NkuCQmWxWJeSXeuAqt7LBjq580vp0ecgQCp0WTk2

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel | Materi, Soal dan Pembahasan | Matematika SMP/VIII

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) | Matematika SMP VIII



Kumatho.com - Linear dalam bahasa memiliki makna garis lurus. Lalu tahukah sobat apa bedanya persamaan dengan sistem persamaan? Dua-duanya sama atau berbeda? Tenang, di bahasan kali ini tanda tanya itu akan segera terjawab dengan penjelasan-penjelasan lanjut di materi kita hari ini: Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).

Baiklah, kembali ke pertanyaan persamaan dan sistem persamaan bahwa keduanya merupakan pengertian yang berbeda. Di mana letak bedanya? Yaitu, persamaan hanya melibatkan satu persamaan saja dalam operasinya, sedangkan sistem persamaan melibatkan lebih dari satu persamaan dalam operasinya. Nah, jadi secara umum bahasan kita ini nanti adalah tentang mencari penyelesaian dari dua atau lebih persamaan dengan batasan lingkup dua variabel.

Oke, let’s go. Pasang semangat! Kita akan masuk materi.


Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah dua persamaan linear yang masing-masing mempunyai dua variabel dan hanya memiliki satu penyelesaian.

Sekedar mengingat kembali, kita bisa hadirkan perbedaan persamaan linear satu variabel dengan persamaan linear dua variabel.

$a \color{blue}{x} +b=c \to$ kita sebut persamaan linear satu variabel. (Karena variabel berjumlah satu: $x$)
$p\color{blue}{x}+q\color{blue}{y}=r \to$ kita sebut persamaan linear dua variabel. (Karena variabel berjumlah dua: $x~\text{dan}~y$)

Dengan demikian, kita bisa memahami bentuk umum SPLDV yang disajikan di bawah ini.

Bentuk Umum: SPLDV
$\begin{aligned} p\color{blue}{x}+q\color{blue}{y} & = r \quad && \text{...(1)} \\ v\color{blue}{x}+w\color{blue}{y} & = z && \text{...(2)} \end{aligned}$

Untuk memperjelas pernyataan di atas, mari kita lihat contoh saja ya.

Pada sebuah toko buah, harga 2 kg jeruk dan 4 kg apel Rp 40.000,- , sedangkan harga 1 kg jeruk dan 3 kg apel Rp 18.000,-.
Pada permasalahan di atas dapat dibentuk dua persamaan linear:
$\begin{aligned} 2x+4y & = 40.000 \quad && \text{...(1)} \\ x+3y & = 18.000 && \text{...(2)} \end{aligned}$
Dua persamaan linear di atas merupakan sistem persamaan linear dua variabel. Dari sistem persamaan linear, kita dapat menentukan penyelesaian yang pasti untuk menentukan nilai dari variabelnya (yaitu $x~\text{dan}~y$).

Katakanlah kita telah menghitung hasilnya dan sistem persamaan di atas memiliki satu penyelesaian, yaitu $x=12.000~\text{dan}~y=2.000$. Tidak mungkinkan kamu membeli buah di tempat yang sama dengan harga berbeda? (Dengan asumsi tak berlaku tawar-menawar). Nah, cara penyelesaiannya akan kita pelajari dengan berbagai metode di subjudul berikut ini.


Metode Penyelesaian SPLDV

Pada dasarnya, penyelesaian SPLDV terdiri dari 3 hal berikut:

  1. Memisalkan besaran yang dicari dengan suatu variabel.
  2. Membuat model matematika yang dirumuskan dalam bentuk umum SPLDV.
  3. Mencari solusi dengan menggunakan beberapa metode penyelesaian (yang akan kita ulas berikut ini).

Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dapat ditentukan dengan beberapa metode berikut:

2.1 Metode Grafik

Dengan mencari titik potong terhadap sumbu-$x$ dan sumbu-$y$.
Perhatikan contoh berikut.

Dari persamaan I: $-x+y=70$
Saat $x=0$ maka $y=70$, sehingga diperoleh titik $(x,y)=(0,70)$.
Saat $y=0$ maka $x=-70$, sehingga diperoleh titik $(x,y)=(-70,0)$.
Bentuk grafik:

Dari persamaan II: $2x-y=30$
Saat $x=0$ maka $y=-30$, sehingga diperoleh titik $(x,y)=(0,-30)$.
Saat $y=0$ maka $x=15$, sehingga diperoleh titik $(x,y)=(15,0)$.
Bentuk grafik:

Jika kedua grafik di atas digabung menjadi.

Grafik menunjukkan nilai $x = 100~\text{dan}~150 \leq y \leq 200$. Kita bisa melihat pada grafik memiliki sedikit kesulitan dalam akurasi, sehingga haruslah kita lihat metode lainnya berikut ini.


2.2 Metode Substitusi

Yaitu dengan menyubstitusikan atau mengganti variabel suatu persamaan dengan perolehan variabel di persamaan lain.

Kita akan menggunakan dua persamaan di atas lagi untuk memberikan Anda penjelasan yang baik.
Dari persamaan I: $-x+y=70$
Dari persamaan II: $2x-y=30$
Untuk mencari nilai $x$, maka cari nilai $y$ terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \text{(1)...} && –x+y & =70 \\ && y & =70+x \quad \text{...(1.1)} \end{aligned}$
Substitusikan (1.1) ke (2):
$\begin{aligned} \text{(2)...} && 2x-y & =30 \\ && 2x-(70+x) & = 30 \\ && 2x-70-x & =30 \\ && x & = 100 \quad \text{...(2.1)} \end{aligned}$
Kemudia kita beralih mencari nilai $y$ dengan substitusi (2.1) ke (1.1):
$\begin{aligned} \text{(1.1)...} \quad y & =70+x \\ y & = 70+(100) \\ y & = 170 \end{aligned}$
Kita peroleh satu penyelesaian untuk $(x,y)=(100,170)$.


2.3 Metode Eliminasi

Yaitu dengan mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabelnya sehingga variabel yang lain ditemukan solusi nilainya.

Dari persamaan I: $-x+y=70$
Dari persamaan II: $2x-y=30$

Kita akan mengeliminasi salah satu variabel, dalam kasus ini untuk mencari nilai $x$: maka samakan koefisien $y$ terlebih dahulu.

$\begin{aligned} &\! \begin{aligned} -x+y & = 70 \\ 2x - y & = 30 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} x & = 100 \end{aligned} \end{aligned}$

Kemudian lakukan hal yang sama untuk mencari nilai $y$: maka samakan koefisien $x$.

$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -x+y & = 70 \\ 2x - y & = 30 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~ -2x+2y & = 140 \\ 2x-y & = 30 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} y & = 170 \end{aligned} \end{aligned}$

Diperoleh nilai $x=100~\text{dan}~y=170$.


2.4 Metode Gabungan

Yaitu gabungan antara metode substitusi dan eliminasi.

Dan lagi, kita akan menggunakan dua persamaan di atas lagi untuk memberikan Anda penjelasan yang baik.

Dari persamaan I: $-x+y=70$
Dari persamaan II: $2x-y=30$
Misalkan kita akan mencari nilai $x$ terlebih dahulu dengan menggunakan metode eliminasi. Maka, untuk mencari nilai $x$: samakan koefisien $y$.

$\begin{aligned} &\! \begin{aligned} -x+y & = 70 \\ 2x - y & = 30 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} x & = 100 \end{aligned} \end{aligned}$

Substitusikan nilai $x$ ke persamaan (1):
$\begin{aligned} \text{(1)...} \quad -x+y & =70 \\ -(100)+y & =70 \\ y & = 170 \end{aligned}$

Sehingga diperoleh hasil yang selalu konsisten pula, nilai $x=100~\text{dan}~y=170$.


Soal dan Pembahasan

Today Quote:
"Apakah kamu perlu sebuah alasan untuk 'tidak kalah'?"
Hinata Shoyo (Haikyuu!)

Nomor 1
Jika $p$ dan $q$ adalah akar dari sistem persamaan $2p+3q=2$ dan $4p-q=18$, maka $5p-2q^2 = \cdots \cdot$

  1. 4
  2. 12
  3. 28
  4. 36

Diketahui SPLDV: $\begin{cases} 2p+3q & = 2 && (\cdots 1) \\ 4p-q & = 18 && (\cdots 2) \end{cases}$.
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2p+3q & = 2 \\ 4p-q & = 18 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4p+6q & = 4 \\ 4p-q & = 18 \end{aligned} \\ & \rule{2.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 7q & = -14 \\ q & = -2 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $q = -2$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan (2).
$\begin{aligned} 4p-\color{red}{q} & = 18 \\4p-(-2) & = 18 \\ 4p & = 16 \\ p & = 4 \end{aligned}$
Jadi, akar (penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $p=4$ dan $q=-2$.
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{\begin{aligned} 5p-2q^2 & =5(4)-2(-2)^2 \\ & =20-8=12 \end{aligned}}$
(Jawaban B)

Nomor 2
Jika $x$ dan $y$ adalah akar dari sistem persamaan $x^2-2y^2=-2$ dan $3x^2+y^2=57$, maka nilai $2x^2-3y^2=\cdots \cdot$

  1. -30
  2. -5
  3. 5
  4. 30

Sistem persamaan di atas memang bukan termasuk SPLDV, tetapi dapat dibuat sebagai SPLDV dengan memisalkan $x^2 = a$ dan $y^2 = b$ sehingga diperoleh
$\begin{cases} a-2b &= -2 && (\cdots 1) \\ 3a+b & = 57 && (\cdots 2) \end{cases}$
Dengan menggunakan metode eliminasi, kita peroleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a-2b & = -2 \\ 3a+b & = 57 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~a-2b & = -2 \\~6a+2b & = 114 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 7a & = 112 \\ a & = 16 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $a = 16$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan (2).
$\begin{aligned} 3\color{red}{a}+b & = 57 \\ 3(16) + b & = 57 \\ b & = 9 \end{aligned}$
Untuk itu, nilai dari $\boxed{\begin{aligned} 2x^2-3y^2 & = 2a-3b \\ & = 2(16)-3(9) \\ &= 32-27=5 \end{aligned}}$
(Jawaban C)

Nomor 3
Diketahui $a$ dan $b$ memenuhi sistem persamaan berikut.
$\begin{cases} \dfrac{7}{a+b}+\dfrac{6}{a-b} & = 3 \\ \dfrac{7}{a+b}-\dfrac{3}{a-b} & = 0 \end{cases}$
Nilai dari $a^2-b^2=\cdots \cdot$

  1. -29
  2. -21
  3. 21
  4. 29

Misalkan $x = \dfrac{1}{a+b}$ dan $y = \dfrac{1}{a-b}$ sehingga kita peroleh SPLDV
$\begin{cases} 7x+6y & = 3 && (\cdots 1) \\ 7x-3y & = 0 && (\cdots 2) \end{cases}$
Kita akan mencari nilai dari $a^2-b^2=(a+b)(a-b) = \dfrac{1}{xy}$, yang mengharuskan kita untuk mencari masing-masing nilai $x$ dan $y$ terlebih dahulu.
Dari SPLDV di atas, kita dapat langsung mengeliminasi $x$ dengan mengurangkan kedua persamaan.
$\begin{aligned} (7x+6y)-(7x-3y) & = 3-0 \\ 9y & = 3 \\ y & = \dfrac13 \end{aligned}$
Substitusi $y = \dfrac13$ pada salah satu persamaan, misalnya pada persamaan (2).
$\begin{aligned} 7x-3\color{red}{y} & = 0 \\ 7x-3\left(\dfrac13\right) & = 0 \\ 7x-1 & = 0 \\ x & = \dfrac17 \end{aligned}$
Dengan demikian, kita akan peroleh $\dfrac{1}{xy} = \dfrac{1}{\frac17 \cdot \frac13} = 21$. Jadi, nilai dari $\boxed{a^2-b^2=21}$
(Jawaban C)

Nomor 4
Perhatikan grafik berikut.

Titik $(1, 2)$ merupakan titik potong dua garis. Dengan kata lain, titik tersebut akan menjadi penyelesaian dari sistem persamaan $\cdots \cdot$

  1. $x+2y=-3~\text{dan}~2x-y=-4$
  2. $x-2y=-3~\text{dan}~2x-y=-4$
  3. $x+2y=-3~\text{dan}~2x+y=4$
  4. $x-2y=-3~\text{dan}~2x+y=4$

Kita akan menentukan dua persamaan garis yang ada pada gambar di atas.
Garis pertama melalui titik $(2, 0)$ dan $(0, 4)$. Karena kita tahu koordinat titik potong terhadap sumbu koordinat, maka kita akan lebih mudah menentukan persamaan garisnya.
Persamaan garis pertama adalah $2x + y = 4$.
Garis kedua melalui titik $(-3, 0)$ dan $(1, 2)$. Untuk mencari persamaan garisnya, bisa menggunakan cara kece berikut.

Persamaan garis kedua adalah $x-2y=-3$.
Jadi, titik $(1, 2)$ merupakan penyelesaian sistem persamaan $x-2y=-3~\text{dan}~2x+y=4$.
(Jawaban D)


Nomor 5
Jumlah dua bilangan cacah adalah 27 dan selisih kedua bilangan itu adalah 3. Hasil kali kedua bilangan itu adalah $\cdots \cdot$

  1. 81
  2. 176
  3. 180
  4. 182

Misalkan bilangan cacah itu adalah $a~\text{dan}~b$, dengan $a > b$ sehingga diperoleh SPLDV
$\begin{cases} a+b & = 27 && (\cdots 1) \\ a-b & = 3 && (\cdots 2) \end{cases}$
Jumlahkan keduanya dan kita peroleh $2a = 30$, berarti $a = 15$, dan $b = 12$.
Hasil kali $a~\text{dan}~b$ adalah $ab = 15(12) = 180$.
Jadi, hasil kali dua bilangan tersebut adalah $\boxed{180}$
(Jawaban C)

Nomor 6
Harga 5 pensil dan 2 buku adalah Rp26.000,00, sedangkan harga 3 pensil dan 4 buku Rp38.000,00. Jika harga 1 pensil dinyatakan dengan $a$ dan harga 1 buku dinyatakan dengan $b$, maka sistem persamaan linear dua variabel yang tepat sesuai masalah di atas adalah $\cdots \cdot$

  1. $5a+2b=26.000~\text{dan}~4a+3b=38.000$
  2. $5a+2b=26.000~\text{dan}~3a+4b=38.000$
  3. $2a+5b=26.000~\text{dan}~3a+4b=38.000$
  4. $2a+5b=26.000~\text{dan}~4a+3b=38.000$

Harga 5 pensil dan 2 buku adalah Rp26.000,00, kita tulis $5a + 2b = 26.000$.
Harga 3 pensil dan 4 buku adalah Rp38.000,00, kita tulis $3a + 4b = 38.000$.
Jadi, SPLDV yang sesuai adalah
$\begin{cases} 5a+2b=26.000 \\ 3a+4b=38.000 \end{cases}$
(Jawaban B)

Nomor 7
Andi membeli 2 buku tulis dan 3 pensil seharga Rp8.500,00, sedangkan Didit membeli 3 buku tulis dan 2 pensil seharga Rp9.000,00. Jika Anita membeli 1 buku dan 1 pensil, maka ia harus membayar sebesar $\cdots \cdot$

  1. Rp5.000,00
  2. Rp4.500,00
  3. Rp4.000,00
  4. Rp3.500,00

Misalkan $x$ = harga 1 buku tulis dan $y$ = harga 1 pensil sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
$\begin{cases} 2x + 3y & = 8.500 && (\cdots 1) \\ 3x + 2y & = 9.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Jumlahkan persamaan (1) dan (2).
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 8.500 \\ 3x+2y & = 9.000 \end{aligned} \\ \rule{3.4 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 5x + 5y & = 17.500 \\ x + y & = 3.500 \end{aligned} \end{aligned}$
Dengan demikian, Anita harus membayar Rp3.500,00 untuk membeli 1 buku tulis dan 1 pensil.
(Jawaban D)

Nomor 8
Umur Amar $\dfrac23$ kali umur Bondan. Enam tahun mendatang, jumlah umur mereka 42 tahun. Selisih umur Amar dan Bondan adalah $\cdots \cdot$

  1. 2 tahun
  2. 3 tahun
  3. 4 tahun
  4. 6 tahun

Misalkan umur Amar = $A$ dan umur Bondan = $B$.
Kita peroleh SPLDV berikut.
$$\begin{cases} A & = \dfrac23B && (\cdots 1) \\ (A+6)+(B+6) & = 42 && (\cdots 2) \end{cases}$$
Substitusi persamaan (1) pada persamaan (2).
$\begin{aligned} (\color{red}{A}+6)+(B+6) & = 42 \\ \dfrac23B+6+B+6 & = 42 \\ \dfrac53B & = 30 \\ B & = 30 \times \dfrac35 = 18 \end{aligned}$
Umur Bondan saat ini 18 tahun, berarti umur Amar sekarang adalah $\dfrac23(18) = 12$ tahun.
Selisih umur mereka berdua adalah $\boxed{18-12=6~\text{tahun}}$
(Jawaban B)

Nomor 9
Harga 5 kg gula pasir dan 30 kg beras adalah Rp410.000,00, sedangkan harga 2 kg gula pasir dan 60 kg beras adalah Rp740.000,00. Harga 2 kg gula pasir dan 5 kg beras adalah $\cdots \cdot$

  1. Rp154.000,00
  2. Rp80.000,00
  3. Rp74.000,00
  4. Rp32.000,00

Misalkan $x$ = harga gula pasir per kg dan $y$ = harga beras per kg sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
$\begin{cases} 5x + 30y & = 410.000 && (\cdots 1) \\ 2x + 60y & = 740.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dari persamaan (1) dan (2).
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x+30y & = 410.000 \\ 2x+60y & = 740.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 10x+60y & = 820.000 \\ 2x+60y & = 740.000 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 8x & = 80.000 \\ x & = 10.000 \end{aligned} \end{aligned}$$
Substitusi $x = 10.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan (1).
$\begin{aligned} 5\color{red}{x} +30y & = 410.000 \\ 5(10.000) + 30y & = 410.000 \\ 50.000 + 30y & = 410.000 \\ 30y & = 360.000 \\ y & = 12.000 \end{aligned}$
Jadi, harga 1 kg gula pasir adalah Rp10.000,00 dan harga 1 kg beras adalah Rp12.000,00.
Dengan demikian, harga 2 kg gula pasir dan 5 kg beras adalah
$2 \times 10.000 + 5 \times 12.000 =$ $\boxed{\text{Rp}80.000,00}$
(Jawaban B)

Nomor 10
Harga 2 kg gula pasir dan 3 kg beras adalah Rp27.000,00, sedangkan harga 3 kg gula pasir dan 3 kg beras adalah Rp33.000,00. Harga 1 kg gula pasir dan 1 kg beras (masing-masing) adalah $\cdots \cdot$

  1. Rp6.000,00 dan Rp5.000,00
  2. Rp5.000,00 dan Rp6.000,00
  3. Rp5.000,00 dan Rp7.000,00
  4. Rp7.000,00 dan Rp5.000,00

Misalkan $x$ = harga gula pasir per kg dan $y$ = harga beras per kg sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
$\begin{cases} 2x + 3y & = 27.000 && (\cdots 1) \\ 3x + 3y & = 33.000 && (\cdots 2) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dari persamaan (1) dan (2).
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 27.000 \\ 3x+3y & = 33.000 \end{aligned} \\ \rule{3.3 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} -x & = -6.000 \\ x & = 6.000 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $x = 6.000$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan (1).
$\begin{aligned} 2\color{red}{x} +3y & = 27.000 \\ 2(6.000) + 3y & = 27.000 \\ 12.000 + 3y & = 27.000 \\ 3y & = 15.000 \\ y & = 5.000 \end{aligned}$
Jadi, harga 1 kg gula pasir adalah Rp6.000,00 dan harga 1 kg beras adalah Rp5.000,00.
(Jawaban B)




Referensi:

Indonesia, Forum Tentor. 2019. King Pocket Matematika SMP. Yogyakarta: Forum Edukasi.

Ammariah, Hani. 2020. Matematika Kelas 8 | Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Ruangguru. https://www.ruangguru.com/blog/matematika-kelas-8-cara-menyelesaikan-sistem-persamaan-linear-dua-variabel-spldv. Diakses: 1 Mei 2021.

Sukardi. 2019. Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Mathcyber1997. https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-sistem-persamaan-linear-dua-variabel-spldv/. Diakses: 1 Mei 2021.

Related Posts
Kumatho.com
"Sebuah misi penyebaran ajaran matematika dalam jaringan."

Related Posts

Posting Komentar