Dalam matematika dan sains, kita memakai kata kontinu untuk menyatakan suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak. Nyatanya, pengalaman kita mengarahkan kita untuk menganggap ini sebagai fitur mendasar dari banyak proses alami. Bahwa gagasan inilah yang berkenaan dengan fungsi, yang sekarang ingin dibuat secara presisi. Dalam tiga grafik yang diperlihatkan dalam Gambar 1, hanya grafik ketiga yang memperlihatkan kontinuitas di $ c $. Dalam dua grafik yang pertama, $ \displaystyle \lim_{x \to c}f(x) $ tidak ada, atau ada tetapi tidak sama dengan $ f(c) $. Hanya dalam grafik ketiga $ \displaystyle \lim_{x \to c}f(x)=f(c) $.
Gambar 1
Di bawah ini adalah definisi formalnya.
Definisi: Kontinu di satu titik
Misalkan $ f $ terdefinisi pada suatu interval terbuka yang mengandung $ c $. Kita katakan bahwa $ f $kontinu di $ c $.
$ \displaystyle \lim_{x \to c}f(x)=f(c) $
Dengan definisi ini kita bermaksud mensyaratkan tiga hal:
$ \displaystyle \lim_{x \to c}f(x) $ ada,
$ f(c) $ ada (yakni, $ c $ berada dalam daerah asal $ f $), dan
$ \displaystyle \lim_{x \to c}f(x)=f(c) $.
Jika salah satu dari dari ketiga ini tak terpenuhi, maka $ f $diskontinu di $ c $. Jadi,fungsi yang diwakili oleh grafik yang pertama dan kedua di atas diskontinu di $ c $. Tetapi, kontinu di titik-titik lain dari daerah definisinya.
Misalkan $ f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2} $, $ x \ne 2 $. Bagaimana seharusnya $ f $ didefinisikan di $ x=2 $ agar kontinu di titik itu?
Karena itu, kita definisikan $ f(2)=4 $. Grafik dari fungsi yang dihasilkan diperlihatkan dalam Gambar 2. Kenyataannya, kita lihat bahwa $ f(x)=x+2 $ untuk semua $ x $.
Gambar 2
Titik diskontinuitas $ c $ disebut dapat-dipindahkan jika fungsi dapat didefinisikan atau definisikan ulang pada $ c $ sehingga membuat fungsi kontinu. Jika tidak, suatu titik diskontinuitas disebut tak dapat-dipindahkan. Fungsi $ f $ dalam Contoh 1 mempunyai diskontinuitas dapat dipindahkan pada $ 2 $ karena kita dapat memdefinisikan $ f(2)=4 $ dan fungsi akan kontinu di sana.
Kontinuitas Fungsi yang Dikenal
Kebanyakan besar fungsi yang akan kita jumpai dalam pembahasan ini adalah (1) kontinu di mana-mana atau (2) kontinu di mana-mana terkecuali di beberapa titik. Khususnya, Teorema Substitusi mengimplikasikan hasil berikut.
Kontinuitas Fungsi Polinomial dan Rasional
Teorema A: Kontinuitas Fungsi Polinomial dan Rasional
Fungsi polinomial kontinu di setiap bilangan real $ c $. Fungsi rasional kontinu di setiap bilangan real $ c $ dalam daerah asalnya, yaitu kecuali di mana penyebutnya nol.
Gambar 3
Ingat kembali fungsi nilai mutlak $ f(x)=\left\vert x \right\vert $; grafiknya diperlihatkan dalam Gambar 3. Untuk $ x<0 $, $ f(x)=-x $, adalah polinomial; untuk $ x > 0 $, $ f(x)=x $, adalah polinomial lain. Jadi menurut Teorema A, $ \left\vert x \right\vert $ kontinu di semua bilangan yang berlainan dengan $ 0 $. Tetapi:
$ \displaystyle \lim_{x \to 0}\left\vert x \right\vert=0=\left\vert 0 \right\vert $
Karena itu, $ \left\vert x \right\vert $ juga kontinu di $ 0 $; dia kontinu di mana-mana.
asalkan $ c > 0 $ ketika $ n $ genap. Ini berarti bahwa $ f(x)=\sqrt[n]{x} $ kontinu di setiap titik di mana pembicaraan tentang kontinuitas masuk akal. Khususnya, $ f(x)=\sqrt{x} $ kontinu di setiap bilangan real $ c > 0 $ (Gambar 4).
Gambar 4
Kita ringkaskan.
Kontinuitas Fungsi Nilai Mutlak dan Fungsi Akar ke-$ n $
Teorema B: Kontinuitas Fungsi Nilai Mutlak dan Fungsi Akar ke-$ n $
Fungsi nilai mutlak adalah kontinu di setiap bilangan real $ c $; jika $ n $ genap, fungsi akar ke-$ n $ kontinu di setiap bilangan real positif $ c $.
Kontinuitas di dalam Operasi Fungsi
Apakah operasi-operasi yang baku memelihara kontinuitas? Ya, sesuai dengan Teorema berikutnya. Di dalamnya, $ f $ dan $ g $ adalah fungsi, $ k $ adalah konstanta, dan $ n $ adalah bilangan bulat positif.
Teorema C: Kontinuitas di dalam Operasi Fungsi
Jika $ f $ dan $ g $ kontinu di $ c $, maka demikian juga $ kf $, $ f+g $, $ f-g $, $ f \cdot g $, $ \frac{f}{g} $ (asalkan $ g(c) \ne 0 $), $ f^{n} $, dan $ \sqrt[n]{f} $ (asalkan $ f(c) > 0 $ jika $ n $ genap).
Bukti Semua hasil ini merupakan akibat mudah dari fakta-fakta yang berpadanan untuk limit-limit dari Teorema Limit Utama. Misalnya, teorema tersebut, dikombinasikan dengan kenyataan bahwa $ f $ dan $ g $ kontinu di $ c $, memberikan:
Ini adalah persis apa yang dimaksudkan dengan mengatakan bahwa $ f \cdot g $ kontinu di $ c $.
Pada bilangan-bilangan berapa saja $ F(x)=\frac{3\left\vert x \right\vert - x^{2}}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}} $ kontinu?
PENYELESAIAN Kita tidak perlu memandang bilangan-bilangan tak positif, karena $ F $ tak terdefinisi di bilangan-bilangan yang demikian. Untuk sebarang bilangan positif, fungsi-fungsi $ \sqrt{x} $, $ \sqrt[3]{x} $, $ \left\vert x \right\vert $, dan $ x^{2} $ semuanya kontinu (Teorema A dan B). Menyusul dari Teorema C bahwa $ 3\left\vert x \right\vert - x^{2} $, $ \sqrt{x}+\sqrt[3]{x} $, dan akhirnya:
$ \frac{3\left\vert x \right\vert - x^{2}}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}} $
Fungsi sinus dan kosinus kontinu di setiap bilangan real $ c $. Fungsi $ \tan{x} $, $ \cot{x} $, $ \sec{x} $, dan $ \csc{x} $ kontinu di setiap bilangan real $ c $ dalam daerah asalnya.
BuktiTeorema A: Limit Fungsi Trigonometri menyatakan bahwa untuk setiap bilangan real $ c $ di daerah asal fungsi, $ \displaystyle \lim_{x \to c}\sin{x}=\sin{c} $, dan $ \displaystyle \lim_{x \to c}\cos{x}=\cos{c} $, dan seterusnya, untuk semua enam fungsi trigonometri. Ini adalah tepat persyaratan yang diperlukan untuk fungsi-fungsi ini agar kontinu pada setiap bilangan real di daerah asalnya masing-masing.
Tentukanlah semua titik diskontinuitas dari $ f(x)=\frac{\sin{x}}{x(1-x)} $, $ x \ne 0 \text{, } 1 $. Klasifikasikan masing-masing titik diskontinuitas sebagai dapat-dipindahkan atau tidak dapat-dipindahkan.
PENYELESAIAN Menurut Teorema D, pembilang kontinu pada setiap bilangan real. Penyebut juga kontinu pada setiap bilangan real, tetapi $ x=0 $ atau $ x=1 $, penyebut adalah 0. Jadi menurut Teorema C, $ f $ kontinu pada setiap bilangan real kecuali $ x=0 $ dan $ x=1 $. Karena:
Terdapat operasi fungsi lain yang akan sangat penting dalam pekerjaan nantinya, yakni komposisi. Operasi ini juga mempertahankan kontinuitas. Grafik $ y=f(x) $ diperlihatkan dalam Gambar 5.
Gambar 5
Teorema Limit Komposit
Teorema E: Teorema Limit Komposit
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to c}g(x)=L $ dan jika $ f $ kontinu di $ L $, maka:
Tetapi karena $ \displaystyle \lim_{x \to c}g(x)=L $, untuk $ \delta_{1} > 0 $ yang diketahui terdapat $ \delta_{2} > 0 $ yang berpadanan sedemikian rupa sehingga:
Pernyataan kedua dalam Teorema E diperoleh dari pengamatan bahwa jika $ g $ kontinu pada $ c $ maka $ L=g(c) $.
Perhatikan bahwa $ h(x)=\left\vert x^{2}-3x+6 \right\vert $ kontinu di setiap bilangan real.
PENYELESAIAN Misalkan $ f(x)=\left\vert x \right\vert $ dan $ g(x)=x^{2}-3x+6 $. Keduanya kontinu di setiap bilangan real, dan demikian juga dengan bilangan kompositnya:
PENYELESAIAN$ x^{2}-x-6=(x-3)(x+2) $. Jadi, fungsi rasional:
$ g(x)=\frac{x^{4}-3x+1}{x^{2}-x-6} $
kontinu kecuali di $ 3 $ dan $ -2 $ (Teorema A). Kita mengetahui dari Teorema D bahwa fungsi sinus kosinus kontinu di setiap bilangan real. Jadi menurut Teorema E, kita simpulkan bahwa, karena $ h(x)=\sin{(g(x))} $, maka $ h $ juga kontinu kecuali di $ 3 $ dan $ -2 $.
Kontinuitas pada Interval
Sejauh ini, telah dibahas kontinuitas pada sebuah titik. Kita ingin membahas kontinuitas pada suatu interval. Kontinuitas pada interval selayaknya berarti kontinuitas pada setiap titik dari interval. Itulah tepatnya apa yang diartikan untuk setiap interval terbuka.
Ketika kita memandang interval tertutup $ [a \text{ , } b] $, kita menghadapi masalah. Mungkin saja $ f $ bahkan tidak terdefinisi di sebelah kiri $ a $ (misalnya, $ f(x)=\sqrt{x} $ mempunyai masalah ini di $ a=0 $), sehingga secara langsung saja, $ \displaystyle \lim_{x \to a}f(x) $ tidak ada. Kita pilih untuk mengurus persoalan ini dengan menyebut $ f $ kontinu pada $ [a \text{ , } b] $ jika ia kontinu di setiap titik dari $ (a \text{ , } b) $ dan jika $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+}}f(x)=f(a) $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to b^{-}}f(x)=f(b) $. Kita ringkaskan dalam sebuah definisi formal.
Definisi: Kontinuitas pada Interval
Fungsi $ f $ adalah kontinu kanan pada $ a $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a^{+}}f(x)=f(a) $ dan kontinu kiri pada pada $ b $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to b^{-}}f(x)=f(b) $. Kita katakan $ f $kontinu pada sebuah interval terbuka jika $ f $ kontinu pada setiap titik dari interval tersebut. Dia kontinu pada sebuah interval tertutup$ [a \text{ , } b] $ jika kontinu pada $ (a \text{ , } b) $, kontinu kanan pada $ a $, dan kontinu kiri pada $ b $.
Sebagai contoh, mengatakan bahwa $ f(x)=\frac{1}{x} $ kontinu pada $ (0 \text{ , } 1) $ dan $ g(x)=\sqrt{x} $ kontinu pada $ [0 \text{ , } 1] $ adalah benar.
Dengan menggunakan definisi di atas, uraikan sifat-sifat kontinuitas dari fungsi yang grafiknya disketsakan dalam Gambar 7.
Gambar 7
PENYELESAIAN Fungsi nampaknya kontinu pada interval terbuka $ (-\infty \text{ , } 0) $$ (0 \text{ , } 3) $, dan $ (5 \text{ , } \infty) $, dan juga pada interval tertutup $ [3 \text{ , } 5] $.
Berapakah interval terbesar di mana fungsi yang didefinisikan oleh $ g(x)=\sqrt{4-x^{2}} $ kontinu?
PENYELESAIAN Daerah asal $ g $ adalah interval $ [-2 \text{ , } 2] $. Jika $ c $ berada pada interval terbuka $ (-2 \text{ , } 2) $, maka $ g $ kontinu pada $ c $ menurut Teorema E; karenanya $ g $ kontinu pada $ (-2 \text{ , } 2) $. Limit satu-sisinya adalah:
Ini mengimplikasikan bahwa $ g $ kontinu kanan pada $ -2 $ dan kontinu kiri pada $ 2 $. Jadi, $ g $ kontinu pada daerah definisinya yakni interval tertutup $ [-2 \text{ , } 2] $.
Secara intuisi, untuk $ f $ agar kontinu pada $ [a \text{ , } b] $ bermakna bahwa grafik $ f $ pada $ [a \text{ , } b] $ haruslah tidak mempunyai lompatan, sehingga kita harus mampu "menggambarkan" grafik $ f $ mulai dari titik pada $ (a \text{ , } f(a)) $ ke titik $ (b \text{ , } f(b)) $ tanpa mengangkat pensil kita dari kertas. Jadi, fungsi $ f $ haruslah menerima setiap nilai di antara $ f(a) $ dan $ f(b) $. Sifat ini sekarang dinyatakan secara lebih presisi dalam Teorema F.
Teorema Nilai Antara
Teorema F: Teorema Nilai Antara
Misalkan fungsi $ f $ fungsi yang terdefinisi pada $ [a \text{ , } b] $ dan misalkan $ W $ bilangan antara $ f(a) $ dan $ f(b) $. Jika $ f $ kontinu pada $ [a \text{ , } b] $, maka terdapat paling sedikit sebuah bilangan $ c $ di antara $ a $ dan $ b $ sedemikian rupa sehingga $ f(c)=W $.
Gambar 8
Gambar 8 memperlihatkan grafik fungsi $ f(x) $ yang kontinu pada $ [a \text{ , } b] $. Teorema Nilai Antara mengatakan bahwa untuk setiap $ W $ dalam $ (f(a) \text{ , } f(b)) $ haruslah terdapat sebuah $ c $ di dalam $ [a \text{ , } b] $ sedemikian rupa sehingga $ f(c)=W $. Dengan perkataan lain, $ f $ mengambil setiap nilai di antara $ f(a) $ dan $ f(b) $. Kontinuitas diperlukan untuk teorema ini, sebab kalau tidak maka dimungkinkan mencari fungsi $ f $ dan bilangan $ W $ di antara $ f(a) $ dan $ f(b) $ sedemikian rupa sehingga tidak terdapat $ c $ di dalam $ [a \text{ , } b] $ yang memenuhi $ f(c)=W $. Gambar 9 memperlihatkan sebuah contoh dari fungsi yang demikian.
Gambar 9
Nampaknya jelas bahwa kontinuitas adalah sufficient, namun memang bukti formal dari hasil ternyata sukar. Kita serahkan pembuktiannya untuk pekerjaan tingkat lanjut.
Kebalikan teorema ini, yang tidak benar secara umum, mengatakan bahwa jika $ f $ mengambil setiap nilai di antara $ f(a) $ dan $ f(b) $ maka $ f $ kontinu. Gambar 8 dan 10 memperlihatkan fungsi-fungsi yang mengambil semua nilai di antara $ f(a) $ dan $ f(b) $, tetapi fungsi dalam Gambar 10 tidak kontinu pada $ [a \text{ , } b] $. Hanya karena suatu fungsi mempunyai sifat nilai antara bukanlah berarti bahwa dia harus kontinu.
Gambar 10
Teorema Nilai Antara dapat digunakan untuk memberitahu kita sesuatu tentang penyelesaian persamaan, seperti yang diperlihatkan contoh berikut.
Gunakan Teorema Nilai Antara untuk memperlihatkan bahwa persamaan $ x-\cos{x}=0 $ mempunyai penyelesaian di antara $ x=0 $ dan $ x=\frac{\pi}{2} $.
PENYELESAIAN Misalkan $ f(x)=x-\cos{x} $, dan misalkan $ W=0 $. Maka $ f(0)=0-\cos{0}=-1 $ dan $ f \left( \frac{\pi}{2} \right)=\frac{\pi}{2}-\cos{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2} $. Karena $ f $ kontinu pada $ \left[ 0 \text{ , } \frac{\pi}{2} \right] $ dan $ W=0 $ berada di antara $ f(0) $ dan $ f \left( \frac{\pi}{2} \right) $. Teorema Nilai Antara mengimplikasikan keberadaan $ c $ dalam interval $ \left( 0 \text{ , } \frac{\pi}{2} \right) $ dengan sifat bahwa $ f(c)=0 $. Nilai $ c $ yang demikian adalah penyelesaian terhadap persamaan $ x-\cos{x}=0 $. Gambar 11 menyarankan bahwa terdapat tepat sebuah $ c $ yang demikian.
Gambar 11
Kita dapat melanjutkan satu langkah lebih jauh. Titik tengah interval $ \left[ 0 \text{ , } \frac{\pi}{2} \right] $ adalah titik $ x=\frac{\pi}{4} $. Ketika kita menghitung $ f \left( \frac{\pi}{4} \right) $, kita memperoleh:
$ f \left( \frac{\pi}{4} \right)=\frac{\pi}{4}-\cos{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,0782914 $
yang lebih besar daripada $ 0 $. Jadi, $ f(0)<0 $ dan $ f \left( \frac{\pi}{4} \right) > 0 $, sehingga penerapan lagi Teorema Nilai Antara memberitahu kita bahwa terdapat sebuah $ c $ di antara $ 0 $ dan $ \frac{\pi}{4} $ sedemikian rupa sehingga $ f(c)=0 $. Kita telah mempersempit interval yang mengandung $ c $ yang diinginkan dari $ \left[ 0 \text{ , } \frac{\pi}{2} \right] $ menjadi $ \left[ 0 \text{ , } \frac{\pi}{4} \right] $. Tidak ada sesuatupun yang menghentikan kita dari pemilihan titik tengah $ \left[ 0 \text{ , } \frac{\pi}{4} \right] $ dan menghitung $ f $ di titik tersebut, akibatnya bahkan mempersempit lagi interval yang mengandung $ c $. Proses ini dapat diteruskan secara tak berhingga sampai kita temukan bahwa $ c $ berada dalam interval cukup kecil. Metode pengenolan pada penyelesaian ini disebut metode bagi-dua, dan akan kita kaji lebih lanjut pada bab Aplikasi Turunan.
Teorema Nilai Antara juga dapat memberikan beberapa hasil yang mengejutkan.
Gunakan Teorema Nilai Antara untuk memperlihatkan bahwa pada cincin kabel melingkar selalu terdapat dua titik yang bersebrangan satu sama lain dengan suhu sama.
Gambar 12
PENYELESAIAN Pilih koordinat untuk persoalan ini sehingga pusat cincin adalah titik asal, dan misalkan $ r $ adalah jari-jari cincin. (Lihat Gambar 12). Definisikan $ T(x \text{, } y) $ adalah suhu di titik $ (x \text{, } y) $. Tinjau garis tengah lingkaran itu yang membuat sudut $ \theta $ dengan sumbu-x dan definisikan $ f(\theta) $ berupa selisih suhu antara titik yang membuat sudut sebesar $ \theta $ dan $ \theta+\pi $; yakni:
$ f(\theta)=T(r \cos{\theta} \text{, } r \sin{\theta})-T(r \cos(\theta+\pi) \text{, } r \sin{\theta+\pi}) $
Jadi, $ f(0) $ dan $ f(\pi) $ keduanya nol, atau satu positif dan yang lainnya negatif. Jika keduanya nol maka kita telah menemukan dua titik yang diminta. Jika tidak, kita dapat menerapkan Teorema Nilai Antara. Dengan menganggap bahwa suhu berubah secara kontinu, kita simpulkan bahwa terdapat sebuah $ c $ antara $ 0 $ dan $ \pi $ sedemikian rupa sehingga $ f(c)=0 $. Jadi, untuk dua titik pada sudut $ c $ dan $ c+\pi $, suhu adalah sama.
