NkuCQmWxWJeSXeuAqt7LBjq580vp0ecgQCp0WTk2

Bilangan - Materi Kelas 7 Matematika SMP Kurikulum 2013

Matematika Kelas 7 SMP: Bilangan



Bilangan merupakan konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Misalnya, menghitung jarak, keuangan, berat, suhu, dan sebagainya. Bilangan sendiri memiliki berbagai jenis seperti bilangan real, bilangan imajiner, bilangan bulat, bulangan rasional (bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan), dan masih banyak lagi, yang satu sama lain saling berkaitan adanya. Akan tetapi, pembelajaran bilangan pada tingkat sekolah menengah pertama atau SMP kita mulai dengan berfokus pada Bilangan Bulat dan beberapa jenis bilangan lain di bawah naungannya.

Pengertian: Bilangan Bulat

Bilangan Bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan negatif ($..., -2, -1$), nol ($0$), dan bilangan positif ($1,2,...$).

Jenis bilangan (positif) yang terdapat dalam bilangan bulat:

1. Bilangan Asli

Dimulai dari $ 1 $, yaitu $ 1,2,3,... $.

2. Bilangan Cacah

Dimulai dari $ 0 $, yaitu $ 0,1,2,... $.

3. Bilangan Genap

$ 2,4,6,... $.
Yaitu, bilangan positif yang habis dibagi $ 2 $(tidak bersisa ketika dibagi 2). Maksud dari bersisa atau tidak habis adalah misalnya bilangan $ 3 : 2 $ hasilnya $ 1 $ sisa $ 1 $ ketika dibagi $ 2 $, maka bukan genap.

4. Bilangan Ganjil

$ 1, 3,5,... $
Yaitu, kebalikan bilangan genap (tidak habis dibagi $ 2 $).

5. Bilangan Prima

$ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,... $
Yaitu, bilangan bulat positif yang hanya habis dibagi $ 1 $ dan bilangan itu sendiri.


Operasi Hitung

Mengingat garis bilangan.

Gambar Garis Bilangan

Dari garis bilangan tersebut, kita bisa menentukan hubungan antara dua bilangan bahwa bilangan di sebelah kiri lebih kecil dibanding bilangan sebelah kanan dan sebaliknya. Mungkin kamu sendiri telah mengetahuinya, bilamana dasar operasi penjumlahan dan pengurangan adalah berasal dari pergeseran ke arah kanan untuk penjumlahan bilangan positif dan ke kiri untuk pengurangan bilangan positif.

Mungkin kamu bertanya bagaimana prinsip di garis bilangan untuk operasi terdapat bilangan negatif? Seperti misalnya diberikan masalah $ 5 + (-2) $. Secara langsung mungkin kita bisa menjawab tanpa harus membayangkan prinsip garis bilangan, yaitu dengan jawaban $ 3 $. Akan tetapi, akan lebih matang lagi pemahaman kita bila paham prinsip kerja garis bilangan.

Bagaimana kamu berhasil memahami prinsip garis bilangan? Bagus! Permulaan yang lumayan jika kamu telah menyadarinya bahwa pada suatu bilangan yang dijumlahkan dengan bilangan negatif maka titik garis bilangan akan bergeser ke arah kiri (menjadi berkurang). Baiklah, selanjutnya kami akan memaparkan prinsip garis bilangan pada operasi hitung lengkap dengan rumus-rumus cepat untuk menghitung seperti biasa.

1.1 Penjumlahan

Bilangan yang dijumlahkan akan digambarkan dalam garis bilangan dengan perpindahan sesuai bilangan yang akan dijumlah atau ditambahkan. Perhatikan bentuk-bentuk penjumlahan dalam garis bilangan di bawah ini.

Gambar 1 Penjumlahan Garis Bilangan
Gambar 2 Penjumlahan Garis Bilangan

Meskipun demikian, kami mungkin bisa secara langsung memberitahu kamu sifat-sifat penjumlahan tanpa harus ribet berpikir konsep. Hal itu tidak memberikanmu gambaran cara kerja dan bisa mengurangi proses penalaran yang sebenarnya lebih bermanfaat panjang dibandingkan cara cepat atau rumus cepat. Tapi, kami tetap memberikan cara cepat dengan rekomendasi agar digunakan setelah memahami konsep terlebih dahulu.

Sifat: Penjumlahan

  • $ a+b=b+a $
  • $ a+(-b)=a-b $
  • $ -a+b=b-a $
  • $ -a+(-b)=-a-b $

Sebuah kapal selam berada pada kedalaman $ 325 \text{ m} $ di bawah permukaan laut, dan sebuah pesawat terbang berada pada ketinggian $ 745 \text{ m} $ di atas permukaan laut. Jarak antara kapal selam dan pesawat tersebut adalah...

PEMBAHASAN
Diketahui:

  • jarak kapal selam ke permukaan laut: $ a = \text{ 325 m} $
  • jarak pesawat ke permukaan laut: $ b = \text{ 745 m} $
Ditanya:
  • jarak kapal selam ke pesawat: $ a+b=..? $
Dijawab:

$ a+b=325+745 $
$ \Leftrightarrow a+b=\text{1.078 m} $

1.2 Pengurangan

Pengurangan merupakan operasi hitung lawan dari penjumlahan. Artinya, dengan pemahaman garis bilangan, maka jika bilangan pengurangnya adalah bilangan bulat positif maka arah pergeseran (nilai hasil) ke kiri, dan bila pengurangnya bernilai negatif arah panah ke kanan. Kami akan menyajikan lagi untuk kamu dalam bentuk garis bilangan, seperti di bawah ini.

Gambar 1 Pengurangan Garis Bilangan
Gambar 2 Pengurangan Garis Bilangan
Sifat: Pengurangan

  • $ a-b \ne b-a $
  • $ a-(-b) = a+b $
  • $ -a-b=-(a+b) $
  • $ -a-(-b)=-a+b $

Dari ramalan cuaca kota-kota besar di dunia tercatat suhu tertinggi dan terendah adalah sebagai berikut:

  • Moskow: terendah $ -5^{\circ}C $ dan tertinggi $ 18^{\circ}C $
  • Mexico: terendah $ 17^{\circ}C $ dan tertinggi $ 34^{\circ}C $
  • Paris: terendah $ -3^{\circ}C $ dan tertinggi $ 17^{\circ}C $
  • Tokyo: terendah $ -2^{\circ}C $ dan tertinggi $ 25^{\circ} $.
Perubahan suhu terbesar terjadi di kota...

PEMBAHASAN
Diketahui:

Kota Suhu Terendah $ \text{( } ^{\circ}C \text{)} $ Suhu Tertinggi $ \text{( } ^{\circ}C \text{)} $
Moskow -5 18
Mexico 17 34
Paris -3 17
Tokyo -2 25

Ditanya:

  • perubahan suhu terbesar = ...?
Dijawab:

Kota Suhu Terendah $ \text{( } ^{\circ}C \text{)} $ Suhu Tertinggi $ \text{( } ^{\circ}C \text{)} $ Perubahan Suhu $ \text{( } ^{\circ}C \text{)} $
Moskow -5 18 $ 18-(-5)=23 $
Mexico 17 34 $ 34-17=17 $
Paris -3 17 $ 17-(-3)=20 $
Tokyo -2 25 $ 25-(-2)=27 $

Sehingga, perubahan suhu terbesar terjadi di Kota Tokyo.

1.3 Perkalian

Perkalian sebenarnya adalah bentuk kompleks (banyak) dari operasi penjumlahan dengan bilangan sama sebanyak $ n $ kali. Dengan kata lain dalam bentuk rumus, misalkan $ n $ dan $ a $ adalah bilangan bulat maka:

Pengertian: Perkalian

$ n \times a=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n} $

Seperti ini misalnya:

$ 4 \times 6=6+6+6+6=24 $
$ 3 \times (-5)=(-5)+(-5)+(-5)=-15 $

Berikut ini kami sajikan sifat-sifat bentuk perkalian yang harus kalian kuasai dalam Bab Bilangan.

Sifat: Perkalian

  • $ a \times b=ab $
  • $ a \times (-b)=-ab $
  • $ -a \times b=-ab $
  • $ -a \times (-b)=ab $

1.4 Pembagian

Pembagian merupakan operasi invers (kebalikan) dari perkalian, berlaku juga sifatnya seperti perkalian.

Sifat: Pembagian

  • $ a : b = \frac{a}{b} $
  • $ a : (-b) = -\frac{a}{b} $
  • $ -a : b = -\frac{a}{b} $
  • $ -a : (-b) = \frac{a}{b} $

Untuk membuktikan pernyataan bahwa pembagian merupakan kebalikan perkalian, cobalah lihat pernyataan matematika di bawah ini:

$ 4 \times 6 = 24 \Leftrightarrow 24 : 4=6 \text{ atau } 24 : 6=4 $
$ 3 \times (-5)=-15 \Leftrightarrow -15 : 3=-5 \text{ atau } -15 : (-5)=3 $

Catatan:

  • $ a : 0 = \text{tidak terdefinisi} $
  • $ 0 : a=0 $

1.5 Hitung Campuran

Berikut adalah urutan operasi yang dihitung terlebih dahulu jika kita mendapati terdapat berbagai macam operasi bilangan sekaligus.

  1. Bilangan dalam kurung (...)
  2. Kuadrat atau akar (akan diperkenalkan nanti)
  3. Perkalian atau pembagian
  4. Penjumlahan atau pengurangan

Dalam suatu permasalahan perhitungan melibatkan banyak faktor atau barang di kehidupan, kita tentunya akan kewalahan jika hanya mengandalkan penjumlahan atau pengurangan manual satu per satu. Sehingga pikiran manusia cenderung akan mencari-cari sebuah cara yang menghemat waktu dan pikiran, namun memiliki hasil yang tetap akurat. Kita tentu akan menggunakan berbagai macam operasi hitung, mari kita melihat ke bawah ini.

1. $ 5+12:3-8 \times 2 $ = ...?
$ = 5+[12:3]+[-8 \times 2] $
$ =5+4-16 $
$ =-7 $

2. $ 24:(10-6)+17 \times (-3) $ =...?
$ = [24:(10-6)]+[17 \times (-3)] $
$ = 6-51 $
$ =-45 $

3. $ 20+(-72):12 \times 3-15 $ =...?
$ =20+[(-72):12 \times 3]-15 $
$ =20-18-15 $
$ =-13 $

Operasi "*" berarti kalikan pertama dengan $ 2 $ kali bilangan kedua, kemudian tambahkan hasilnya dengan $ 5 $ kali bilangan kedua. Hasil dari $ 8*(-6) $ adalah ...

PEMBAHASAN
Diketahui:
$ a*b $ adalah kalikan bilangan pertama (kita misalkan: $ a $) dengan 2 kali bilangan kedua ($ b $), kemudian tambahkan hasilnya dengan 5 kali bilangan kedua ($ b $). Sehingga rumuskan menjadi sederhana:

  • $ a*b=(a\times2b)+5b $

Ditanya:
  • $ 8*(-6)=..? $

Dijawab:

$ a*b=(a \times 2b)+5b $
$ \Leftrightarrow 8*(-6)=(8 \times 2(-6))+5(-6) $
$ \Leftrightarrow 8*(-6)=-96+(-30) $
$ \Leftrightarrow 8*(-6)=-126 $

1.6 Pembulatan

Pengertian: Pembulatan

Pembulatan ($ \approx $) - atau kadang disebut: aproksimasi, penaksiran - adalah penambahan atau pengurangan bilangan menjadi angka terdekat. Misalnya: puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya.

Pembulatan sangat berguna dalam hal-hal perencanaan terutama untuk antipasi jumlah yang belum benar-benar pasti atau untuk mempermudah perhitungan. Kita biasa melakukan hal ini ketika akan membeli sesuatu, anggaran biaya sedikit kita lebihkan karena belum tahu pasti harga suatu barang. Begitu pula dalam perencanaan anggaran suatu acara, dan masih banyak lagi dalam kehidupan. Namun, yang utama dari pembulatan adalah angka tersebut menjadi lebih sederhana (misalnya: desimal berulang, katakanlah $ 2,1666... $ kita bisa bulatkan menjadi lebih sederhana: $ 2,17 $), tentu angka pembulatan bukanlah angka sebenarnya oleh karena itu tujuan pembulatan adalah mengubah suatu angka -dalam penerapan profesional biasanya angka yang rumit- menjadi lebih sederhana dengan ketepatan yang sedikit dikurangi.

Aturan Dasar Pembulatan:

Misalkan kita beri anggapan $ a $ adalah angka pembulat. Prinsipnya ketika misalkan akan membulatkan ke puluhan terdekat, maka angka pembulat berasal dari satuan: $ 25 $ maka $ a=5 $; kemudian lagi, ketika akan membulatkan ke ratusan terdekat maka angka pembulat dari puluhan: 167, maka $ a=6 $; begitu seterusnya.
  • Jika $ a < 5 $, maka jadikanlah nol bilangan $ a $ dan semua bilangan dibelakangnya
  • Jika $ a \ge 5 $, maka tambahkan angka $ 1 $ bilangan di depan $ a $ dan jadikan nol semua bilangan dibelakangnya

Lihatlah beberapa contoh di bawah ini.
1. Bulatkan ke puluhan terdekat

  1. $ 73 $
  2. $ 78 $
  3. $ 151 $

PEMBAHASAN

1. Pembulatan ke puluhan terdekat
a. $ 73 \approx 70 $
b. $ 78 \approx 80 $
c. $ 151 \approx 150 $

2. Bulatkan ke ratusan terdekat

  1. $ 73 $
  2. $ 78 $
  3. $ 151 $

PEMBAHASAN

2. Pembulatan ke ratusan terdekat
a. $ 73 \approx 100 $
b. $ 78 \approx 100 $
c. $ 151 \approx 200 $

Sifat Operasi Hitung

2.1 Tertutup

Sifat tertutup berlaku untuk setiap:

  • penjumlahan
  • pengurangan
  • perkalian

di mana operasi hitung bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat juga, sehingga dikatakan tertutup. Perbedaan untuk sifat terbuka, dikatakan terbuka adalah jika operasi bilangan bulat menghasilkan jenis bilangan lain. Pembagian bukan termasuk tertutup karena operasinya bisa menghasilkan bilangan pecahan.

Untuk pemahaman yang lebih baik lihatlah beberapa contoh ini.

1. $ 5+10=15 $ (penjumlahan bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat pula: tertutup)
2. $ 4-7=-3 $ (pengurangan bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat: tertutup)
3. $ 4 \times (-7)=-28 $ (perkalian bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat pula: tertutup)
4. $ 3:4=\frac{3}{4} $ (pembagian bisa menghasilkan selain bilangan bulat, yakni pecahan: terbuka)

2.2 Komutatif

Komutatif adalah sifat pertukaran, dan hanya berlaku untuk operasi:

  • penjumlahan
  • perkalian

Sifat: Komutatif

$ a+b=b+a $
$ a \times b = b \times a $

Beberapa penerapan langsung memberikan kita pemahaman lebih baik, mari kita coba lihat buktinya di bawah ini.

1. $ 8+(-3) $
$ 8+(-3)=5 \Leftrightarrow (-3)+8=5 $

2. $ 8 \times (-3) $
$ 8 \times (-3)=-24 \Leftrightarrow (-3) \times 8=-24 $

2.3 Asosiatif

Asosiatif adalah sifat pengelompokkan. Kami telah merangkum sifat-sifatnya di bawah ini.

Sifat: Asosiatif

$ a+(b+c)=(a+b)+c $
$ a+(b-c)=(a+b)-c $
$ a \times (b \times c)=(a \times b) \times c $

Contohnya di bawah ini.

1. $ 8+(9+6)=(8+9)+6 $
$ \Leftrightarrow 8+15=17+6 $
$ \Leftrightarrow 23=23 $

2. $ 7+(15-5)=(7+15)-5 $
$ \Leftrightarrow 7+10=22-5 $
$ \Leftrightarrow 17=17 $

3. $ 5 \times ((-2) \times 4)=(5 \times (-2))\times 4 $
$ \Leftrightarrow 5 \times (-8)=-10 \times 4 $
$ \Leftrightarrow -40=-40 $

2.4 Distributif

Distributif adalah sifat persebaran. Sifat ini berguna untuk menyederhanakan persamaan panjang menjadi lebih ringkas.

Sifat: Distributif

$ (a \times b)+(a \times c)=a \times (b+c) $
$ (a \times b)-(a \times c)=a \times (b-c) $

Tak bosan-bosannya kami akan mengajak kamu untuk langsung menerapkan rumus dalam perhitungan agar bisa menangkap maksud atau pemahaman lain yang tak tertera atau sulit dikemukakan dalam tulisan. Baiklah di bawah ini contoh dari sifat distributif.

1. $ (8 \times (-3))+(8 \times 13)=8 \times ((-3)+13) $
$ \Leftrightarrow -24+104=8 \times 10 $
$ \Leftrightarrow 80=80 $

2. $ (12 \times 3)-(3 \times 2)=3 \times (12-2) $
$ \Leftrightarrow 36-6=3 \times 10 $
$ \Leftrightarrow 30=30 $

Sekarang bagaimana? Kamu bisa menangkap bahwa sifat-sifat yang terangkum bisa didapat karena terdapat pola yang disadari oleh ahli-ahli matematika pada saat melakukan perhitungan yang berulang-ulang. Iya beneran! Semua ini berawal dari mengamati dalam proses, kemudian dengan kemampuan penalaran menghasilkan rumus cepat. Namun, itu masih belum seberapa, hehe. Kita lanjut ke halaman setelahnya masih banyak yang seru!!


Matematika Kelas 7 SMP: Bilangan



Kelipatan dan Faktor

Kamu masih ingat ya..di Sekolah Dasar dulu pernah mempelajari cara untuk menentukan KPK dari dua atau lebih bilangan bulat? Ya, benar. Dengan mengalikan semua faktor bilangan prima dari bilangan tersebut, di mana jika terdapat faktor prima yang sama maka yang diambil hanya pangkat tertinggi. Selain itu, faktorisasi prima dapat diperoleh dengan menggunakan pohon faktor.

3.1 Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Kita langsung coba mengingat-ingat, lihatlah di bawah ini.
Bilangan kelipatan $ 15 $ adalah $ 15, $$30,$$ 45,60,... $
Bilangan kelipatan $ 6 $ adalah $ 6,12,18,24, $$30,$$ 36,... $
Sehingga didapat KPK dari $ 15 $ dan $ 6 $ adalah $ 30 $.

Begitulah prinsip dasar dari KPK, yaitu untuk mencari bilangan kelipatan terkecil yang sama dari dua atau lebih bilangan. Namun, cara di atas kurang efisien dan terlalu lama untuk mencari perolehan nilai KPK, maka atas sebab itu seseorang memikirkan sebuah cara lain yang lebih baik dengan hasil yang sama akurat. Yang kita ketahui saat ini dan biasa kita gunakan yaitu dengan pohon faktor. Tentu ada dan akan ada cara lain-lain dengan hasil yang sama akuratnya. Namun prinsip adalah suatu pegangan atau inti yang tak pernah berubah.

Aturan Mencari KPK
  1. Buat pohon faktor dan faktorisasi prima
  2. Untuk menghitung nilai KPK: Ambil semua nilai faktorisasi prima dan untuk nilai yang sama ambillah pangkat terbesar

Lihatlah cara mencari nilai KPK dengan pohon faktor di bawah ini.

Gambar KPK

Dalam beberapa kasus KPK digunakan untuk menjawab persoalan sehari-hari yang melibatkan pencarian kelipatan yang sama terkecil. Misalnya mencari kedatangan suatu transportasi umum di terminal bila mempunyai pola yang tetap di setiap menitnya, hal tersebut akan membentuk suatu pola kelipatan. Untuk memberikan gambaran lebih jelas di pikiran mari kita pikirkan contoh soal ini.

Tiga armada bus Asoka, Bernanda, dan Cendikia pada sebuah terminal berangkat dengan waktu yang berbeda. Armada Asoka, tiap busnya berangkat setiap $ 20 $ menit. Sedangkan armada Bernanda, berangkat setiap $ 25 $ menit dan armada Cendikia setiap $ 35 $ menit sekali. Setiap berapa menit ketiga armada berangkat bersama-sama?

PEMBAHASAN
Diketahui:

  • Armada Asoka: berangkat setiap $ 20 $ menit
  • Armada Bernanda: berangkat setiap $ 25 $ menit
  • Armada Cendikia: berangkat setiap $ 35 $ menit
Ditanya:
Setiap berapa menit ketiga armada berangkat?
Jika dipikirkan secara urut dan perlahan, lihatlah kalimat "Setiap berapa menit...," hal ini mengarahkan pikiranmu pada fakta di soal bahwa setiap armada bus berangkat dari terminal dalam setiap waktu yang tetap sehingga membentuk penjumlahan -waktu bus berangkat dari terminal- sama berulang, kita lihat bukankan itu sebuah kelipatan? Maka pasti ada kelipatan yang sama dari ketiganya yang mempunyai maksud keberangkat ketiga armada bus bersamaan sekaligus.
Maka, maksud pertanyaan "Setiap berapa menit ketiga armada berangkat bersama-sama?" adalah mengarah pada kelipatan waktu keberangkatan yang sama dari ketiga armada bus. Mulai dari sini kita tahu bagaimana cara menjawab soal jenis ini.
Dijawab:
Pertama, kalian sudah mengetahui untuk mencari KPK dari $ 20 $, $ 25 $, dan $ 35 $ dengan pohon faktor. Kami di sini akan menampilkan hasil faktorisasi prima dan nilai KPK saja dan gunakanlah sebagai validasi (pengecekan kebenaran) pengerjaan kalian.

Faktorisasi Prima
  • $ 20=2^{2} \times 5 $
  • $ 25=5^{2} $
  • $ 35=5 \times 7 $
KPK $ = 2^{2} \times 5^{2} \times 7 $ $ =700 $

Jadi, ketiga armada: Asoka, Bernanda, dan Cendikia akan berangkat bersama setiap $ 700 $ menit sekali.


Yusuf, Albi dan Yoga mengikuti les berenang pada tempat yang sama. Yusuf les setiap 4 hari sekali, Albi les setiap 5 hari, dan Yoga setiap 6 hari. Jika mereka mengikuti les bersama untuk pertama kalinya pada hari Senin tanggal 12 November 2020, maka mereka akan les bersama lagi untuk kedua kalinya pada...

PEMBAHASAN
Diketahui:

  • Yusuf: setiap 4 hari
  • Albi: setiap 5 hari
  • Yoga: setiap 6 hari
  • Les bersama pertama kali: 12 November 2020
Ditanya:
Kapan mereka bertiga akan les berenang bersama?
Pertanyaan yang juga memilik maksud kelipatan hari yang sama dari Yusuf, Albi, dan Yoga.
Dijawab:

Faktorisasi Prima
  • $ 4=2^{2} $
  • $ 5=5 $
  • $ 6=2 \times 3 $
KPK $ =2^{2} \times 3 \times 5 $ $ =60 $

Kita dapatkan mereka akan bersama setelah 60 hari dari pertama kali les berenang bersama. Sehingga: 12 November 2020 + 60 hari = ..?

Tips menentukan hari

$ h_{0}+[sisa(KPK:7)] $



$ \text{Senin }+[\text{sisa}(60:7)] $
$ = \text{ Senin } + [8 sisa (4)] $
$ =\text{ Senin } + 4 \text{ hari } $
$ = \text{ Jumat } $

Tips menentukan tanggal

$ t_{0}+KPK $



$ 12+60=72 $
  • November 2020 (30 hari): $ 72-30=42 \text{ (bulan November terlewat dan sisa 42, masih bisa dikurangi jumlah hari di bulan selanjutnya) } $
  • Desember 2020 (31 hari): $ 42-31=11 \text{ bulan (Desember terlewat dan sisa 11, sudah tidak dapat dikurangi jumlah hari di bulan selanjutnya sehingga didapat 11 Januari 2021) } $

Jadi, Yusuf, Albi dan Yoga akan mengikuti les berenang bersama lagi pada Jumat, 11 Januari 2021.

3.2 Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Sebelum masuk ke dalam KPK, kami akan mencoba menanyakan pertanyaan mendasar: apa definisi faktorisasi atau faktor? Hal ini perlu dipahami dulu agar kita bisa memahami prinsip dari Faktor Persekutuan Terbesar atau bila disingkat adalah FPB.

Dalam pembagian bilangan bulat kita mungkin menemui bilangan yang apabila dibagi akan menghasilkan hasil bersisa, misalkan $ 5:2 $ memberikan hasil $ 2 $ sisa $ 1 $. Kemudian, ada bilangan yang dibagi tidak menyisakan bilangan atau dalam kata lain: "habis dibagi", misalnya $ 6:2 $ menghasilkan nilai $ 3 $ tanpa bersisa. Nah, bilangan yang membagi habis itulah yang disebut faktorisasi atau faktor. Sehingga dari contoh di atas, $ 2 $ adalah salah satu faktor dari bilangan $ 6 $.

Kita mengambil contoh lagi.
Faktor dari $ 12 $ adalah $ 1,2,3,$$4, $$6,$$ 12 $
Faktor dari $ 30 $ adalah $ 1,2,3, $$5,$$6, $$ 10 $
Sehingga didapat faktor persekutuan: $ 1,2,3,6 $ dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) adalah $ 6 $.

Kita mulai bisa mendefinisikan bahwa FPB adalah faktor terbesar atau bilangan yang membagi habis terbesar dari dua bilangan atau lebih. Begitulah dasar prinsipnya, dan untuk mencari nilai FPB kita juga bisa gunakan pohon faktor layaknya KPK.

Aturan Mencari FPB
  1. Buat pohon faktor dan faktorisasi prima
  2. Untuk menghitung nilai FPB: Ambillah nilai faktorisasi prima yang hanya sama, pilih pangkat terkecil

Mari kita matangkan pemahaman dengan mencoba soal aplikasi atau terapan pada Contoh 6 di bawah ini.

Ibu mempunyai $ 24 $ mangga, $ 16 $ apel dan $ 40 $ anggur. Buah-buah tersebut akan dibagikan kepada beberapa tetangganya sama banyak. Berapa banyak tetangga yang dapat memperoleh buah dari Ibu, dengan banyak buah paling maksimal?

PEMBAHASAN
Diketahui:

  • Mangga: $ 24 $
  • Apel: $ 16 $
  • Anggur: $ 40 $
Ditanya:
Banyak tetangga maksimal yang dapat diberikan buah?
Sebuah fakta ketika akan membagikan buah kepada lebih dari satu orang atau dalam soal ini kepada tetangga dapat kita gunakan FPB. Mengapa bisa begitu? Jawabannya, bisa kita lihat dari definisi faktorisasi yaitu bilangan pembagi, dan soal menginginkan pembagian terbesar atau pembagian maksimal untuk memperoleh banyaknya tetangga sehingga Faktorisasi Persekutuan Terbesar (FPB) menjadi solusi soal seperti ini.
Dijawab:
Sesuai analisis kita di atas, kita akan menghitung FPB dari mangga, apel dan anggur. Silakan kamu untuk mengerjakan dengan pohon faktor, dan gunakan hasil yang kami berikan ini untuk validasi (pengecekan kebenaran).

Faktorisasi Prima
  • $ 24=2^{3} \times 3 $
  • $ 16=2^{4} $
  • $ 40=2^{3} \times 5 $
FPB $ =2^{3} $ $ =8 $

Jadi, $ 24 $ mangga, $ 16 $ apel dan $ 40 $ anggur apabila dibagikan ke paling banyak orang adalah sebanyak $ 8 $ orang tetangga.


Pecahan

Gambar Pecahan

Daerah yang diarsir warna kuning pada gambar di atas adalah 2 bagian dari 3 bagian keseluruhan, dan sampingnya 8 bagian dari 11 bagian keseluruhan. Sehingga kita bisa dapatkan sebuah fakta dari pecahan dengan pengertian berikut.

Pengertian: Pecahan

Pecahan adalah bagian dari keseluruhan. Dengan bentuk umum:

$ \frac{a}{b}, \text{ dengan syarat } b \ne 0 $

4.1 Jenis Pecahan

1. Pecahan Biasa

Bentuk Umum: Pecahan Biasa

$ \frac{a}{b} \text{, } b \ne 0 $


Sifat:
  • Jika $ a < b $, maka $ \frac{a}{b} < 1 $
  • Jika $ a > b $, maka $ \frac{a}{b} > 1 $
  • Jika $ a = b $, maka $ \frac{a}{b}=1 $
  • Jika $ a=0 $, maka $ \frac{0}{b}=0 $
  • Jika $ b=0 $, maka $ \frac{a}{0}=\text{ tidak terdefinisi} $

Contoh: $ \frac{3}{4} $; $ \frac{7}{5} $; $ \frac{5}{5} $; dan lain-lain.

2. Pecahan Campuran

Bentuk Umum: Pecahan Campuran

$ a \frac{b}{c} \text{, } c \ne 0 $


Sifat:
  • $ a \frac{b}{c}=\frac{ac+b}{c} $

Contoh: $ 1 \frac{1}{2} $; $ 7 \frac{2}{5} $; $ 2 \frac{3}{7} $; dan lain-lain.

3. Pecahan Desimal

Bentuk Umum: Pecahan Desimal

$ 0,a $ ; $ a,b $ ; $ a,0 $


Pecahan desimal atau desimal adalah bilangan yang menggunakan tanda koma.

Contoh: $ 0,5 $; $ 0,75 $; $ 1,0 $; dan lain-lain.

4. Persen $ (\%) $

Bentuk Umum: Persen

$ a \% $


Persen adalah bilangan setara pembilang dan penyebut $ 100 $.
Sifat:
  • $ a \%=\frac{a}{100} $

Contoh: $ \frac{15}{100}=15 \% $; $ \frac{70}{100}=70 \% $; $ \frac{5}{20}=\frac{5 \times 5}{20 \times 5}=\frac{25}{100}=25 \% $; dan lain-lain.

4.2 Menyederhanakan Pecahan

Perhatikan di bawah ini.

$ \frac{64}{20}=\frac{64:2}{20:2}=\frac{32}{10}=\frac{32:2}{10:2}=\frac{16}{5} $

Kamu tangkaplah bagaimana proses berpikir di atas, pada dasarnya prinsip penyederhanaan adalah membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan bulat yang sama, hingga ke dalam bentuk paling sederhana di mana tidak dapat dibagi lagi pembilang dan penyebut dengan bilangan bulat.

Lantas adakah sebuah cara lain yang lebih baik dari cara di atas dalam menyederhanakan pecahan? Sebelum menjawab pertanyaan ini, mari kita coba pikir-pikir hal apa saja yang berhubungan atau ada kaitannya dengan pembagian setahu kita. Faktorisasi? Mempunyai definisi bilangan pembagi berarti bisa kita terapkan di sini. Misalkan kita ambil FPB dari contoh bilangan pembilang dan penyebut di atas, yaitu $ 64 $ dan $ 20 $.

Faktorisasi Prima
  • $ 64=2^{6} $
  • $ 20=2^{2} \times 5 $
FPB $ =2^{2}=4 $

Maka, kita dapatkan bilangan pembagi pembilang dan penyebut adalah $ 4 $.

$ \frac{64:4}{20:4}=\frac{16}{5} $
Menyederhanakan Pecahan

Sehingga ada 2 cara menyederhanakan pecahan:
  1. Membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan bulat yang mungkin sampai mencapai bentuk paling sederhana
  2. Membagi pembilang dan penyebut dengan FPB dari pembilang dan penyebut sehingga ketika dibagi langsung didapat bentuk paling sederhana (lebih cepat)

4.3 Membandingkan dan Mengurutkan Dua atau Lebih Pecahan

Banding dan Urut Pecahan

Untuk membandingkan dan mengurutkan dua atau lebih pecahan, terdapat beberapa cara:
  • Cara 1: Menyamakan penyebut
  • Cara 2: Mengubah ke desimal

Untuk memberikan gambaran jelas di kepala atau di pikiran, kita bisa lakukan beberapa pengerjaan contoh soal berikut dengan beberapa cara menjawab.

1. Urutkanlah pecahan berikut dari yang terkecil: $ \frac{2}{5} $ ; $ \frac{1}{6} $ ; $ \frac{3}{10} $ ; $ \frac{4}{15} $.

PEMBAHASAN
Cara 1: Menyamakan penyebut
Diketahui:

  • pecahan: $ \frac{2}{5} $ ; $ \frac{1}{6} $ ; $ \frac{3}{10} $ ; $ \frac{4}{15} $
  • penyebut: $ 5,6,10,15 $
Ditanya:
  • urutan pecahan dari terkecil=..?
Dijawab:
Kita gunakan KPK untuk menyamakan penyebut-penyebut di atas.

Faktorisasi Prima
  • $ 5=5 $
  • $ 6=2 \times 3 $
  • $ 10=2 \times 5 $
  • $ 15=3 \times 5 $
KPK $ =2 \times 3 \times 5=30 $

Sehingga, pecahan menjadi
$ \frac{2}{5}=\frac{12}{30} $ ; $ \frac{1}{6}=\frac{5}{30} $ ; $ \frac{3}{10}=\frac{9}{30} $ ; $ \frac{4}{15}=\frac{8}{30} $
$ \Rightarrow $ $ \frac{1}{6}=\frac{5}{30} $ ; $ \frac{4}{15}=\frac{8}{30} $ ; $ \frac{3}{10}=\frac{9}{30} $ ; $ \frac{2}{5}=\frac{12}{30} $

4.4 Mengubah Bentuk Pecahan ke Pecahan Lain

1. Pengubahan Pecahan Biasa dan Campuran

Pengubahan: Pecahan Biasa dan Campuran

Pecahan biasa ke pecahan campuran (syarat: $ a>b $)

$ \frac{a}{b}= [\text{hasil}(a:b)] \frac{\text{sisa}}{b} $


Pecahan campuran ke pecahan biasa:

$ a\frac{b}{c}=\frac{ac+b}{c} $

Contoh di bawah ini memberikan kita pemahaman dari rumus di atas.
1. Ubahlah $ \frac{15}{7} $ ke bentuk pecahan campuran.
2. Ubahlah $ 3 \frac{1}{2} $ ke bentuk pecahan biasa.

PEMBAHASAN

1. $ \frac{a}{b}=[\text{hasil}(a:b)] \frac{\text{sisa}}{b} $
$ \Leftrightarrow \frac{15}{7}=[\text{hasil}(15:7)]\frac{\text{sisa}}{7} $
$ \Leftrightarrow \frac{15}{7}=2 \frac{\text{sisa}(1)}{7}=2 \frac{1}{7} $

2. $ a \frac{b}{c}=\frac{ac+b}{c} $
$ \Leftrightarrow 3 \frac{1}{2}=\frac{3 \cdot 2+1}{2} $
$ \Leftrightarrow 3 \frac{1}{2}=\frac{7}{2} $

2. Pengubahan Pecahan ke Desimal

Pengubahan: Pecahan ke Desimal

$ \frac{a}{b}=\frac{a \cdot x}{b \cdot x = {10,100,1000,...}} $

Keterangan:
  • $ x $ adalah nilai pengali
  • $ {10,100,100,..} $, maksudnya pilih salah satu nilai penyebut tujuan yang mungkin bisa dicapai perkalian antara $ b $ dengan $ x $
Aturan Pecahan ke Desimal:
Untuk pecahan dengan penyebut
  • $ \frac{a}{10} $ maka desimal bergeser (tempatkan koma di angka paling kanan bergeser ke kiri) satu langkah. Contoh $ \frac{21}{10}=2,1 $ dan $ \frac{5}{10}=0,5 $
  • $ \frac{a}{100} $ maka desimal bergeser (tempatkan koma di angka paling kanan bergeser ke kiri) dua langkah. Contoh $ \frac{21}{100}=0,21 $ dan $ \frac{5}{100}=0,05 $
  • $ \frac{a}{1000} $ maka desimal bergeser (tempatkan koma di angka paling kanan bergeser ke kiri) tiga langkah. Contoh $ \frac{21}{1000}=0,021 $ dan $ \frac{5}{1000}=0,005 $
  • dan seterusnya

Contoh:

1. $ \frac{7}{2} $
$ \Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{a \cdot x}{b \cdot x={10,100,1000,...}} $
kita pilih dulu nilai penyebut tujuan untuk $ b=2 $, dan jika $ x $ diperoleh bilangan bulat maka kita pilih nilai tersebut
  • penyebut tujuan: $ 10 \Rightarrow b \cdot x =10 \Rightarrow 2 \cdot x=10 \Rightarrow x=10:2 \Rightarrow x=5 $
  • karena untuk penyebut 10, diperoleh $ x=5 $ (bernilai bulat) maka bisa kita teruskan
$ \Leftrightarrow \frac{7}{2}=\frac{7 \cdot x}{2 \cdot x =10} $
$ \Leftrightarrow \frac{7}{2}=\frac{7 \cdot 5}{2 \cdot 5} $
$ \Leftrightarrow \frac{7}{2}=\frac{14}{10}=1,4 $

2. $ \frac{1}{4} $
$ \Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{a \cdot x}{b \cdot x={10,100,1000,...}} $
kita pilih dulu nilai penyebut tujuan untuk $ b=4 $, dan jika $ x $ diperoleh bilangan bulat maka kita pilih nilai tersebut
  • penyebut tujuan: $ 10 \Rightarrow b \cdot x =10 \Rightarrow 4 \cdot x=10 \Rightarrow x=10:4 \Rightarrow x=\frac{10}{4} $ (belum memenuhi)
  • penyebut tujuan: $ 100 \Rightarrow b \cdot x =100 \Rightarrow 4 \cdot x=100 \Rightarrow x=100:4 \Rightarrow x=25 $ (memenuhi)
  • karena untuk penyebut 100, diperoleh $ x=25 $ (bernilai bulat) maka bisa kita teruskan
$ \Leftrightarrow \frac{1}{4}=\frac{1 \cdot x}{4 \cdot x =100} $
$ \Leftrightarrow \frac{1}{4}=\frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} $
$ \Leftrightarrow \frac{1}{4}=\frac{25}{100}=0,25 $

Dari pengalaman-pengalaman berhitung yang intens (sering) kami akan merangkumkan beberapa perkalian antara penyebut ($ b $) dengan nilai pengali ($ x $) yang sering muncul dan bisa langsung digunakan tanpa menghitung panjang.

Penyebut dan Pengali
  • $ 2 \times 5=10 $
  • $ 4 \times 25=100 $
  • $ 5 \times 20=100 $
  • $ 8 \times 125=1000 $

3. Pengubahan Pecahan ke Persen

Pengubahan: Pecahan ke Persen

$ a \% = \frac{a}{100} $

Pecahan dapat diubah menjadi dengan persen ($ a \% $) syarat diubah dalam bentuk ($ \frac{a}{100} $).

Kita akan tegaskan pernyataan di atas dengan mencobanya sendiri. Perhatikanlah.

1. $ \frac{3}{4} $
$ \Leftrightarrow \frac{3}{4}=\frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25}=\frac{75}{100}=75 \% $

2. $ \frac{5}{8} $
$ \Leftrightarrow \frac{5}{8}=\frac{5 \cdot 12,5}{8 \cdot 12,5}=\frac{62,5}{100}=62,5 \% $

Lantas bagaimana untuk kebalikannya, dari persen ke pecahan? Menurutmu, bukankah ini lebih mudah?

1. $ 80 \% $
$ \Leftrightarrow 80 \% = \frac{80}{100}=\frac{80:20}{100:20}=\frac{4}{5} $

4.5 Operasi Hitung Bilangan Pecahan

1. Penjumlahan

Setiap penjumlahan dua atau lebih bilangan pecahan, maka penyebutnya harus disamakan terlebih dahulu.

Rumus Cepat: Penjumlahan

$ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} $

Contoh terdapat di bawah ini.

1. $ \frac{2}{3}+\frac{3}{5} $
$ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} $
$ \Leftrightarrow \frac{2}{3}+\frac{3}{5}=\frac{2 \cdot 5+3 \cdot 3}{3 \cdot 5} $
$ \Leftrightarrow \frac{2}{3}+{3}{5}=\frac{10+9}{15}=\frac{19}{15} $

2. Pengurangan

Pengurangan dua atau lebih pecahan caranya sama seperti penjumlahan yaitu dengan menyamakan penyebutnya terlebih dahulu.

Rumus Cepat: Pengurangan

$ \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd} $

Contoh di bawah ini.

1. $ \frac{2}{3}-\frac{3}{5} $
$ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} $
$ \Leftrightarrow \frac{2}{3}-\frac{3}{5}=\frac{2 \cdot 5-3 \cdot 3}{3 \cdot 5} $
$ \Leftrightarrow \frac{2}{3}-\frac{3}{5}=\frac{10-9}{15}=\frac{1}{15} $

3. Perkalian

Mengalikan dua pecahan adalah tindakan mengalikan pembilang pecahan dengan pembilang pecahan kedua dan mengalikan penyebut pecahan pertama dan penyebut pecahan kedua.

Rumus: Perkalian

$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{a \times c}{b \times d} $

Kita selalu coba dengan contoh agar mendapat pemahaman yang jelas dan lebih baik.

1. $ \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} $
$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{a \times c}{b \times d} $
$ \Leftrightarrow \frac{2}{3} \times \frac{3}{5}=\frac{2 \times 3}{3 \times 5} $
$ \Leftrightarrow \frac{2}{3} \times \frac{3}{5}=\frac{6}{15} $
Kita sederhanakan pecahan bila masih mungkin disederhanakan
$ \Rightarrow \frac{6}{15}=\frac{6:3}{15:3}=\frac{2}{5} $

4. Pembagian

Berikut ini adalah cara dalam melakukan pembagian pecahan.

Rumus: Pembagian

$ \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $

Dan di bawah ini adalah contoh penggunaannya.

1. $ \frac{2}{3}:\frac{3}{5} $
$ \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $
$ \Leftrightarrow \frac{2}{3}:\frac{3}{5}=\frac{2}{3} \times \frac{5}{3} $
$ \Leftrightarrow \frac{2}{3}:\frac{3}{5}=\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3}=\frac{10}{9} $
Kita lihat hasil jawaban tersebut memiliki pembilang yang lebih besar dari penyebut, artinya bisa dinyatakan pula dalam bentuk pecahan campuran.
$ \Rightarrow \frac{10}{9}=1 \frac{1}{9} $
Related Posts
Kumatho.com
"Sebuah misi penyebaran ajaran matematika dalam jaringan."

Related Posts

Posting Komentar