30 Soal UTBK/SBMPTN Matematika SAINTEK (Soal dan Pembahasan)

Menyesali nasib tidak akan mengubah keadaan. Terus berkarya, dan bekerjalah yang membuat kita berharga.

Abdurrahman Wahid (Gus Dur)

Nomor 1
Diketahui $a$ dan $b$ adalah dua bilangan positif yang memenuhi $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{13}{36}$. Nilai $ab(a+b)$ adalah...

1. 468
2. 448
3. 368
4. 49
5. 36

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{13}{36} \Leftrightarrow \dfrac{a+b}{ab} = \dfrac{13}{36}$
Sehingga
$\begin{aligned} ab(a+b) & = 36(13) \\ & = 468 \end{aligned}$
(Jawaban A)

Nomor 2
Lingkaran $(x-6)^{2} + (y+1)^{2} = 4$ menyinggung garis $x=4$ di titik...

1. (4, 6)
2. (4, -6)
3. (4, 4)
4. (4, 1)
5. (4, -1)

$(x-6)^{2}+(y+1)^{2}=4$
menyinggung garis $x=4$ sehingga diperoleh:

$\begin{aligned} & \Leftrightarrow &(4-6)^{2} + (y+1)^{2} & = 4 \\ & \Leftrightarrow &4 + (y+1)^{2} & = 4 \\ & \Leftrightarrow &(y+1)^{2} &= 0 \\ & \Leftrightarrow & y & = -1 \end{aligned}$

Jadi, titik singgung di (4, -1).
(Jawaban E)

Nomor 3
Nilai $a$ yang menyebabkan persamaan $9^{x} - a \cdot 3^{x} + a = 0$ mempunyai tepat satu akar nyata adalah...

1. 4
2. 0 atau 4
3. $a < 0$
4. $0 < a < 4$
5. $a<0~\text{atau}~a>4$

$\begin{aligned} & 9^{x} - a \cdot 3^{x} + a = 0 \\ & \Leftrightarrow \left( 3^{x} \right)^{2} - a \left( 3^{x} \right) + a = 0 \end{aligned}$
Persamaan kuadrat akan memiliki satu akar jika $D=0$

$\begin{aligned} D & = b^{2} - 4ac \\ 0 & = a^{2} - 4(1)(a) \\ 0 & = a(a-4) \\ && a=0 \lor a=4 \end{aligned}$

Pilih $a=4$, supaya nilai, $3^{x}>0$.
(Jawaban A)

Nomor 4
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{1-\cos{(x-2)}}}{\sqrt{x^{2}-2x}} = \cdots$

1. 0
2. $\dfrac{1}{2}$
3. $\dfrac{3}{4}$
4. $1$
5. $\infty$

$\begin{aligned} \lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{1-\cos{(x-2)}}}{\sqrt{x^{2}-2x}} & = \lim_{x \to 2} \sqrt{ \dfrac{1 - \cos{(x-2)}}{x^{2} - 2x} } \\ & = \lim_{x \to 2} \sqrt{ \dfrac{2 \sin^{2}{\dfrac{1}{2}(x-2)}}{x(x-2)} } \\ & = \lim_{x \to 2} \sqrt{ \dfrac{2 \sin^{2}{\dfrac{1}{2}(x-2)}}{(x-2)^{2}} \cdot \dfrac{(x-2)}{x} } \\ & = \lim_{x \to 2} \sqrt{ \dfrac{ 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot (x-2)}{x} } \\ & = \sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{2}(2-2)}{2}} \\ & = 0 \end{aligned}$
(Jawaban A)

Nomor 5
Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $g(x)=f(x^{2}+2)$. Jika diketahui bahwa $g'(x)=8$, maka nilai $f'(3)$ adalah...

1. 1
2. 2
3. 4
4. 6
5. 8

$\begin{aligned} & & g(x) &= f(x^{2}+2) \\ & \Rightarrow & g'(x) &= 2x \cdot f'(x^{2}+2) \end{aligned} \\ \begin{aligned} \Rightarrow f'(x^{2} + 2) & = \dfrac{g'(x)}{2x} \\ & = \dfrac{8}{2x} \\ & = \dfrac{4}{x} \end{aligned}$

Untuk $x=1$ diperoleh:
$\begin{aligned} & & f'(x^{2}+2) &= \dfrac{4}{x} \\ & & f'(1^{2}+3) & = \dfrac{4}{1} \\ & & f'(3) & = 4 \end{aligned}$
(Jawaban C)

Nomor 6
Dalam sehari, jumlah koloni suatu bakteri berkurang sebanyak $10 \%$ dari jumlahnya pada awal hari. Jumlah koloni bakteri tersebut akan kurang dari $50 \%$ dari jumlah semula mulai pada hari ke-...

1. 5
2. 6
3. 7
4. 8
5. 9

Misalkan banyak koloni bakteri pada hari ke-$0$ (mula-mula) adalah $M_{0}=100 \% = 1$.
Jumlahnya berkurang $i= 10 \% = 0,1$ per hari. Karena jumlahnya harus kurang dari $M = 50 \% = 0,5$, maka kita tuliskan
$\begin{aligned} M & > M_{0} (1-i)^{n} \\ 0,5 & > 1(1-0,1)^{n} \\ 0,5 & > 0,9^{n} \end{aligned}$
Dengan melakukan perhitungan perpangkatan 9 oleh 7, diperoleh $9^{7}=4.782.969$, sehingga $0,9^{7}=0,478~296~9$. Jadi, nilai $n$ sama dengan 7. Artinya, jumlah koloni bakteri mencapai kurang dari $50 \%$ mulai pada hari ke-7.
(Jawaban C)

Nomor 7
Diketahui sebuah himpunan yang berisikan bilangan-bilangan bulat positif
$$ \{ 1,11,4,9,30,7,8,X \} $$
Banyaknya nilai $X$ sehingga rata-rata bilangan dalam himpunan tersebut merupakan salah satu anggota himpunan itu sendiri adalah...

1. 1
2. 2
3. 4
4. 6
5. 8

Misalkan rata-rata kedelapan bilangan dalam himpunan itu adalah$a$, sehingga
$\begin{aligned} a & = \dfrac{1+11+4+9+30+7+8+X}{8} \\ a & = \dfrac{70+X}{8} \\ 8a & = 70 + X \\ X & = 8a - 70 \end{aligned}$
Karena $X$ adalah bilangan bulat positif, maka nilai $a \geq 9$.
Sekarang, lakukan substitusi nilai $a$ berdasarkan anggota himpunan tersebut.
$\begin{aligned} & a=9 \Rightarrow X = 8(9)-70=2 \\ & a=11 \Rightarrow X = 8(11)-70=18 \\ & a=30 \Rightarrow X = 8(30)-70=170 \\ & a=X \Rightarrow X = 8(X)-70 \Leftrightarrow X=10 \end{aligned}$
Jadi, ada 4 nilai $X$ yang memenuhi, yakni $X \in \{2,10,18,170\}$.
(Jawaban D)

Nomor 8
Salah satu sudut dari suatu segi-$n$ beraturan lebih besar dari $166^{\circ}$, tetapi lebih kecil dari $167^{\circ}$. Interval nilai bulat $n$ yang mungkin sehingga kondisi tersebut dapat terjadi adalah...

1. $26 \leq n \leq 27$
2. $25 \leq n \leq 27$
3. $24 \leq n \leq 26$
4. $17 \leq n \leq 18$
5. $13 \leq n \leq 16$

Besar tiap sudut pada segi-$n$ beraturan dinyatakan oleh
$\begin{aligned} k & = \dfrac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n} \\ & = \dfrac{180^{\circ}n - 360^{\circ}}{n} \\ & = 180^{\circ} - \dfrac{360^{\circ}}{n} \end{aligned}$
Karena nilai $k$ yang diiinginkan berada di antara $166^{\circ}$ dan $167^{\circ}$, maka kita peroleh
$\begin{aligned} 166^{\circ} & < 180^{\circ}-\dfrac{360^{\circ}}{n} < 167^{\circ} \\ -14^{\circ} & < -\dfrac{360^{\circ}}{n} < -13^{\circ} \quad &&(\text{dikurang}~180^{\circ}) \\ 13^{\circ} & < \dfrac{360^{\circ}}{n} < 14^{\circ} && (\text{dikalikan}~ -1) \\ \dfrac{1}{14^{\circ}} & < \dfrac{n}{360^{\circ}} < \dfrac{1}{13^{\circ}} && (\text{pembalikan}) \\ \dfrac{360}{14} & < n < \dfrac{360}{13} \\ 25,71 & < n < 27,69 \end{aligned}$
Catatan: ingat sifat pertidaksamaan, yakni ketika dikalikan bilangan negatif tanda berubah berlawanan, begitu pula pembalikan.
Karena $n$ bulat, maka interval nilai $n$ yang memenuhi berdasarkan pertidaksamaan terakhir adalah $ 26 \geq n \geq 27$
(Jawaban A)

Nomor 9
Terdapat 7 siswa perempuan dan 5 siswa laki-laki dalam suatu kelompok. Akan dipilih seorang ketua dan seorang wakil ketua dari kelompok tersebut dengan syarat minimal terdapat 1 siswa perempuan yang menjadi ketua atau wakil ketua. Banyak cara memilih ketua dan wakil ketua sesuai dengan syarat tersebut adalah...

1. 112
2. 108
3. 88
4. 66
5. 48

Gunakan sifat komplemen peluang, yakni dengan mencari banyak cara memilih ketua dan wakil ketua tanpa syarat, lalu dikurangi banyak cara memilih ketua dan wakil dengan syarat keduanya siswa laki-laki. Banyak cara memilih tanpa syarat (memilih 12 orang untuk menempati 2 jabatan berbeda, artinya menggunakan permutasi) adalah $P^{12}_{2} = \dfrac{12!}{(12-10)!} = 12 \times 11 = 132$.
Sekarang, banyak cara memilih 2 dari 5 siswa laki-laki adalah $P^{5}_{2} = \dfrac{5!}{(5-2)!} = 5 \times 4$.
Dengan demikian, banyak cara memilih ketua dan wakil ketua dengan syarat minimal ada seorang siswa perempuan adalah $132-20=112$.
(Jawaban A)

Nomor 10
Sebuah alas tabung memiliki panjang jari-jari yang sama dengan suatu bola dan tinggi tabung sama dengan panjang diameter bola. Tabung itu akan mempunyai volume sebesar ... dari volume bola.

1. $3$ kali lipat
2. $2$ kali lipat
3. $\dfrac{3}{2}$ kali lipat
4. $\dfrac{4}{3}$ kali lipat
5. jawaban tidak dapat ditentukan

Volume bola berjari-jari $r$ dinyatakan oleh $V_{bola} = \dfrac{4}{3} \pi r^{3}$.
Tabung dengan alas berjari-jari $r$ dan tingginya $2r$ (diameter bola) adalah $V_{tabung} = \pi r^{2}(2r) = 2 \pi r^{3}$.
Dengan demikian, perbandingan volumenya adalah
$\begin{aligned} V_{tabung} : V_{bola} & = 2 \cancel{\pi r^{3}} : \dfrac{4}{3} \cancel{\pi r^{3}} \\ & = 2 : \dfrac{4}{3} \\ & = 1 : \dfrac{2}{3} \end{aligned}$
Jadi, volume tabung sama dengan $1 : \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{2}$ kali lipat volume bola.
(Jawaban C)

Nomor 11
Persamaan lingkaran dengan pusat $(-1,1)$ dan menyinggung garis $3x-4y+12=0$ adalah...

1. $x^{2} + y^{2} + 2x - 2y + 1 = 0$
2. $x^{2} + y^{2} + 2x - 2y - 7 = 0$
3. $4x^{2} + 4y^{2} + 8x - 8y - 17 = 0$
4. $x^{2} + y^{2} + 2x - 2y - 2 = 0$
5. $4x^{2} + 4y^{2} + 8x - 8y - 1 = 0$

Jarak pusat $P(-1,1)$ ke garis singgung,
$3x - 4y + 12 = 0 \\ \begin{aligned} r & = \dfrac{3x_{1} - 4y_{1} + 12}{\sqrt{3^{} + (-4)^{}}} \\ & = \dfrac{3(-1) - 4(1) + 12}{\sqrt{25}} \\ & = 1 \\ C & = a^{2} + b^{2} - r^{2} \\ & = (-1)^{2} + 1^{2} - 1^{2} \\ & = 1 \end{aligned}$
Jadi, persamaan lingkarannya adalah adalah:
$x^{2} + y^{2} + 2x - 2y + 1 = 0$.
(Jawaban A)

Nomor 12
$\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x) + \dfrac{1}{g(x)} \right) = 4$ dan
$\displaystyle \lim_{x \to a} \left( f(x) - \dfrac{1}{g(x)} \right) = -3$,
maka $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) g(x) = \cdots$

1. $\dfrac{1}{14}$
2. $\dfrac{2}{14}$
3. $\dfrac{3}{14}$
4. $\dfrac{4}{14}$
5. $\dfrac{5}{14}$

Misal $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = a$ dan $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \dfrac{1}{b}$ maka:
$\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to a} \left( f(x) + \dfrac{1}{g(x)} \right) & = a+b = 4 \quad && \text{...(1)} \\ \lim_{x \to a} \left( f(x) - \dfrac{1}{g(x)} \right) & = a-b = -3 && \text{...(2)} \end{aligned}$
Dari (1) dan (2) diperoleh,
$\begin{aligned} & 2a=1 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2} \\ \Rightarrow & \text{(1)...}~\dfrac{1}{2} + b = 4 \Leftrightarrow b = \dfrac{7}{2} \end{aligned} \\ \begin{aligned} \lim_{x \to a} f(x) g(x) & = a \cdot \dfrac{1}{b} \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{7} \\ & = \dfrac{2}{14} \end{aligned}$
(Jawaban B)

Nomor 13
Jika $\displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{f \left( x^{3} \right) - f \left( a^{3} \right)}{x-a}=-1$ maka $f'(1)=\cdots$

1. $-1$
2. $-\dfrac{1}{3}$
3. $\dfrac{1}{3}$
4. $1$
5. $2$

$\displaystyle \begin{aligned} & \lim_{x \to a} \dfrac{f \left( x^{3} \right) - f \left( a^{3} \right)}{x-a}=-1 \\ & \Leftrightarrow \lim_{x \to a} \dfrac{3x^{2} f' \left( x^{3} \right)}{1}=-1 \end{aligned}$
Ingat dalil L'Hospital:
$\begin{aligned} & \leftrightarrow & 3x^{2} f' \left( a^{3} \right) & =-1 \\ & \leftrightarrow & f' \left( a^{3} \right) & = \dfrac{-1}{3x} \\ & \Leftrightarrow & f'(1) & = \dfrac{-1}{3(1)} \\ & \Leftrightarrow & & =-\dfrac{1}{3} \end{aligned}$
(Jawaban B)

Nomor 14
Nilai dari $\int 4 \sin^{2}{2x \cos{x}} dx = \cdots$

1. $2 \sin{x} - \dfrac{1}{5} \sin{5x} + \dfrac{1}{3} \sin{3x} + C$
2. $-2 \sin{x} + \dfrac{1}{5} \sin{5x} + \dfrac{1}{3} \sin{3x} + C$
3. $-2 \sin{x} + \dfrac{1}{5} \sin{5x} - \dfrac{1}{3} \sin{3x} + C$
4. $2 \sin{x} - \dfrac{1}{5} \sin{5x} - \dfrac{1}{3} \sin{3x} + C$
5. $2 \sin{x} + \dfrac{1}{5} \sin{5x} - \dfrac{1}{3} \sin{3x} + C$

$\begin{aligned} & 4 \sin^{2} 2x \cos{x} \\ & \Leftrightarrow 4 \cdot \dfrac{1}{2} (1-\cos{4x})\cos{x} \\ & \Leftrightarrow 2 \cos{x} - 2 \cos{4x} \cos{x} \\ & \Leftrightarrow 2 \cos{x} - (\cos{(4x+x)} + \cos{(4x-x)}) \\ & \Leftrightarrow 2 \cos{x} - \cos{5x} - \cos{3x} \end{aligned}$
Dengan demikian:
$\begin{aligned} & \int 4 \sin^{2}{2x} \cos{x} dx \\ & \Leftrightarrow \int (2 \cos{x} - \cos{5x} - \cos{3x})dx \\ & \Leftrightarrow 2 \sin{x} - \dfrac{1}{5} \sin{5x} - \dfrac{1}{3} \sin{3x} + C \end{aligned}$
(Jawaban D)

Nomor 15
Fungsi $f(x) = -2 \sqrt{\sin{x} - \dfrac{x}{2} + 5}$, $-5 < x < 5$ turun pada interval...

1. $-\dfrac{\pi}{3} < x < \dfrac{\pi}{3}$
2. $- \dfrac{-2 \pi}{3} < x < \dfrac{2 \pi}{3}$
3. $0 < x < \pi$
4. $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$
5. $0 < x < \dfrac{5 \pi}{6}$

Syarat fungsi turun adalah jika $f'(x) < 0$.
$\begin{aligned} f(x) & = -2 \sqrt{\sin{x} - \dfrac{x}{2} + 5} \\ f(x) & = -2 \left( \sin{x} - \dfrac{x}{2} + 5 \right)^{\frac{1}{2}} \\ f'(x) & = a \cdot n \cdot u' \cdot u^{n-1} \\ f'(x) & = -1 \left( \cos{x}-\dfrac{1}{2} \right) x \left( \sin{x} - \dfrac{x}{2} + 5 \right)^{\frac{1}{2}} \\ f'(x) & = \dfrac{\dfrac{1}{2}-\cos{x}}{\sqrt{\sin{x}-\dfrac{x}{2}+5}} \end{aligned}$
Pembentuk nol dari $f'(x)$ adalah:
$\dfrac{1}{2} - \cos{x} = 0 \Rightarrow x = \pm \dfrac{\pi}{3}$.
(Jawaban A)

Nomor 16
Diketahui bahwa $f \left( x^{n} \right) = n^{2} f(x)$ dan $f(p) = p$ untuk setiap bilangan prima $p$. Nilai
$f(125) + f(2) - f(9) + f(81) + f(7)$ adalah...

1. 0
2. 30
3. 90
4. 100
5. 206

$\begin{aligned} & f(125) + f(2) - f(9) + f(81) + f(7) \\ & = f \left( 5^{3} \right) + f(2) - f \left( 3^{2} \right) + f \left( 3^{4} \right) + f(7) \\ & = 3^{2} f(5) + f(2) - 2^{2} f(3) + 4^{2} f(3) + f(7) \\ & = 9 f(5) + f(2) + 12 f(3) + f(7) \\ & = 9(5) + 2 + 12(3) + 7 \\ & = 45 + 2 + 36 + 7 \\ & = 90 \end{aligned}$
(Jawaban C)

Nomor 17
Perhatikan barisan bilangan dengan pola tertentu berikut.
$$2,4,12,16,30,36,56,x,y$$
Nilai $y-x$ adalah...

1. 42
2. 36
3. 26
4. 20
5. 15

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} 2 & = 1^{2} + 1 \\ 4 & = 2^{2} \\ 12 & = 3^{2} + 3 \\ 16 & = 4^{2} \\ 30 & = 5^{2} + 5 \\ 36 & = 6^{2} \\ 56 & = 7^{2} + 7 \end{aligned}$$
Dengan mengikuti pola tersebut, diperoleh $x = 8^{2} = 64$ dan $y = 9^{2}+9=90$, sehingga $y-x=90-64=26$
(Jawaban C)

Nomor 18
Perhatikan barisan bilangan dengan pola tertentu berikut.
$$1,3,6,11,18,x,42,59,y, \cdots$$
Nilai $2y+x$ adalah...

1. 183
2. 185
3. 187
4. 189
5. 191

Dimulai dari suku kedua, polanya adalah ditambah dengan bilangan prima dimulai dari 2 secara berurutan.
$$\begin{aligned} 1 + \color{red}{2} & = 3 \\ 3 + \color{red}{3} & = 6 \\ 6 + \color{red}{5} & = 11 \\ 11 + \color{red}{7} & = 18 \\ 18 + \color{red}{11} & = 29 \\ 29 + \color{red}{13} & = \color{blue}{42} \\ 42 + \color{red}{17} & = 59 \\ 59 + \color{red}{19} & = \color{blue}{78} \end{aligned}$$
Kita peroleh $x = 29$ dan $y=78$, sehingga $2y+3 = 2(78)+29=185$
(Jawaban B)

Nomor 19
Perhatikan gambar dengan pola bilangan tertentu berikut.

Nilai $x$ yang tepat mengikuti pola adalah...

1. 99
2. 105
3. 120
4. 125
5. 144

Pola: Bilangan di bagian bawah didapat dari hasil kali tiga bilangan lainnya dikurangi jumlah tiga bilangan lainnya.
Pada gambar 1:
$$(1 \cdot 2 \cdot 3) - (1+2+3) = 6-6 = 0$$
Pada gambar 2:
$$(2 \cdot 3 \cdot 4)-(2+3+4) = 24 - 9 = 15$$
Pada gambar 3:
$$(3 \cdot 4 \cdot 5)-(3+4+5) = 60-12=48 $$
Pada gambar 4:
$$\begin{aligned} x & = (4 \cdot 5 \cdot 6)-(4+5+6) \\ & = 120-15 \\ & = 105 \end{aligned}$$
(Jawaban B)

Nomor 20
Perhatikan gambar berikut.

Nilai $x$ yang memenuhi pola pada gambar di atas adalah...

1. 11
2. 12
3. 13
4. 14
5. 15

Pola: Bilangan di kanan dikurangi 1, lalu dikuadratkan, sama dengan jumlah dua bilangan lainnya dikurangi 1.
Pada gambar pertama,
$(7-1)^{2} = 18 + 19 -1 =36$
Pada gambar kedua,
$(10-1)^{2} = 38 + 44 - 1 = 81$
Pada gambar ketiga,
$$\begin{aligned} (x-1)^{2} & = 125 + 72 - 1 \\ (x-1)^{2} & = 196 \\ x-1 & = \pm 14 \\ x & = \pm 14 + 1 \\ x=-13 & \lor x=15 \end{aligned}$$
Berdasarkan opsi yang tersedia: nilai $x=15$.
(Jawaban E)

Nomor 21
Jika $A(x) = \dfrac{1}{2} (p^{x}-p^{-x})$, $B(x) = \dfrac{1}{2} (p^{x}+p^{-x})$ dengan $p > 1$, maka $B(nx)=\cdots$

1. $\left( B(x)-A(x) \right)^{\frac{1}{x}} + A \left( \dfrac{x}{n} \right)$
2. $\left( B(x)-A(x) \right)^{\frac{1}{x}} + A(nx)$
3. $\left( B(x)-A(x) \right)^{n} + A(nx)$
4. $\left( A(x)-B(x) \right)^{n} + A(nx)$
5. $\left( A(x)-B(x) \right)^{n} + A \left( \dfrac{x}{n} \right)$

$B(x) = \dfrac{1}{2} (p^{x}+p^{-x}) = \dfrac{1}{2}p^{x} + \dfrac{1}{2}p^{-x} \\ A(x) = \dfrac{1}{2} (p^{x}-p^{-x}) = \dfrac{1}{2}p^{x} - \dfrac{1}{2}p^{-x} \\ B(x)-A(x) = p^{-x} \\ B(x)=p^{-x} + A(x) \\ \begin{aligned} B(nx) & = p^{-nx} + A(nx) \\ & = \left( p^{-x} \right)^{n} + A(nx) \\ & = \left( B(x)-A(x) \right)^{n} + A(nx) \end{aligned}$
(Jawaban C)

Nomor 22
Misalkan $f(x) = 3x^{4} - 4x^{3} + 2$. Jika nilai minimum dan maksimum $f(x)$ pada $-2 \leq x \leq 2$ berturut-turut adalah $m$ dan $M$, maka $m+M=\cdots$

1. 3
2. 19
3. 20
4. 83
5. 100

$f(x)$ mencapai stasioner saat $f'(x)=0$.
$\begin{aligned} f(x) & = 3x^{4} - 4x^{3} + 2 \\ f'(x) & = 12x^{3} - 12x^{2} \\ f'(x) & = 12x^{2}(x-1) \\ 0 & = 12x^{2}(x-1) \\ x=0 & \lor x=1 \end{aligned}$
Karena nilai $x$ pada interval $-2 \leq x \leq 2$ maka digunakan nilai $x$ pada batas interval dan saat stasioner.
$\begin{aligned} f(-2) & = 3(-2)^{4} - 4(-2)^{3} + 2 \\ & = 82 \quad && \text{...(maks)} \\ f(0) & = 3(0)^{4} - 4(0)^{3} + 2 \\ & = 2 \\ f(1) & = 3(1)^{4} - 4(1)^{3} + 2 \\ & = 1 && \text{...(min)} \\ f(2) & = 3(2)^{4}-4(2)^{3}+2 \\ & = 18 \end{aligned}$
Jadi, nilai $m+M=1+82=83$.
(Jawaban D)

Nomor 23
Misalkan $A(t^{2}+1,t)$ dan $B(1,2)$ sehingga panjang vektor proyeksi $\overrightarrow{OA}$ terdapat $\overrightarrow{OB}$ lebih dari $\dfrac{4}{\sqrt{5}}$, maka nilai $t$ yang mungkin adalah...

1. $-3 < t < 1$
2. $t < -1 ~\text{atau}~ t > 3$
3. $t < -3 ~\text{atau}~ t > 1$
4. $-1 < t < 3$
5. $1 < t < 3$

Panjang vektor proyeksi $\overrightarrow{OA}$ terhadap $\overrightarrow{OB}$ lebih dari $\dfrac{4}{\sqrt{5}}$, sehingga:
$\begin{aligned} & \dfrac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{\left\vert \overrightarrow{OB} \right\vert} > \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{t^{2}+1+2t}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}} > \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\ & \Leftrightarrow t^{2}+2t+1 > 4 \\ & t^{2}+2t-3 > 0 \\ & \Leftrightarrow (t+3)(t-1) > 0 \\ & t={-3,1} \end{aligned}$
Karena tanda persamaan $>$, maka penyelesaian dengan posisi ada pinggir pembentuk nolnya (menggunakan kata hubung):
$t < -3 ~\text{atau}~ t > 1$
(Jawaban C)

Nomor 24
Jika $u_{1},u_{2},u_{3}, \cdots$ adalah barisan geometri yang memenuhi $u_{3} - u_{6} = x$ dan $u_{2} - u_{4} = y$, maka $\dfrac{x}{y}=\cdots$

1. $\dfrac{(r^{3} - r^{2} - r)}{(r-1)}$
2. $\dfrac{(r^{3} - r^{2} + r)}{(r-1)}$
3. $\dfrac{(r^{3} + r^{2} + r)}{(r+1)}$
4. $\dfrac{(r^{3} + r^{2} - r)}{(r-1)}$
5. $\dfrac{(r^{3} - r^{2} + r)}{(r+1)}$

$\begin{aligned} u_{3} - u_{6} & = ar^{2} - ar^{5} \\ & = ar^{2}(1-r^{3}) \\ x & = ar^{2}(1-r)(1+r+r^{2}) \\ u_{2} - u_{4} & = ar - ar^{3} \\ & = ar(1-r^{2}) \\ y & = ar(1-r)(1+r) \end{aligned}$
Dengan demikian:
$\begin{aligned} \dfrac{x}{y} & = \dfrac{ar^{2}(1-r)(1+r+r^{2})}{ar(1-r)(1+r)} \\ & = \dfrac{r(1+r+r^{2})}{1+r} \\ & = \dfrac{(r+r^{2}+r^{3})}{(1+r)} \end{aligned}$
(Jawaban C)

Nomor 25
Nilai $x$ antara $0$ dan $\pi$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sin{2x}+\cos{x} \geq 0$ adalah...

1. $\dfrac{\pi}{4} \leq x \leq \dfrac{\pi}{3}$
2. $\dfrac{\pi}{4} \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$
3. $0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{3}$
4. $\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \dfrac{3 \pi}{4}$
5. $\dfrac{\pi}{4} \leq x \leq \dfrac{3 \pi}{4}$

$\begin{aligned} & \sin{2x} + \cos{x} \geq 0 \\ & \Leftrightarrow 2 \sin{x} \cos{x} + \cos{x} \geq 0 \\ & \Leftrightarrow \cos{x}(2 \sin{x} + 1) \geq 0 \end{aligned}$
Pembentuk nol pertidaksamaan adalah:
$\begin{aligned} \text{(i)...} \quad & 2 \sin{x} + 1=0 \\ & \Leftrightarrow \sin{x}=-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Nilai $x$ ada di kuadran III:
(di luar daerah interval $0 \leq x \leq \pi$) sehingga diabaikan.
$\text{ii)...} \quad \cos{x}=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}$
(Jawaban C)

Nomor 26
Perhatikan gambar berikut.

Nilai $z$ yang memenuhi pola pada gambar di atas adalah...

1. 55
2. 51
3. 47
4. 44
5. 42

Pola: Bilangan di kanan bawah ditambah dua kali dari hasil pengurangan bilangan kiri bawah terhadap bilangan atas sama dengan bilangan di tengah.
Pada gambar pertama,
$4+2(8-5)=4+6=10$
Pada gambar kedua,
$30+2(34-27)=30+14=44$
Pada gambar ketiga,
$\begin{aligned} 47+2(42-z) & = 29 \\ 2(42-z) & = -18 \\ 42-z & = -9 \\ z & = 51 \end{aligned}$
Jadi, nilai $z$ sesuai pola adalah 51.
(Jawaban B)

Nomor 27
Jika $x=3p$, $y=2p$, dan $z=6p$. Maka...

1. $y > x > z$
2. $z=x+y$
3. $z > x > y$
4. $x=y=z$
5. hubungan $x,y,z$ tidak dapat ditentukan

Untuk $p > 0$ berlaku $\color{red}{z > x > y}$, namun untuk $p=0$ berlaku $\color{red}{x=y=z=0}$. Sedangkan untuk $p < 0$ berlaku $\color{red}{y > x > z}$. Ini menunjukkan bahwa hubungan ketiganya tidak dapat ditentukan secara pasti.
(Jawaban E)

Nomor 28
Perhatikan gambar segitiga berikut.

Jika $DE = 3~\text{cm}$, maka panjang $AB$ dalam satuan cm adalah...

1. $3 \sqrt{2}$
2. $6$
3. $6 \sqrt{2}$
4. $9$
5. $9 \sqrt{2}$

Pada segitiga dengan sudut $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$, perbandingan panjang sisinya adalah $1 : \sqrt{3} : 2$.
Perhatikan $\triangle DEC$. Karena $DE = 3~\text{cm}$, maka $CD = 3 \times 2 = 6~\text{cm}$.
Sekarang tinjau segitiga $CDB$. Segitiga ini adalah sama kaki (karena dua sudutnya sama besar), sehingga $CD=BD=6~\text{cm}$.
Akibatnya, $BE=BD+DE=6+3=9~\text{cm}$.
Pada segitiga dengan sudut $45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}$, perbandingan panjang sisinya adaah $1 : 1 : \sqrt{2}$.
Perhatikan segitiga $ABE$.
Karena $BE=9~\text{cm}$, maka $AB = 9 \times \sqrt{2} = 9 \sqrt{2}~\text{cm}$, berdasarkan perbandingan tersebut.
Catatan: Trigonometri juga dapat dipakai sebagai alternatif untuk menyelesaikan soal ini.
(Jawaban E)

Nomor 29
Jika $x = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$, maka nilai dari $4x^{3} + 6x^{2} + 2$ adalah...

1. $\dfrac{1}{2}$
2. $1$
3. $2$
4. $3$
5. $4$

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} x & = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2} \\ 2x & = \sqrt{3}-1 \\ (2x)^{2} & = \left( \sqrt{3} - 1 \right)^{2} \\ 4x^{2} & = 3 - 2 \sqrt{3} + 1 \\ 4x^{2} & = 4 - 2 \sqrt{3} \\ 2x^{2} & = 2 - \sqrt{3} \end{aligned}$$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} 4x^{3} + 6x^{2} + 2 & = 2x^{2}(2x+3)+2 \\ & = (2 - \sqrt{3}) \left( \cancel{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}-1}{\cancel{2}} + 3 \right) \\ & = (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})+2 \\ & = (4-3)+2 \\ & = 3 \end{aligned}$
(Jawaban D)

Nomor 30
Diketahui $A$ adalah himpunan beberapa jajaran genjang dan $B$ adalah himpunan beberapa belah ketupat. Apakah himpunan $A$ dan $B$ memiliki irisan?
(1). Untuk setiap jajaran genjang di $A$, nilai kelilingnya merupakan kelipatan empat.
(2). Apabila kita mengalikan nilai panjang keempat sisi pada setiap jajar genjang di $A$, maka hasilnya selalu merupakan bilangan kuadrat.

1. Pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (2) SAJA tidak cukup.
2. Pernyataan (2) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (1) SAJA tidak cukup.
3. Dua pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU pernyataan SAJA tidak cukup.
4. Salah satu pernyataan SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan.
5. Pernyataan (1) dan pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.

Agar $A$ dan $B$ memiliki irisan, maka berdasarkan pernyataan yang diberikan, harus ditemukan jajaran genjang pada $A$ yang semua sisinya sama panjang supaya memenuhi sifat belah ketupat.
Cek pernyataan (1).
Misalkan panjang dua sisi jajaran genjang yang tidak berseberangan adalah $a$ dan $b$ sehingga kelilingnya $2(a+b)$, maka untuk suatu bilangan bulat $k$, haruslah
$$\begin{aligned} 2(a+b) & =4k \\ a+b & = 2k \end{aligned}$$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $a$ tidak harus sama dengan $b$ agar diperoleh bilangan genap. Ambil contoh, $a=7$ dan $b=5$. Jadi, sisinya belum tentu sama panjang, sehingga pernyataan (1) belum cukup menjawab pertanyaan.
Cek pernyataan (2).
Misalkan $a=7$ dan $b=5$ adalah panjang sisi jajaran genjang yang tidak berseberangan, maka hasil kali panjang sisinya menjadi $a^{2}b^{2}=(ab)^{2}$ yang jelas merupakan bilangan kuadrat, namun tidak mengharuskan $a=b$. Sebagai contoh, $a=9$ dan $b=4$. Jadi, sisinya belum tentu sama panjang, sehingga pernyataan (2) belum cukup menjawab pertanyaan.
Dapat disimpulkan bahwa pernyataan (1) dan pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
(Jawaban E)