Kebanyakan pembaca akan setuju bahwa membuktikan kebaradaan limit dengan menggunakan definisi $ \epsilon-\delta $ dari materi Pengkajian Presisi Sebuah Limit, selain memakan waktu juga sukar. Itulah sebabnya teorema-teorema dalam kajian yang akan dibahas ini disambut dengan baik. Teorema kita yang pertama sangat penting. Dengan teorema ini kita dapat menangani hampir semua masalah limit yang akan kita hadapi nanti.
Teorema Limit Utama
Misalkan $ n $ bilangan bulat positif, $ k $ konstanta, serta $ f $ dan $ g $ adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di $ c $. Maka:
Teorema A
Hasil-hasil yang penting ini akan mudah diingat jika kita pelajari dalam kata-kata. Misalnya, Pernyataan 4 diterjemahkan sebagai: Limit suatu jumlah adalah jumlah dari limit-limit.
Tentu saja, Teorema A perlu dibuktikan. Kita tunda pekerjaan tersebut sampai akhir materi ini, dengan pertama-tama memilih untuk memperlihatkan pada Anda bagaimana teorema multi-bagian ini digunakan.
Penerapan Teorema Limit Utama
Dalam contoh-contoh berikut, nomor-nomor yang dilingkari mengacu kepada pernyataan-pernyataan bernomor dari Teorema A. Masing-masing identitas dibenarkan oleh pernyataan yang ditunjuk.
asalkan $ f(x) $ terdefinisi. Dalam kasus fungsi rasional, ini bermakna bahwa nilai penyebut pada $ c $ tidak nol.
Bukti Teorema B menyusul dari penerapan secara berulang-ulang Teorema A. Perhatikan bahwa Teorema B membolehkan kita untuk mencari limit-limit untuk fungsi-fungsi polinomial dan rasional cukup dengan hanya mensubstitusi $ c $ untuk $ x $, asalkan penyebut dari fungsi rasional tidak nol pada $ c $.
PENYELESAIAN Baik Teorema B ataupun Pernyataan 7 dari Teorema A tidak berlaku, karena limit dari penyebut $ 0 $. Tetapi, karena limit pembilang adalah $ 11 $, kita lihat bahwa selama $ x $ dekat $ 1 $, kita membagi sebuah bilangan dekat $ 11 $ dengan sebuah bilangan positif dekat $ 0 $. Hasilnya sebuah bilangan positif yang besar. Kenyataannya, bilangan yang dihasilkan dapat dibuat besar sekehendak kita dengan membiarkan $ x $ cukup dekat ke $ 1 $. Kita katakan bahwa limitnya tidak ada. (Nanti dalam Limit Berhingga dan Tak Berhingga kita akan mengatakan bahwa limitnya adalah $ +\infty $).
Dalam banyak kasus, Teorema B tidak dapat diterapkan karena substitusi $ c $ menyebabkan penyebut menjadi $ 0 $. Dalam kasus seperti, kadangkala terjadi bahwa fungsi dapat disederhanakan, misalnya dengan pemfaktoran. Misalnya, kita dapat menuliskan:
Kita harus waspada dengan langkah yang terakhir ini. Pecahan $ \frac{x+5}{x+3} $ sama dengan salah satu di ruas kiri tanda sama dengan hanya jika $ x $ tidak sama dengan $ 2 $. Jika $ x=2 $, ruas kiri tak terdefinisi (karena penyebut $ 0 $), sedangkan ruas kanan sama dengan $ \frac{x+5}{x+3} = \frac{7}{5} $. Ini menimbulkan pertanyaan tentang apakah limit-limit:
adalah sama. Jawaban termuat dalam teorema berikut.
Teorema C:
Jika $ f(x)=g(x) $ untuk semua $ x $ dalam interval terbuka yang mengandung bilangan $ c $, terkecuali mungkin pada bilangan $ c $ sendiri, dan jika $ \displaystyle \lim_{x \to c}g(x) $ ada, maka $ \displaystyle \lim_{x \to c}f(x) $ ada dan $ \displaystyle \lim_{x \to c}f(x) = \lim_{x \to c}g(x) $.
PENYELESAIAN Lagi-lagi, Teorema B tidak dapat digunakan. Tetapi kali ini, hasil bagi mengambil bentuk tanpa arti $ \frac{0}{0} $ pada $ x=2 $. Ketika ini terjadi kita harus mencari suatu cara penyederhanaan seperti halnya pemfaktoran.
untuk semua $ x $ kecuali $ x=2 $. Segera kita menerapkan Teorema C, kita dapat menghitung limit degan substitusi (yakni dengan menerapkan Teorema B).
Bukti Teorema A (Fakultatif)
Anda seharusnya tidak terlalu terkejut pada waktu mengatakan bahwa bukti-bukti beberapa bagian dari Teorema A agak canggih. Karena hal ini, di sini kita hanya membutuhkan lima bagian yang pertama.
Bukti Pernyataan 1 dan 2 Pernyataan ini merupakan hasil dari $ \displaystyle \lim_{x \to c}(mx+b) = mc+b $ (Contoh 4 dari Pengkajian Presisi Sebuah Limit), pertama dengan menggunakan $ m=0 $ dan kemudian $ m=1 $, $ b=0 $.
Bukti Pernyataan 3 Jika $ k=0 $, hasilnya jelas, sehingga kita misalkan $ k \neq 0 $. Misalkan diberika $ k>0 $. Menurut hipotesis, $ \displaystyle \lim_{x \to c}f(x) $ ada; sebut nilainya $ L $. Menurut definisi limit, terdapat suatu bilangan $ \delta $ sedemikian rupa sehingga:
Seseorang pasti memprotes bahwa kita menempatkan $ \frac{\epsilon}{\left\vert k \right\vert} $ bukannya $ \epsilon $ pada akhir pertidaksamaan di atas. Baik, bukankah $ \frac{\epsilon}{\left\vert k \right\vert} $ suatu bilangan positif? Ya. Apakah definisi limit mensyaratkan bahwa untuk sebarang bilangan positif, terdapat suatu $ \delta $ yang berpadanan? Ya.
Sekarang dengan telah ditetapkannya $ \delta $, (lagi-lagi dengan analisis pendahuluan yang tidak diperlihatkan di sini), kita dapat menyatakan bahwa $ 0<\left\vert x-c \right\vert<\delta $ mengimplikasikan bahwa:
$ \left\vert kf(x)-kL \right\vert = \left\vert k \right\vert \left\vert f(x)-L \right\vert<\left\vert k \right\vert \frac{\epsilon}{\left\vert k \right\vert} = \epsilon $
Lihat Gambar 1. Misalkan $ \displaystyle \lim_{x \to c}f(x)=L $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to c}g(x)=M $. Jika $ \epsilon $ sebarang bilangan positif yang diberikan, maka $ \frac{\epsilon}{2} $ adalah positif. Karena $ \displaystyle \lim_{x \to c}f(x)=L $, maka terdapat suatu bilangan positif $ \delta_{1} $ sedemikian rupa sehingga:
Pilih $ \delta=\text{min}\{ \delta_{1}, \delta_{2} \} $; yaitu pilih $ \delta $ sebagai yang terkecil di antara $ \delta_{1} $ dan $ \delta_{2} $ mengimplikasikan bahwa:
Dalam rangkaian ini, pertidaksamaan yang pertama adalah pertidaksamaan segitiga; yang kedua sebagai hasil dari pilihan $ \delta $. Kita baru saja memperlihatkan bahwa:
Pernahkah Anda mendengar seseorang berkata, "Saya terjebak di antara batu dan tempat yang keras." Inilah yang terjadi pada $ g $ dalam teorema berikut (lihat Gambar 2).
Teorema D: Teorema Apit (Squeeze Theorem)
Misalkan $ f $, $ g $, dan $ h $ adalah fungsi yang memenuhi $ f(x) \le g(x) \le h(x) $ untuk semua $ x $ dekat $ c $, terkecuali mungkin pada $ c $. Jika $ \displaystyle \lim_{x \to c}f(x) = \lim_{x \to c}h(x) = L $, maka $ \displaystyle \lim_{x \to c}g(x)=L $.
Bukti (fakultatif) Misalkan diberikan $ \epsilon>0 $. Pilih $ \delta_{1} $ sedemikian rupa sehingga:
Kita simpulkan bahwa $ \displaystyle \lim_{x \to c}g(x)=L $.
Asumsikan bahwa kita telah membuktikan bahwa $ 1- \frac{x^{2}}{6} \le \frac{\sin{x}}{x} \le 1 $ untuk semua $ x $ yang dekat tapi berlainan dengan $ 0 $. Apa yang kita simpulkan tentang $ \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1 $.
PENYELESAIAN Misalkan $ f(x) = 1-\frac{x^{2}}{6} $, $ g(x)=\frac{\sin{x}}{x} $, dan $ h(x)=1 $. Menyusul bahwa $ \displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)=1=\lim_{x \to 0}h(x) $ dan akibatnya, menurut Teorema C.
