Relasi dan Fungsi - Kelas 8 SMP (Materi, Soal dan Pembahasan)

Contents

• 1 Relasi
  • 1.1 Pengertian
  • 1.2 Penyajian
• 2 Fungsi (Pemetaan)
  • 2.1 Pengertian
  • 2.2 Komponen, Notasi Aljabar dan Grafik Fungsi
  • 2.3 Menghitung Banyak Fungsi/Pemetaan
• 3 Soal dan Pembahasan

Kalau orang belajar 1 jam, dia akan belajar 5 jam, kalau orang berlari 2 kilo, dia berlari 3 kilo. Going extra miles, tidak menyerah dengan rata-rata! Itu yang membedakan orang sukses dengan orang biasa.
- A. Fuadi, "Negeri 5 Menara"

Bayangkan kamu memiliki dua kertas di tangan kanan dan kiri kamu, di mana kertas pertama berada di tangan kirimu berisi daftar nama: Didi Kempot, Kevin Sanjaya, dan Joko Widodo. Kemudian kertas lain di tangan kananmu tertulis: Penyanyi, Atlet, dan Presiden. Bagaimana menurutmu, apakah dua kertas tersebut memiliki keterkaitan atau tidak ada hubungannya?

Saya yakin secara spontan kamu langsung bisa menjawabnya. Dan bagus! Materi kita ini membahas seperti kasus di atas dengan lebih bervariasi lagi. Simak dengan baik ya!

Relasi

Pengertian

Relasi memiliki arti: hubungan. Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.

Contoh seperti ilustrasi dua kertas yang saya tanyakan di atas.

$\begin{aligned} & \text{A = {Didi Kempot, Kevin Sanjaya, Joko Widodo}} \\ & \text{B = {Penyanyi, Atlet, Presiden}} \end{aligned}$

Relasi A dan B adalah “profesi”.

Penyajian

Perhatikan contoh peristiwa berikut.

Cecep sedang berulangtahun yang ke-15. Ia mengajak teman-temannya: Aris, Bari, Fira dan Darla pergi ke rumah makan "Kumatho".

Perhatikan menu yang disediakan, yaitu soto, rawon, gulai, nasi goreng, sate dan sop. Dari menu tersebut ternyata masing-masing anak tidak sama menu favoritnya.

• Aris suka "rawon dan sop", tetapi kali ini ia memesan rawon
• Bari memesan gulai, walaupun sebenarnya ia suka "soto, rawon dan gulai"
• Cecep suka "sate dan nasi goreng" namun makanan yang dipesannya adalah sate
• Fira memesan sate, kare ia memang hanya suka "sate" tersebut
• Darla anak baru jadi belum ada yang disukai, tetapi ia pesan nasi goreng

Dari peristiwa di atas kamu bisa membuat relasi antara dua himpunan, yaitu

• Himpunan anak yang beranggotakan: Aris, Bari, Cecep, Darla dan Fira.
• Himpunan makanan yang beranggotakan: soto, rawon, gulai, nasi goreng, sate dan sop.

Dalam hal ini kita dapat membuat dua macam relasi yang berbeda, relasi apa ya kira-kira?

(1)... Relasi "makanan kesukaan":
$\begin{aligned} & \text{Aris} \to \text{rawon} ~\text{;}~ \text{Aris} \to \text{sop} \\ & \text{Bari} \to \text{soto} ~\text{;}~ \text{Bari} \to \text{rawon} ~\text{;}~ \text{Bari} \to \text{gulai} \\ & \text{Cecep} \to \text{sate} ~\text{;}~ \text{Cecep} \to \text{nasi goreng} \\ & \text{Fira} \to \text{sate} \end{aligned}$
(2)... Relasi "makanan yang dipesan":
$\begin{aligned} & \text{Aris} \to \text{rawon} \\ & \text{Bari} \to \text{gulai} \\ & \text{Cecep} \to \text{sate} \\ & \text{Darla} \to \text{nasi goreng} \\ & \text{Fira} \to \text{sate} \end{aligned}$
Catatan: tanda "$\to$" hanya digunakan untuk sekedar menunjukkan relasi (bukan simbol khusus relasi).

Pada bab ini, diperkenalkan 3 cara menyajikan relasi:

1. Himpunan Pasangan Berurutan
2. Diagram Panah
3. Diagram Cartesius

Himpunan Pasangan Berurutan

Menyatakan relasi dengan himpunan pasangan berurutan dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah 1

• Himpunan anak = A
• Himpunan makanan = B

Kita daftarkan masing-masing sebagai berikut.
A = {Aris, Barli, Cecep, Darla, Fira}
B = {soto, rawon, gulai, nasi goreng, sate, sop}

Langkah 2
Kita pasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan relasi "makanan kesukaan" dalam bentuk $(x,y)$ dengan $x \in A$ dan $y \in B$.

Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan $(x,y)$ dinamakan: himpunan pasangan berurutan.

Relasi "makanan kesukaan" dari himpunan A ke himpunan B kita nyatakan dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut:

$_{A}R_{B}$ = {(Aris,rawon) , (Aris,sop) , (Bari,soto) , (Bari,rawon) , (Bari,gulai) , (Cecep,sate) , (Cecep,nasi goreng) , (Fira,sate)}

Diagram Panah

Gambar di atas bentuk cara menyatakan relasi dengan diagram panah.

Langkah-langkah menyatakan relasi dengan diagram panah:

• Membuat dua lingkaran atau ellips (bisa juga bangun lainnya, seperti persegi panjang) untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B
• $x \in A$ diletakkan pada lingkaran A dan $y \in B$ diletakkan pada lingkaran B
• $x~\text{dan}~y$ dihubungkan dengan anak panah
• Arah anak panah menunjukkan arah relasi
• Anak panah tersebut mewakili aturan relasi

Dengan demikian langkah membuat diagram panah relasi makanan kesukaannya dari himpunan A ke himpunan B atau ditulis $R:A \to B$ adalah:

Diagram Cartesius

• Pada diagram cartesius dua salib sumbu: sumbu mendatar (horizontal) dan tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus
• $x \in A$ diletakkan pada sumbu mendatar
• $y \in B$ diletakkan pada sumbu tegak
• Pemasangan $x ~\text{dan}~ y$ ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan $(x, y)$

Sebagai contoh, pada diagram panah berikut ini, maka diagram cartesiusnya dapat dilihat di samping kanannya.

Gambarlah diagram cartesius dari diagram panah berikut ini:

Fungsi (Pemetaan)

Perhatikan relasi yang dinyatakan dengan diagram panah di bawah ini:

Pada relasi di samping mempunyai ciri:

• Himpunan A = {Aris, Bari, Cecep, Darla, dan Fira}, semuanya memesan dan masing-masing hanya memesan satu jenis makanan. Dengan kata lain, semua anggota A memesan makanan dan tidak ada yang memesan lebih dari satu.
• Secara matematika dikatakan bahwa: setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan anggota himpunan B dan pemasangannya adalah tepat satu. Relasi yang seperti ini disebut fungsi atau pemetaan.

Pengertian

Fungsi adalah relasi yang menghubung semua anggota himpunan A tepat satu dengan anggota himpunan B.

Untuk memperjelas perbedaan fungsi (pemetaan) dengan bukan fungsi bisa dilihat syarat berikut:

1. Setiap anggota A mempunyai pasangan di B.
2. Setiap anggota A memiliki satu pasangan di B.

Untuk lebih memahami tentang fungsi, perhatikan relasi berikut ini:

Komponen, Notasi Aljabar dan Grafik Fungsi

Komponen Fungsi

• Himpunan A adalah daerah asal (domain).
• Himpunan B adalah daerah kawan (co-domain).
• Anggota B yang merupakan pasangan dari himpunan A disebut daerah hasil (range).

Notasi Aljabar dan Grafik Fungsi

Notasi Fungsi secara Aljabar:
$ \text{"} f(x) \text{"} \to $ disebut fungsi $f$ terhadap variabel $x$.
Dalam notasi koordinat suatu fungsi berlaku: $y=f(x)$ sehingga koordinatnya berbentuk $\left(x, f(x) \right)$.

Contoh:

1. Diberikan suatu fungsi $ f(x)=2x+6 $, maka nilai dari $ f(-5) $ adalah...
2. Grafik fungsi $f(x)=2x+6$ adalah...

PEMBAHASAN
Nomor 1
$\begin{aligned} f(x) & =2x+6 \\ f(-5) & =2(-5)+6 \\ & =-10 + 6 \\ & =-4 \end{aligned}$

Nomor 2

Cara Menggambar Grafik Fungsi Aljabar Sederhana:

1. Buat tabel nilai $x ~\text{dan}~ y$.
2. Ambil sembarang nilai $x$ pada garis bilangan dan hitung nilai $y ~\text{atau}~ f(x)$ dalam tabel.
3. Gunakan data tabel untuk menggambar grafik fungsi.

$x$	$y=2x+6$
$\cdots$	$\cdots$
$-3$	$0$
$-2$	$2$
$-1$	$4$
$0$	$6$
$1$	$8$
$2$	$10$
$3$	$12$
$4$	$14$
$\cdots$	$\cdots$

Banyak Pemetaan

Banyaknya pemetaan dari himpunan A ke himpunan B dapat dirumuskan:

$\begin{aligned} n(B)^{n(A)} \end{aligned}$

---

Soal dan Pembahasan

Nomor 1
Relasi yang tepat untuk menjelaskan hubungan himpunan Q ke himpunan P adalah...

1. akar pangkat tiga dari
2. pangkat tiga dari
3. kuadrat dari
4. akar kuadrat dari

Relasi yang tepat adalah “pangkat tiga dari”, sebagaimana dinyatakan oleh hubungan:
1 merupakan pangkat tiga dari 1;
8 merupakan pangkat tiga dari 2;
27 merupakan pangkat tiga dari 3.
(Jawaban B)

Nomor 2
Perhatikan diagram panah berikut.

Relasi yang tepat dari himpunan K ke himpunan L adalah...

1. dua kali dari
2. setengah dari
3. satu kurangnya dari
4. kurang dari

Relasi yang tepat adalah “setengah dari”, sebagaimana dinyatakan oleh hubungan:
−3 merupakan setengah dari −6;
−1 merupakan setengah dari −2;
1 merupakan setengah dari 2;
2 merupakan setengah dari 4.
(Jawaban B)

Nomor 3
Relasi yang tepat untuk diagram berikut adalah...

1. lebih dari
2. kurang dari
3. setengah dari
4. kuadrat dari

Relasi yang tepat adalah “setengah dari”, sebagaimana dinyatakan oleh hubungan:
1 merupakan setengah dari 2;
2 merupakan setengah dari 4;
3 merupakan setengah dari 6;
4 merupakan setengah dari 8, tetapi karena 8 bukan anggota kodomain, maka 4 tidak memiliki pasangan.
(Jawaban C)

Nomor 4
Perhatikan diagram berikut.

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah...

1. faktor dari
2. lebih dari
3. kurang dari
4. setengah dari

Diagram panah di atas dapat dinyatakan dalam bentuk himpunan pasangan berurut {(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(4,4)}.
Perhatikan bahwa 1 faktor dari 2, 3, dan 4;
2 merupakan faktor dari 2 dan 4;
4 merupakan faktor dari 4.
Jadi, relasi yang sesuai untuk ini adalah FAKTOR DARI.
Catatan: faktor adalah bilangan asli yang membagi habis bilangan yang lain.
(Jawaban A)

Nomor 5
Perhatikan relasi berikut.
(1). {(1,a),(2,a),(3,a),(4,a)}
(2). {(2,b),(3,c),(4,d),(2,e)}
(3). {(3,6),(4,6),(5,10),(3,12)}
(4). {(1,5),(3,7),(5,9),(3,11)}
Relasi di atas yang termasuk pemetaan adalah...

1. (1)
2. (2)
3. (3)
4. (4)

Pada bentuk pasangan berurut $\begin{aligned} (a,b) \end{aligned}$, $\begin{aligned} a \end{aligned}$ disebut anggota domain, dan sedangkan $\begin{aligned} b \end{aligned}$ disebut anggota range.
Suatu relasi disebut sebagai pemetaan (fungsi) apabila setiap anggota domain mempunyai tepat satu (harus satu) pasangan dengan anggota co-domain.
Pada himpunan (1), semua anggota domain memiliki pasangan tepat satu ke co-domainnya, sehingga disebut fungsi.
Pada himpunan (2), anggota domain yakni 2 memiliki dua pasangan, sehingga bukan termasuk fungsi.
Pada himpunan (3), anggota domain yakni 3 memiliki dua pasangan, sehingga bukan termasuk fungsi.
Pada himpunan (4), anggota domain yakni 3 memiliki dua pasangan, sehingga bukan termasuk fungsi.
(Jawaban A)

Nomor 6
Dari keempat himpunan berikut:
P = {(1,1),(2,0),(2,1)}
Q = {(1,1),(3,2),(5,2)}
R = {(5,a),(5,b),(4,c)}
S = {(1,6),(1,5),(1,4)}
Himpunan pasangan berurut yang merupakan pemetaan (fungsi) adalah...

1. P
2. Q
3. R
4. S

Suatu himpunan pasangan berurut termasuk fungsi apabila setiap anggota domain memiliki tepat satu pasangan ke anggota co-domain.
Himpunan P bukan termasuk fungsi karena anggota domain 2 memiliki lebih dari satu pasangan, yakni pada pasangan berurut (2,0) dan (2,1).
Himpunan Q termasuk fungsi karena setiap anggota domain memiliki tepat satu pasang ke anggota co-domain.
Himpunan R bukan termasuk fungsi karena anggota domain 5 memiliki lebih dari satu pasangan, yakni pada pasangan berurut (5,a) dan (5,b).
Himpunan S bukan termasuk fungsi karena anggota domain 1 memiliki lebih dari satu pasangan, yakni pada pasangan berurut (1,6),(1,5) dan (1,4).
(Jawaban B)

Nomor 7
Diketahui A = {a,b,c} dan B = {1,2,3,4,5}. Banyak pemetaan yang mungkin A ke B adalah...

1. 15
2. 32
3. 125
4. 243

Diketahui:
$\begin{aligned} & A={a,b,c} \\ & B={1,2,3,4,5} \end{aligned}$
Kita peroleh $\begin{aligned} n(A)=3 \end{aligned}$ dan $\begin{aligned} n(B)=5 \end{aligned}$, sehingga banyak pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah
$\begin{aligned} n(B)^{n(A)}=5^{3}=125 \end{aligned}$
(Jawaban C)

Nomor 8
Diketahui A = {faktor dari 6} dan B = {kelipatan 2 yang kurang dari 8}. Banyak pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah...

1. 36
2. 64
3. 81
4. 100

Tuliskan dulu seluruh anggota himpunan A dan B.
$\begin{aligned} & A={1,2,3,6} \\ & B={2,4,6} \end{aligned}$
Kita peroleh $\begin{aligned} n(A)=4 \end{aligned}$ dan $\begin{aligned} n(B)=3 \end{aligned}$, sehingga banyak pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah
$\begin{aligned} n(A)^{n(B)}=4^{3}=64 \end{aligned}$
(Jawaban B)

Nomor 9
Suatu fungsi didefinisikan dengan rumus $\begin{aligned} f(x)=3-5x \end{aligned}$. Nilai $\begin{aligned} f(-4) \end{aligned}$ adalah...

1. -23
2. -17
3. 17
4. 23

Diketahui: $\begin{aligned} f(x)=3-5x \end{aligned}$.
Substitusikan $\begin{aligned} x=-4 \end{aligned}$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(-4)=3-5(-4)=3+20=23 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\begin{aligned} f(-4)=23 \end{aligned}$.
(Jawaban D)

Nomor 10
Diketahui rumus fungsi $\begin{aligned} f(x)=6-3x \end{aligned}$. Nilai dari $\begin{aligned} f(5)+f(-4) \end{aligned}$ adalah...

1. 18
2. 9
3. -15
4. -27

Diketahui: $\begin{aligned} f(x)=6-3x \end{aligned}$.
Substitusikan $\begin{aligned} x=5 \end{aligned}$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(5)=6-3(5)=6-15=-9 \end{aligned}$
Substitusikan $\begin{aligned} x=-4 \end{aligned}$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned} f(-4)=6-3(-4)=6+12=18 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\begin{aligned} f(5)+f(-4)=-9+18=9 \end{aligned}$
(Jawaban B)