tertentu (secara konsisten dan terus-menerus).

Jenis Pola Bilangan

Secara umum, kita akan mempelajari setidaknya 9 bentuk pola bilangan:

  1. Ganjil
  2. Genap
  3. Aritmetika
  4. Geometri
  5. Persegi
  6. Persegi Panjang
  7. Segitiga
  8. Fibonacci
  9. Pascal

2.1 Ganjil

$U_n = 2n-1$

Salah satu yang kita lihat di atas, dengan pola:
$1,3,5,7,\cdots$


2.2 Genap

$U_n = 2n$

Pola bilangan genap merupakan pola kelipatan dua.
$2,4,6,8,\cdots$


2.3 Aritmetika

$U_n = a+(n-1)b$

Pola bilangan aritmetika merupakan pola susunan di mana bilangan awal berubah teratur secara aritmetik (dengan beda; perhitungan satu dimensi; operasi tambah atau kurang).
$7,12,17,22,27,\cdots$

2.4 Geometri


$U_n = a \cdot r^{n-1}$

Pola bilangan geometri merupakan pola susunan di mana bilangan awal berubah teratur secara geometri (dengan rasio; perhitungan lebih dari satu dimensi; operasi kali atau bagi).
$6, 12, 24, 48,\cdots$


2.5 Persegi

Pola bilangan yang ditata dengan aturan pembentuk persegi, dan dirumuskan:

$U_n = n^{2}$

2.6 Persegi Panjang

Dirumuskan:

$U_n = n(n+1)$

2.7 Segitiga

Dirumuskan:

$U_n = \dfrac{1}{2}n(n+1)$

2.8 Fibonacci

Fibonacci adalah barisan bilangan yang berawal 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Apabila dirumuskan:

$\begin{aligned} U_n= \begin{cases} 0, && \text{jika}~n=1 \\ 1, && \text{jika}~n=2 \\ U(n-1)+U(n-2), && \text{jika}~n \neq \{ 1,2 \} \end{cases} \end{aligned}$

Maka, barisan bilangan Fibonacci sebagai berikut.
$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\cdots$


2.9 Segitiga Pascal

$U_n=2^{n-1}$

Terakhir, ada yang namanya pola bilangan Pascal. Mungkin banyak di antara kamu gak asing dengan nama Pascal. Yap, ditemukan oleh Blaise Pascal, seorang ilmuwan asal Prancis. Kita mengenalnya sebagai Segitiga Pascal. Lalu, apa hubungannya dengan pola bilangan? Segitiga Pascal merupakan suatu pola bilangan. Kamu bisa melihatnya dari berbagai peraturan atau ketentuannya di sini:

  • Baris paling atas ditulis satu kotak saja, yaitu 1.
  • Setiap baris dalam segitiga pascal selalu diawali dan akan diakhiri oleh angka 1.
  • Jumlah kotak selanjutnya dalam segitiga pascal ini ditulis di baris ke-2 sampai ke-n adalah hasil penjumlahan dua bilangan diagonal di atasnya.
  • Setiap baris akan membentuk simetris.
  • Banyak bilangan di setiap barisnya memiliki kelipatan dua dari jumlah angka baris sebelumnya.

Sangat unik, bukan? Supaya lebih terbayang, kamu bisa lihat gambar berikut.



Barisan Bilangan


Barisan adalah salah satu penyajian pola bilangan dengan bentuk urutan suku berbaris, yang disimbolkan dengan: $U_n$. Berikut bentuk umum barisan.

$U_{1},U_{2},U_{3},U_{4},U_{5},U_{6},\cdots , U_{n}$

3.1 Barisan Aritmetika

imgbox

Seperti yang telah disinggung pada jenis pola bilangan, dalam pola aritmetika terdapat ciri: selisih tambah atau kurang yang tetap antarsuku (disebut juga: beda; simbol "$b$"). Beberapa rumus yang digunakan:

$\begin{aligned} \text{(1)...} \quad & \boxed{U_{n}=a+(n-1)b} \\ \text{(2)...} \quad & \boxed{U_{t}=\dfrac{1}{2}(a+c)} \\ \text{(3)...} \quad & \boxed{b = U_{n} - U_{n-1}} \\ \text{(4)...} \quad & \boxed{b = \dfrac{U_{p} - U_{q}}{p-q}} \end{aligned}$
Keterangan:
  • $U_n$ = suku ke-$n$
  • $U_t$ = suku tengah dalam barisan
  • $a$ = suku awal atau $U_{1}$
  • $b$ = beda atau selisih antarsuku
  • $c$ = suku terakhir dalam barisan
  • $p,q$ = sembarang suku bilangan

Perhatikan bilangan di bawah ini:

$3, 7, 11, 15, 19, \cdots$

Tentukanlah suku ke-11 dari urutan bilangan di atas!

PENYELESAIAN.

Diketahui:$a=U_{1}=3$
Ditanya: $U_{11}=\cdots \text{?}$
Dijawab:

$\begin{aligned} \text{i)...} \quad b & = U_{n}-U_{n-1} \\ & = U_{2}-U_{1} \\ & = 7-3 \\ b & = 4 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{ii)...} \quad U_{n} & =a+(n-1)b \\ U_{11} & = 3+(11-1)4 \\ U_{11} & = 43 \end{aligned}$

Perhatikan bilangan di bawah ini:

$19, x, 15, y, 11, \cdots$

Tentukanlah nilai $x~\text{dan}~y$ dari urutan bilangan di atas!

PENYELESAIAN.

Diketahui: $a=U_{1}=19$
Ditanya: $x=\cdots \text{?}$, $y=\cdots \text{?}$

Dijawab:

$\begin{aligned} \text{i)...} \quad b & = \dfrac{U_{p}-U_{q}}{p-q} \\ & = \dfrac{U_{3}-U_{1}}{3-1} \\ & = \dfrac{15-19}{3-1} \\ & = \dfrac{-4}{2} \\ b & = -2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{ii)...} \quad x & = U_{2} \\ x & = 19+(2-1)(-2) \\ x & = 17 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{iii)...} \quad y & = U_{4} \\ y & = 19+(4-1)(-2) \\ y & = 13 \end{aligned}$

Jadi, nilai $x~\text{dan}~y$ adalah 17 dan 13.


Dalam barisan aritmetika kita bisa temukan fakta: barisan aritmetika akan naik apabila $b > 0$, dan barisan aritmetika akan turun apabila $b < 0$.

3.2 Barisan Geometri

imgbox

Dalam pola geometri, terdapat ciri: adanya rasio yang mengalikan antarsuku. Di bawah ini rumus-rumus yang berlaku dalam barisan geometri:

$\begin{aligned} \text{(1)...} \quad & \boxed{U_{n} = a \cdot r^{n-1}} \\ \text{(2)...} \quad & \boxed{r=\dfrac{U_{n}}{U_{n-1}}} \end{aligned}$

Keterangan:

  • $U_{n}$ = suku ke-$n$
  • $a$ = suku awal atau $U_{1}$
  • $r$ = rasio atau perbandingan antarsuku terdekat

Perhatikan bilangan di bawah ini:

$4, 16, 64, 256, \cdots$

Tentukanlah rumus nilai $U_{n}$ dari barisan bilangan di atas!

PENYELESAIAN.

Diketahui: $a=U_{1}=4$
Ditanya: $U_{n} = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad r & = \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\ & = \dfrac{U_{2}}{U_{1}} \\ & = \dfrac{16}{4} \\ r & = 4 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{ii)...} \quad U_{n} & = a \cdot r^{n-1} \\ & = 4 \cdot 4^{n-1} \\ & = \cancel{4} \cdot \dfrac{4^{n}}{\cancel{4}} \\ U_{n} & = 4^{n} \end{aligned}$

Dalam suatu barisan, diketahui, terdapat $U_{4} = 135$ dan suku awal adalah $5$. Berapakah nilai rasio dari barisan tersebut$ \cdots $

PENYELESAIAN.

Diketahui: $a=U_{1}=5$ ; $U_{4} = 135$
Ditanya: $r = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad \dfrac{U_{4}}{U_{1}} & = \dfrac{\cancel{a} \cdot r^{3}}{\cancel{a}} \\ \dfrac{135}{5} & = r^{3} \\ \sqrt[3]{27} & = r \\ r & = 3 \end{aligned}$

3.3 Barisan Aritmetika Bertingkat

imgbox

Barisan aritmetika bertingkat membahas lebih jauh dalam tingkatan lebih lanjut, bagaiman kita mencari urutan bilangan atau penyelesaian lain bila menemukan suatu barisan aritmetika dengan selisih tetap di tingkat lebih dari satu (tingkat dua, tingkat tiga, dan seterusnya).

Kita telah mengetahui jika $U_{n} = a+(n-1)b$ (rumus barisan aritmetika) hanya berlaku di tingkat satu: ketika selisih tetap ditemukan di tingkat satu. Lalu bagaimana jika selisih belum tetap di tingkat satu atau kemungkinan penyelesaian di tingkat lebih dari satu?

Untuk menjawab pertanyaan di atas, di sinilah barisan aritmetika bertingkat akan dibahas. Sebelum menginjak pada rumus penyelesaiannya, mari kita perhatikan cara mengenali di tingkat berapa barisan aritmetika bertingkat.

Cara Mengetahui Tingkat Barisan Aritmetika

  1. Carilah selisih antarsuku secara manual, dan lihat apakah selisih telah tetap atau masih berubah di tingkat pertama percobaan.
  2. Jika selisih telah tetap di percobaan pertama (tingkat satu), maka bisa gunakan rumus barisan aritmetika biasa.
  3. Jika selisih masih berubah di tingkat satu, lanjut di bawahnya, carilah selisih antarsuku di tingkat setelahnya. Kuncinya adalah selisih tetap di tingkat berapa, dan itulah indikator tingkatan barisan aritmetika bertingkat.

Setelah kita mengenali langkah awal mengenali persoalan dengan cara di atas, kita bisa gunakan beberapa rumus yang berlaku dalam barisan aritmetika bertingkat (yang dimulai dari tingkat dua, tiga, dan seterusnya).

$\begin{aligned} \text{(1)...} \quad & \boxed{U_{n} = a + (n-1) \cdot a_{1} + \dfrac{(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2} \cdot a_{2}} \\ \text{(2)...} \quad & \boxed{U_{n} = a + (n-1) \cdot a_{1} + \dfrac{(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2} \cdot a_{2} + \dfrac{(n-1)(n-2)(n-3)}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot a_{3}} \\ \text{(3)...} \quad & \boxed{U_{n} = a + (n-1) \cdot a_{1} + \dfrac{(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2} \cdot a_{2} + \cdots + \dfrac{(n-1)(n-2) \cdots}{1 \cdot 2 \cdot \cdots} \cdot a_{r}} \end{aligned}$

Keterangan:

  • (1) = rumus $U_{n}$ tingkat 2
  • (2) = rumus $U_{n}$ tingkat 3
  • (3) = rumus $U_{n}$ tingkat $r$ (tingkat $1, 2, \cdots, r$)
  • $a$ = suku awal barisan utama
  • $a_{1}$ = selisih awal di tingkat 1
  • $a_{2}$ = selisih awal di tingkat 2
  • $a_{3}$ = selisih awal di tingkat 3
  • $a_{r}$ = selisih awal di tingkat $r$

Perhatikan bilangan di bawah ini:

$8, 11, 16, 23, 32, \cdots$

Tentukanlah nilai $U_{20}$ dari barisan bilangan di atas!

PENYELESAIAN.

image host

Diketahui: barisan aritmetika tingkat 2 ; $a=8$ ; $a_{1} = 3$ ; $a_{2} = 2$
Ditanya: $U_{20} = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad U_{n} & = a + (n-1) \cdot a_{1} + \dfrac{(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2} \cdot a_{2} \\ U_{20} & = 8 + (20-1) \cdot 3 + \dfrac{(20-1)(20-2)}{1 \cdot 2} \cdot 2 \\ & = 8 + (19)\cdot 3 + \dfrac{(19)(18)}{\cancel{2}} \cdot \cancel{2} \\ & = 8 + 57 + 342 \\ U_{20} & = 407 \end{aligned}$

Perhatikan bilangan di bawah ini:

$7, 8, 14, 29, 57, \cdots$

Tentukanlah nilai $U_{6}$ dari barisan bilangan di atas!

PENYELESAIAN.

Diketahui: barisan aritmetika tingkat 3 ; $a=7$ ; $a_{1} = 1$ ; $a_{2} = 5$ ; $a_{3} = 4$
Ditanya: $U_{6} = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad U_{n} & = a + (n-1) \cdot a_{1} + \dfrac{(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2} \cdot a_{2} + \dfrac{(n-1)(n-2)(n-3)}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot a_{3} \\ U_{6} & = 7 + (6-1) \cdot 1 + \dfrac{(6-1)(6-2)}{1 \cdot 2} \cdot 5 + \dfrac{(6-1)(6-2)(6-3)}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot 4 \\ & = 7 + 5(1) + \dfrac{(5)\cancelto{2}{(4)}}{\cancel{2}} \cdot 5 + \dfrac{(5)(4) \cancel{(3)}}{\cancelto{\cancel{2}}{6}} \cdot \cancelto{2}{4} \\ & = 7 + 5 + 50 + 40 \\ U_{6} & = 102 \end{aligned}$



Deret Bilangan


Salah satu hal mendasar tentang deret adalah kita bisa menemukan jumlah suku-suku yang terdapat dalam suatu barisan. Oleh karena itu, bukankah kita punya definisi jelas tentang deret?

Deret adalah penjumlah suku dalam suatu barisan, yang disimbolkan dengan: $S_{n}$. Kita bisa melihat bentuk umumnya di bawah ini:

$U_{1} + U_{2} + U_{3} + \cdots + U_{n} = S_{n}$

4.1 Deret Aritmetika

Deret aritmetika merupakan penjumlahan suku-suku dalam suatu barisan aritmetika. Masih ingat ciri barisan aritmetika, 'kan?

$\begin{aligned} \text{(1)...} \quad & \boxed{S_{n} = \dfrac{n}{2} \left( a + U_{n} \right)} \\ \text{(2)...} \quad & \boxed{S_{n} = \dfrac{n}{2} \left( 2a + (n-1)b \right)} \\ \text{(3)...} \quad & \boxed{b = U_{n} - U_{n-1}} \\ \text{(4)...} \quad & \boxed{b = \dfrac{U_{p} - U_{q}}{p-q}} \end{aligned}$

Keterangan:

  • $S_{n}$ = jumlah suku ke-$n$ atau deret
  • $a$ = suku awal atau $U_{1}$
  • $b$ = beda atau selisih antarsuku
  • $p,q$ = sembarang suku dalam barisan

Perhatikan bilangan di bawah ini:

$3, 7, 11, 15, 19, \cdots$

Tentukanlah jumlah suku ke-11 dari barisan bilangan di atas!

PENYELESAIAN.

Diketahui: $a = U_{1} = 3$
Ditanya: $S_{11} = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad b & = U_{n} - U_{n-1} \\ & = U_{2} - U_{1} \\ & = 7-3 \\ b & = 4 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{ii)...} \quad S_{n} & = \dfrac{n}{2} \left( 2a + (n-1)b \right) \\ S_{11} & = \dfrac{11}{2} \left( 2(3) + (11-1)4 \right) \\ & = \dfrac{11}{\cancel{2}} \cancelto{23}{(46)} \\ S_{11} & = 253 \end{aligned}$

4.2 Deret Geometri

Deret geometri merupakan penjumlahan suku-suku dalam suatu barisan geometri, yang berciri terdapat rasio antarsuku. Berikut rumus yang berlaku:

$\begin{aligned} \text{(1)...} \quad & \boxed{S_{n} = \dfrac{a (r^{n}-1)}{r-1}} \quad \text{, untuk}~r > 1 \\ \text{(2)...} \quad & \boxed{S_{n} = \dfrac{a (1-r^{n})}{1-r}} \quad \text{, untuk}~r < 1 \\ \text{(3)...} \quad & \boxed{r = \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}}} \end{aligned}$

Keterangan:

  • $S_{n}$ = jumlah suku ke-$n$ atau deret
  • $a$ = suku awal atau $U_{1}$
  • $r$ = rasio atau perbandingan antarsuku
  • $U_{n}$ = suku ke-$n$

Perhatikan bilangan di bawah ini:

$243, 81, 27, 9, \cdots$

Tentukanlah jumlah suku ke-4 dari barisan bilangan di atas!

PENYELESAIAN.

Diketahui: $a = U_{1} = 243$
Ditanya: $S_{4} = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad r & = \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\ & = \dfrac{U_{2}}{U_{1}} \\ & = \dfrac{81}{243} \\ r & = \dfrac{1}{3} \quad \text{kita ketahui}~r < 1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{ii)...} \quad S_{n} & = \dfrac{a(1-r^{n})}{1-r} \\ S_{4} & = \dfrac{243 \left( 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{4} \right)}{1-\frac{1}{3}} \\ & = \dfrac{243 - \cancelto{3}{243} \cdot \left( \frac{1}{\cancel{81}} \right)}{\frac{2}{3}} \\ & = \dfrac{240}{\frac{2}{3}} \\ & = \cancelto{120}{240} \cdot \dfrac{3}{\cancel{2}} \\ S_{4} & = 360 \end{aligned}$

4.3 Deret Aritmetika Bertingkat

Deret aritmetika bertingkat merupakan penjumlahan suku-suku dalam barisan aritmetika bertingkat. Berikut rumus-rumus yang bisa digunakan:

$\begin{aligned} \text{(1)...} \quad & \boxed{S_{n} = n \cdot a + \dfrac{n(n-1)}{1 \cdot 2} \cdot a_{1} + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot a_{2}} \\ \text{(2)...} \quad & \boxed{S_{n} = n \cdot a + \dfrac{n(n-1)}{1 \cdot 2} \cdot a_{1} + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot a_{2} + \dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \cdot a_{3}} \\ \text{(3)...} \quad & \boxed{S_{n} = n \cdot a + \dfrac{n(n-1)}{1 \cdot 2} \cdot a_{1} + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot a_{2} + \cdots + \dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots} \cdot a_{r}} \end{aligned}$

Keterangan:

  • (1) = rumus deret tingkat 2
  • (2) = rumus deret tingkat 3
  • (3) = rumus deret tingkat $r$ ($1,2,\cdots,r$)
  • $S_{n}$ = jumlah suku ke-$n$ atau deret
  • $a$ = suku awal barisan
  • $a_{1}$ = selisih awal di tingkat 1
  • $a_{2}$ = selisih awal di tingkat 2
  • $a_{3}$ = selisih awal di tingkat 3
  • $a_{r}$ = selisih awal di tingkat $r$ ($1,2,\cdots,r$)

Perhatikan bilangan di bawah ini:

$8, 11, 16, 23, 32, \cdots$

Tentukanlah jumlah suku ke-20 dari barisan bilangan di atas!

PENYELESAIAN.

image host

Diketahui: barisan aritmetika tingkat 2 ; $a = 8$ ; $a_{1} = 3$ ; $a_{2} = 2$
Ditanya: $S_{20} = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad S_{n} & = n \cdot a + \dfrac{n(n-1)}{1 \cdot 2} \cdot a_{1} + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot a_{2} \\ S_{20} & = 20 \cdot 8 + \dfrac{\cancelto{10}{20}(19)}{\cancel{2}} \cdot 3 + \dfrac{20 \cdot (19) \cdot \cancelto{3}{(18)}}{\cancel{6}} \cdot 2 \\ & = 160 + 570 + 2280 \\ S_{20} & = 3010 \end{aligned}$

4.4 Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga didefinisikan sebagai penjumlahan suku-suku pada barisan geometri tak hingga, yaitu di mana kita menghitung semua suku-suku dalam barisan yang tanpa henti ($U_{1}, U_{2}, \cdots$), dengan simbol rumusnya: $S_{\infty}$.

Perhatikan dua jenis deret geometri di bawah ini:

$\begin{aligned} & \text{(1)...} \quad 8 + 16 + 32 + \cdots = \infty ~ \text{(Tak Terhingga atau Tidak Terdefinisi)} \quad \text{, dengan} ~ r > 1 \\ & \text{(2)...} \quad 9 + 3 + \dfrac{1}{3} + \cdots = S_{\infty} ~ \text{(Terdefinisi atau bisa dihitung)} \quad \text{, dengan} ~ r < 1 \end{aligned}$

Kedua barisan geometri tersebut adalah tak hingga, namun kita hanya bisa menghitung jumlah suku pada barisan geometri turun: ketika $r < 1$. Berikut rumus-rumus yang bisa digunakan:

$\begin{aligned} \text{(1)...} \quad & \boxed{S_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}} \quad \text{, untuk} ~ r < 1 \\ \text{(2)...} \quad & \boxed{r = \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}}} \end{aligned}$

Keterangan:

  • $S_{n}$ = jumlah suku ke-$n$ atau deret
  • $a$ = suku awal atau $U_{1}$
  • $r$ = rasio atau perbandingan antarsuku
  • $U_{n}$ = suku ke-$n$

Perhatikan bilangan di bawah ini:

$5, 2 \frac{1}{2}, 1 \frac{1}{4}, \cdots$

Tentukanlah jumlah suku-suku dari deret geometri di atas!

PENYELESAIAN.

Diketahui: $a = U_{1} = 5$
Ditanya: $S_{\infty} = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad r & = \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\ & = \dfrac{U_{2}}{U_{1}} \\ & = \dfrac{2 \frac{1}{2}}{5} \\ & = \dfrac{\frac{5}{2}}{5} \\ & = \dfrac{\cancel{5}}{2} \cdot \dfrac{1}{\cancel{5}} \\ r & = \dfrac{1}{2} \quad \text{, kita ketahui} ~ r < 1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{ii)...} \quad S_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\ & = \dfrac{5}{1-\frac{1}{2}} \\ & = \dfrac{5}{\frac{1}{2}} \\ & = 5 \cdot 2 \\ S_{\infty} & = 10 \end{aligned}$

Jadi, $\boxed{5 + 2 \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{4} + \cdots = 10}$.



Soal dan Pembahasan


Today Quote:
"Ing ngarso sung tulodo (di depan memberi contoh), ing madyo mangun karso (di tengah membangun semangat), tut wuri handayani (di belakang memberikan dukungan)."
Ki Hajar Dewantara

Nomor 1
Banyaknya kursi pada baris pertama dalam gedung pertunjukan adalah 12 kursi. Banyaknya kursi pada baris berikutnya selalu berselisih 3 lebih banyak daripada kursi pada baris sebelumnya. Jika dalam gedung terdapat 10 baris kursi, maka jumlah kursi seluruhnya adalah$\cdots$

  1. 245 kursi
  2. 250 kursi
  3. 255 kursi
  4. 260 kursi

PENYELESAIAN.

Diketahui: $a = U_{1} = 12$; $b=3$; $n=10$
Ditanya: $S_{10} = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad S_{n} & = \dfrac{n}{2} \left( 2a + (n-1)b \right) \\ S_{10} & = \dfrac{\cancelto{5}{10}}{\cancel{2}} \left( 2(12) + (10-1)3 \right) \\ & = 5 \cdot (51) \\ S_{10} & = 255 \end{aligned}$

(Jawaban C)


Nomor 2
Tiga suku berikutnya dari barisan
$1, 5, 11, 19, \cdots$
adalah$\cdots$

  1. 29, 42, 56
  2. 29, 41, 55
  3. 29, 40, 52
  4. 29, 39, 49

PENYELESAIAN.

imgbox

Diketahui: $a = 1$; $a_{1} = 4$; $a_{2} = 2$
Ditanya: $U_{5}, U_{6}, U_{7} = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad U_{n} & = a + (n-1) \cdot a_{1} + \dfrac{(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2} \cdot a_{2} \\ & = 1 + (n-1) \cdot 4 + \dfrac{n^{2} - 3n + 2}{\cancel{2}} \cdot \cancel{2} \\ U_{n} & = n^{2} + n - 1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{ii)...} \quad U_{n} & = n^{2} + n - 1 \\ U_{5} & = 5^{2} + 5 - 1 \\ U_{5} & = 29 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{iii)...} \quad U_{n} & = n^{2} + n - 1 \\ U_{6} & = 6^{2} + 6 - 1 \\ U_{6} & = 41 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{iv)...} \quad U_{n} & = n^{2} + n - 1 \\ U_{7} & = 7^{2} + 7 - 1 \\ U_{7} & = 55 \end{aligned}$

Jadi, $\boxed{U_{5}, U_{6}, U_{7} = 29, 41, 55}$.

(Jawaban B)


Nomor 3
Diketahui barisan aritmetika dengan $U_{9} = 17$ dan $U_{5} = 5$, maka beda barisan tersebut adalah$\cdots$

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5

PENYELESAIAN.

Diketahui: bar. aritmetika; $U_{9} = 17$; $U_{5} = 5$
Ditanya: $b = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad b & = \dfrac{U_{p}-U_{q}}{p-q} \\ & = \dfrac{U_{9}-U_{5}}{9-5} \\ & = \dfrac{17-5}{9-5} \\ & = \dfrac{12}{4} \\ b & = 3 \end{aligned}$

(Jawaban B)


Nomor 4
Suku pertama dari suatu deret aritmetika adalah 11 dan suku tengahnya adalah 41. Suku terakhir dari deret tersebut adalah$\cdots$

  1. 51
  2. 61
  3. 71
  4. 81

PENYELESAIAN.

Diketahui: $a = 11$; $U_{t} = 41$
Ditanya: $c = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad U_{t} & = \dfrac{1}{2} (a+c) \\ 41 & = \dfrac{1}{2} (11+c) \\ 41 \cdot 2 & = 11+c \\ 82-11 & = c \\ c & = 71 \end{aligned}$

(Jawaban C)


Nomor 5

imgbox

Jika setiap susunan segitiga di atas terbentuk dari batang korek api, maka banyaknya korek api pada pola ke-15 adalah$\cdots$

  1. 234
  2. 273
  3. 315
  4. 360

PENYELESAIAN.

imgbox

Diketahui: $a = 3$; $a_{1} = 6$; $a_{2} = 3$
Ditanya: $U_{15} = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad U_{n} & = a + (n-1) \cdot a_{1} + \dfrac{(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2} \cdot a_{2} \\ U_{15} & = 3 + (15-1) \cdot 6 + \dfrac{(15-1)(15-2)}{1 \cdot 2} \cdot 3 \\ & = 3 + (14) \cdot 6 + \dfrac{\cancelto{7}{(14)} \cdot (13)}{\cancel{2}} \cdot 3 \\ & = 3 + 84 + 273 \\ U_{15} & = 360 \end{aligned}$

(Jawaban D)


Nomor 6
Dalam suatu deret geometri, diketahui $U_{1} = 6$ dan $U_{5} = 486$. Maka, rasionya adalah$\cdots$

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5

PENYELESAIAN.

Diketahui: $U_{1} = 6$; $U_{5} = 486$
Ditanya: $r = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad \dfrac{U_{5}}{U_{1}} & = \dfrac{\cancel{a} \cdot r^{4}}{\cancel{a}} \\ \dfrac{486}{6} & = r^{4} \\ \sqrt[4]{81} & = r \\ r & = 3 \end{aligned}$

(Jawaban B)


Nomor 7
Jumlah bilangan-bilangan kelipatan 5 antara 1 dan 200 adalah$\cdots$

  1. 2020
  2. 2900
  3. 3900
  4. 4400

PENYELESAIAN.

Diketahui:
$5, 10, 15, \cdots , 195$
$a = 5$; $b = 5$; $U_{n} = 195$
Ditanya: $S_{n} = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad U_{n} & = a + (n-1)b \\ 195 & = 5 + (n-1)5 \\ 195-5 & = (n-1)5 \\ \dfrac{190}{5} & = n-1 \\ 38 & = n-1 \\ n & = 39 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{i)...} \quad S_{n} & = \dfrac{n}{2} (a + U_{n}) \\ S_{39} & = \dfrac{39}{2} (195+5) \\ & = \dfrac{39}{\cancel{2}} \cdot \cancelto{100}{(200)} \\ S_{39} & = 3900 \end{aligned}$

(Jawaban C)


Nomor 8
Banyaknya suku dari deret
$(-3) + 6 + (-12) + \cdots + 96$
adalah$\cdots$

  1. 15
  2. 12
  3. 9
  4. 6

PENYELESAIAN.

Diketahui: $a = -3$; $U_{n} = 96$
Ditanya: $n = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad r & = \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} \\ & = \dfrac{U_{2}}{U_{1}} \\ & = \dfrac{6}{-3} \\ r & = -2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \text{ii)...} \quad U_{n} & = a \cdot r^{n-1} \\ 96 & = (-3) \cdot (-2)^{n-1} \\ \dfrac{96}{-3} & = (-2)^{n-1} \\ -32 & = (-2)^{n-1} \\ (-2)^{5} & = (-2)^{n-1} \\ (-2)^{6-1} & = (-2)^{n-1} \\ n & = 6 \end{aligned}$

(Jawaban D)


Nomor 9

imgbox

Jika pola tersebut dilanjutkan, banyak bulatan pada pola ke-61 adalah$\cdots$

  1. 249
  2. 241
  3. 66
  4. 64

PENYELESAIAN.

imgbox

Diketahui: $a = U_{1} = 1$; $b = 4$
Ditanya: $U_{61} = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad U_{n} & = a + (n-1) b \\ U_{61} & = 1 + (61-1)4 \\ & = 1 + 240 \\ U_{61} & = 241 \end{aligned}$

(Jawaban B)


Nomor 10
Fani mengendarai sepeda barunya dengan kecepatan rata-rata $20 ~ \text{km/jam}$ pada 1 jam pertama. Pada 1 jam kedua, kecepatannya berkurang empat perlimanya, demikian seterusnya, pada setiap jam. Dengan metode seperti itu, jarak maksimum yang dapat ditempuh oleh Fani adalah$\cdots$

  1. 100 km
  2. 120 km
  3. 140 km
  4. 160 km

PENYELESAIAN.

Diketahui: bar. geometri:
$20, 16, \dfrac{64}{5}, \cdots$
$a = U_{1} = 20$; $r = \frac{4}{5}$
Ditanya: $20 + 16 + \dfrac{64}{5} + \cdots = \cdots \text{?}$

Dijawab:
$\begin{aligned} \text{i)...} \quad S_{\infty} & = \dfrac{a}{1-r} \\ & = \dfrac{20}{1-\frac{4}{5}} \\ & = \dfrac{20}{\frac{1}{5}} \\ & = 20 \cdot 5 \\ S_{\infty} & = 100 \end{aligned}$

Jadi, $\boxed{20 + 16 + \dfrac{64}{5} + \cdots = 100}$

(Jawaban A)




Referensi dan Pustaka:

  • Indonesia, Forum Tentor. 2019. King Pocket Matematika SMP. Yogyakarta: Forum Edukasi.
  • 2018. Barisan dan Deret Bertingkat. Catatan Matematika. https://www.catatanmatematika.com/2018/02/barisan-dan-deret-bilangan-bertingkat.html. Diakses: 13 Juni 2021.

Related Posts
Kumatho.com
"Sebuah misi penyebaran ajaran matematika dalam jaringan."

Related Posts

Posting Komentar