NkuCQmWxWJeSXeuAqt7LBjq580vp0ecgQCp0WTk2

Pengkajian Presisi Sebuah Limit - 1.2 Limit | Kalkulus

Matematika Cabang Kalkulus: Konsep Presisi Limit



Bab 1: Limit - KALKULUS
1.1 Pendahuluan Konsep Dasar Limit
1.2 Pengkajian Mendalam Presisi Limit
1.3 Teorema-Teorema Limit
1.4 Limit Fungsi Trigonometri
1.5 Limit di Tak Hingga
1.6 Kontinuitas Fungsi pada Limit


Dalam subbab sebelumnya Pendahuluan Konsep Dasar Limit telah diberikan definisi limit secara tidak formal. Berikut ini definisi yang sedikit lebih baik, tetapi masih tidak formal, dengan menyusun kembali kata-kata dari definisi tersebut. Mengatakan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to c}=L$ bermakna bahwa $f(x)$ dapat dibuat sedekat mungkin ke $L$ asalkan $x$ cukup dekat, tetapi tidak sama dengan $c$. Contoh pertama mengilustrasikan poin ini.

Gunakan plot $y=f(x)=3x^{2}$ untuk menentukan seberapa dekat $x$ seharusnya ke $2$ untuk menjamin bahwa $f(x)$ berada di dalam $0,05$ dari $12$.
Gambar 1
PENYELESAIAN Agar $f(x)$ berada di dalam $0,05$ dari $12$, kita haruslah mempunyai $11,95 < f(x) < 12,05$.
Garis-garis $y=11,95$ dan $y=12,05$ telah diperlihatkan dalam Gambar 1. Jika kita memecahkan $3x^{2}$, kita memperoleh $x=\sqrt{\frac{y}{3}}$. Sehingga $f(\sqrt{\frac{11,95}{3}})=11,95$ dan $f(\sqrt{\frac{12,05}{3}})=12,05$.
Gambar 1 mengindikasikan bahwa jika: $\sqrt{\frac{11,95}{3}} < x < \sqrt{\frac{12,05}{3}}$ maka $f(x)$ memenuhi $ 11,95 < f(x) < 12,05 $. Interval untuk $x$ ini adalah kira-kira $ 1,99583 < x < 2,00416 $. Salah satu dari kedua titik ujung ini, yang di atas yakni $2,0046$ lebih dekat ke $2$ dan dia berada di dalam $0,00416$ dari $2$. Jadi, jika $x$ berada di dalam $0,00416$ dari $2$ maka $f(x)$ berada di dalam $0,05$ dari $12$.

Jika sekarang kita bertanya seberapa dekat seharusnya $x$ terhadap $2$ untuk menjamin bahwa $f(x)$ berada di dalam $0,01$ dari $12$, penyelesaian akan berjalan di sepanjang garis yang sama, dan kita akan menemukan bahwa $x$ akan berada dalam interval yang lebih sempit daripada yang kita peroleh di atas. Jika kita menginginkan $f(x)$ berada di dalam $0,001$ dari $12$, kita akan mensyaratkan interval yang masih lebih sempit lagi. Dalam contoh ini, nampaknya masuk akal bahwa tidak peduli seberapa dekat kita inginkan $f(x)$ dari $12$, maka kita dapat memenuhi ini dengan mengambil $x$ cukup dekat ke $2$.

Sekarang kita membuat definisi yang presisi tentang limit.

Definisi Presisi untuk Limit

Kita ikuti tradisi dalam menggunakan huruf Yunani $\epsilon$ (epsilon) dan $\delta$ (delta) untuk menggantikan sebarang bilangan-bilangan positif (biasanya kecil).
Gambar 2
Mengatakan bahwa $f(x)$ berbeda dari $L$ sebesar lebih kecil dari $\epsilon$ bermakna $L-\epsilon < f(x) < L+ \epsilon$ , atau secara setara, $\left\vert f(x)-L \right\vert < \epsilon$ . Ini bermakna bahwa $f(x)$ terletak dalam interval terbuka $(L-\epsilon, L+\epsilon)$ yang diperlihatkan dalam Gambar 2.

Selanjutnya, mengatakan bahwa $x$ cukup dekat tetapi berlainan dengan $c$ sama saja dengan mengatakan bahwa untuk suatu $\delta$, $x$ terletak dalam interval terbuka $(c-\delta, c+\delta)$ dengan $c$ dihilangkan. Barangkali cara terbaik untuk mengatakan ini adalah dengan menuliskan:
$0 < \left\vert x-c \right \vert < \delta$


Perhatikan bahwa $\left \vert x-c \right \vert<\delta$ akan menguraikan interval $c-\delta < x < c + \delta$, sedangkan $0 < \left\vert x-c \right \vert $ mensyaratkan bahwa $x=c$ dikecualikan. Interval dengan pengecualian yang diuraikan tersebut dalam Gambar 3.
Gambar 3
Sekarang kita siap untuk definisi yang sementara menurut orang disebut definisi terpenting dalam kalkulus.
Definisi: Pengertian Presisi Limit

Mengatakan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L$ berarti bahwa untuk tiap $\epsilon > 0$ yang diberikan (berapa pun kecilnya), terdapat $\delta>0$ yang berpadanan sedemikian rupa sehingga $\left \vert f(x)-L \right \vert$ asalkan bahwa $0<\left \vert x-c \right \vert<\delta$, yakni:

$0<\left \vert x-c \right \vert<\delta \Rightarrow \left \vert f(x)-L \right \vert<\epsilon$

Gambar 4
Gambar 4 akan membantu Anda memahami definisi ini.
Kita harus menekankan bahwa pertama-tama bilangan real $\epsilon$ harus diberikan, kemudian bilangan $\delta$ harus dihasilkan, dan biasanya tergantung pada $\epsilon$. Misalkan David ingin membuktikan kepada Emilia bahwa $\displaystyle \lim_{x \to c}=L$. Emilia dapat menantang David dengan suatu $\epsilon$ tertentu yang dipilihnya (misalnya, $\epsilon=0,01$) dan meminta David mencari $\delta$ yang berpadanan. Marilah kita terapkan penalaran David tentang $\displaystyle \lim_{x \to 3}(2x+1)$. Dengan pemeriksaan, Dina akan menduga bahwa nilai limitnya adalah $7$. Sekarang dapatkah David mencari sebuah $\delta$ sedemikian rupa sehingga $\left \vert (2x+1)-7 \right \vert < 0,01$ ketika $0<\left \vert x-3 \right \vert<\delta$. Sedikit aljabar memperlihatkan bahwa:
$\left \vert (2x+1)-7 \right \vert < 0,01 \Leftrightarrow 2\left\vert x-3 \right\vert<0,01$
$\Leftrightarrow \left\vert x-3 \right\vert < \frac{0,01}{2}$


Jadi, jawabannya adalah ya! David dapat memilih $\frac{0,01}{2}$ (atau sebarang bilangan yang lebih kecil) dan ini akan memastikan bahwa $\left \vert (2x+1)-7 \right \vert < 0,01$ ketika $0<\left\vert x-3 \right\vert < \frac{0,01}{2}$. Dengan perkataan lain, David dapat membuat $2x+1$ berada di antara $0,01$ dari $7$, asalkan bahwa $x$ berada di antara $\frac{0,01}{2}$ dari $3$.

Sekarang misalkan Emilia menantang David lagi, tetapi kali ini dia menginginkan $\left\vert (2x+1)-7 \right\vert < 0,000002$. Dapatkah David mencari $\delta$ untuk nilai $\epsilon$ ini? Dengan mengikuti penalaran yang digunakan di atas.
$\left\vert (2x+1)-7 \right\vert < 0,000002 \Leftrightarrow 2\left\vert x-3 \right\vert<0,000002$
$\Leftrightarrow \left\vert x-3 \right\vert<\frac{0,000002}{2}$

Jadi $\left\vert (2x+1)-7 \right\vert < 0,000002$ ketika $\left\vert x-3 \right\vert<\frac{0,000002}{2}$.

Penalaran semacam ini, walaupun boleh jadi meyakinkan beberapa orang, bukanlah berupa bukti bahwa limitnya adalah $7$. Definisi mengatakan bahwa kita harus mampu mencari $\delta$ untuk setiap $\epsilon >0$ (bukan untuk suatu atau beberapa $\epsilon >0$). Emilia dapat menantang David berulang-ulang, tetapi mereka tidak akan pernah membuktikan bahwa limitnya adalah $7$. David harus mampu mendapatkan nilai $\delta$ untuk setiap $\epsilon$ positif (berapa pun kecilnya).

David memilih untuk menyelesaikannya sendiri dan memisalkan $\epsilon$ berupa sebarang bilangan real positif. Dia mengikuti penalaran yang sama seperti di atas, tetapi kali ini dia menggunakan $\epsilon$ sebagai ganti $0,000002$.
$\left\vert (2x+1)-7 \right\vert<\epsilon \Leftrightarrow 2\left\vert x-3 \right\vert<\epsilon$
$\Leftrightarrow \left\vert x-3 \right\vert < \frac{\epsilon}{2}$

David dapat memilih $\delta=\frac{\epsilon}{2}$ dan mengimplikasikan bahwa $\left\vert (2x+1)-7 \right\vert<\epsilon$ ketika $\left\vert x-3 \right\vert < \frac{\epsilon}{2}$ . Dengan perkataan lain, dia dapat membuat $2x+1$ berada di antara $\epsilon$ dari $7$ , asalkan $x$ berada di antara $\frac{\epsilon}{2}$ dari $3$. Sekarang Emilia telah memenuhi persyaratan definisi limit dan karena itu telah memeriksa kebenaran bahwa limitnya adalah $7$, seperti yang diduga sebelumnya.

Beberapa Bukti Limit

Dalam masing-masing contoh berikut, kita mulai dengan apa yang disebut analisis pendahuluan. Kita sertakan di sini untuk menunjukkan pilihan untuk $\delta$ dalam masing-masing bukti bukan merupakan bagian yang penting. Ini hanyalah kerja yang cukup Anda lakukan di kertas buram. Begitu Anda telah memahami sebuah contoh, lihatlah sekali lagi, tetapi tutupi analisis pendahuluan dan perhatikan bagaimana anggunnya, tetapi penuh rahasia, nampaknya bukti tersebut.

Buktikan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 4}(3x-7)=5$.
ANALISIS PENDAHULUAN Misalkan $\epsilon$ bilangan positif sebarang. Kita harus menghasilkan suatu $\delta>0$ sedemikian rupa sehingga:
$0<\left\vert x-4 \right\vert<\delta \Rightarrow \left\vert (3x-7)-5 \right\vert<\epsilon$

Pandang pertidaksamaan di sebelah kanan:
$\left\vert (3x-7)-5 \right\vert<\epsilon \Leftrightarrow \left\vert 3x-12 \right\vert < \epsilon$
$\Leftrightarrow \left\vert 3(x-4) \right\vert < \epsilon$
$\Leftrightarrow \left\vert 3 \right\vert \left\vert x-4 \right\vert < \epsilon$
$\Leftrightarrow \left\vert x-4 \right\vert < \frac{\epsilon}{3}$


Sekarang kita lihat bagaimana memilih $\delta$; yakni $\delta=\frac{\epsilon}{3}$. Tentu saja, sebarang $\delta$ yang lebih kecil akan memenuhi.

BUKTI FORMAL Misalkan diberikan $\epsilon>0$ . Pilih $\delta=\frac{\epsilon}{3}$. Maka $0<\left\vert x-4 \right\vert<\delta$ mengimplikasikan:
$\left\vert (3x-7)-5 \right\vert = \left\vert 3x-12 \right\vert = \left\vert 3(x-4) \right\vert=3\left\vert x-4 \right\vert < 3\delta=\epsilon $

Jika Anda baca rangkaian pertidaksamaan dan sebuah identitas ini dari kiri ke kanan dan gunakan sifat transitif dari $=$ dan $<$, Anda lihat bahwa:
$\left\vert (3x-7)-5 \right\vert < \epsilon$

Sekarang, David tahu sebuah aturan untuk pemilihan nilai $\delta$ yang diberikan oleh Emilia. Jika Emilia menantang David dengan $\epsilon=0,01$, maka David akan menanggapi dengan $\delta=\frac{0,01}{3}$. Jika Emilia mengatakan $\epsilon=0,000003$, David akan mengatakan $\delta=0,000001$. Jika David memberikan $\delta$ yang lebih kecil lagi, itu juga akan baik.
Gambar 5
Tentu saja, jika Anda pikirkan grafik dari $y=3x-7$ (sebuah garis dengan kemiringan $3$, seperti gambar 5), Anda tahu bahwa memaksa $3x-7$ agar dekat ke $5$, akan lebih baik membuat $x$ sedekat mungkin (lebih dekat menurut kelipatan sepertiga) ke $4$.
Gambar 6
Perhatikan Gambar 6. Kemudian yakinkan diri Anda bahwa $\delta=2\epsilon$ adalah pilihan $\delta$ yang cocok untuk memperlihatkan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 4}(\frac{1}{2}x + 3)=5$.

Buktikan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2x^{2}-3x-2}{x-2}=5$.
ANALISIS PENDAHULUAN Kita mencari $\delta$ sedemikian rupa sehingga:
$0<\left\vert x-2 \right\vert<\delta \Rightarrow \left\vert \frac{2x^{2}-3x-2}{x-2}-5 \right\vert<\epsilon$

Sekarang untuk $x \ne 2$.
$\left\vert \frac{2x^{2}-3x-2}{x-2}-5 \right\vert<\epsilon \Leftrightarrow \left\vert \frac{(2x+1)(x-2)}{x-2}-5 \right\vert<\epsilon$
$\Leftrightarrow \left\vert (2x+1)-5 \right\vert < \epsilon$
$\Leftrightarrow \left\vert 2(x-2) \right\vert < \epsilon$
$\Leftrightarrow \left\vert 2 \right\vert \left\vert x-2 \right\vert < \epsilon$
$\Leftrightarrow \left\vert x-2 \right\vert < \frac{\epsilon}{2}$

Ini menunjukkan bahwa $\delta=\frac{\epsilon}{2}$ akan memenuhi (lihat Gambar 7).
Gambar 7
BUKTI FORMAL Misalkan diberikan $\epsilon >0$. Pilih $\delta=\frac{\epsilon}{2}$. Dari $0<\left\vert x-2 \right\vert<\delta$ kita peroleh:
$\left\vert \frac{2x^{2}-3x-2}{x-2}-5 \right\vert = \left\vert \frac{(2x+1)(x-2)}{x-2}-5\right\vert =\left\vert 2x+1-5 \right\vert $
$\left\vert 2(x-2)\right\vert = 2\left\vert x-2 \right\vert < 2\delta=\epsilon$

Pencoretan faktor $x-2$ sah karena $0<\left\vert x-2 \right\vert$ mengimplikasikan $x\neq 2$; dan $\frac{x-2}{x-2}=1$ selama $x\neq 2$.

Buktikan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to c}(mx +b)=mc+b$.
ANALISIS PENDAHULUAN Kita harus mencari $\delta$ sedemikian rupa sehingga:
$0<\left\vert x-c \right\vert<\delta \Rightarrow \left\vert (mx+b)-(mc+b) \right\vert<\epsilon$

Sekarang:
$\left\vert (mx+b)-(mc+b) \right\vert=\left\vert mx-mc \right\vert=\left\vert m(x-c) \right\vert=\left\vert m \right\vert \left\vert x-c \right\vert$


Nampak bahwa $\delta=\frac{\epsilon}{\left\vert m \right\vert}$ akan memenuhi selama $m \neq 0$. (Perhatikan bahwa $m$ dapat berupa positif atau negatif, sehingga kita perlu mempertahankan tanda nilai mutlak. Ingat kembali bahwa $\left\vert ab \right\vert=\left\vert a \right\vert \left\vert b \right\vert$).

BUKTI FORMAL Misalkan diberikan $\epsilon>0$. Pilih $\delta=\frac{\epsilon}{\left\vert m \right\vert}$. Dari $0<\left\vert x-c \right\vert<\delta$ kita peroleh:
$\left\vert (mx+b)-(mc+b) \right\vert=\left\vert mx-mc \right\vert =\left\vert m \right\vert \left\vert x-c \right\vert < \left\vert m \right\vert \delta=\epsilon$

Dan dalam kasus $m=0$, sebarang $\delta$ akan memenuhi dengan baik karena:
$\left\vert (0x+b)-(0c+b) \right\vert = \left\vert 0 \right\vert = 0$

Yang belakangan lebih kecil daripada $\epsilon$ untuk semua $x$.

Buktikan bahwa jika $c>0$, $\displaystyle \lim_{x \to c} \sqrt{x}=\sqrt{c}$.
Gambar 8
ANALISIS PENDAHULUAN Lihat Gambar 8. Kita harus mencari $\delta$ sedemikian rupa sehingga:
$0<\left\vert x-c \right\vert<\delta \Rightarrow \left\vert \sqrt{x} - \sqrt{c} \right\vert$

Sekarang:
$\left\vert \sqrt{x} - \sqrt{c} \right\vert= \left\vert \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{c})(\sqrt{x}+\sqrt{c})}{\sqrt{x}+\sqrt{c}} \right\vert=\left\vert \frac{x-c}{\sqrt{x}+\sqrt{c}} \right\vert$
$=\left\vert \frac{x-c}{\sqrt{x}+\sqrt{c}} \right\vert \le \left\vert \frac{x-c}{\sqrt{c}} \right\vert$


Untuk membuat yang belakangan lebih kecil daripada$\epsilon$, disyaratkan bahwa kita membuat $\left\vert x-c \right\vert < \epsilon \sqrt{c}$.

BUKTI FORMAL Misalkan diberikan $\epsilon > 0$. Pilih $\delta=\epsilon \sqrt{c}$. Maka $0<\left\vert x-c \right\vert<\delta$ mengimplikasikan bahwa:
$\left\vert \sqrt{x} - \sqrt{c} \right\vert = \left\vert \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{c})(\sqrt{x}+\sqrt{c})}{\sqrt{x}+\sqrt{c}} \right\vert=\left\vert \frac{x-c}{\sqrt{x}+\sqrt{c}} \right\vert$
$=\frac{\left\vert x-c \right\vert}{\sqrt{x}+\sqrt{c}} \le \frac{\left\vert x-c \right\vert}{\sqrt{c}}<\frac{\delta}{\sqrt{c}}=\epsilon$

Terdapat satu hal teknis di sini. Kita mulai dengan $c>0$, tetapi dapat terjadi bahwa $c$ berada sangat dekat ke $0$ pada sumbu-$x$. Kita seharusnya bersikeras bahwa $\delta \le c$, karena dengan demikian $\left\vert x-c \right\vert< \delta$ mengimplikasikan $x>0$ sehingga $\sqrt{x}$ terdefinisi. Jadi untuk memperoleh tingkat ketelitian yang tinggi, pilih $\delta$ yang lebih kecil di antara $c$ dan $\epsilon \sqrt{c}$.

Buktikan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 2}(x^{2}+x-5)=7$.
ANALISIS PENDAHULUAN Tugas kita adalah mencari $\delta$ sedemikian rupa sehingga:
$0<\left\vert x-3 \right\vert < \delta \Rightarrow \left\vert (x^{2}+x-5)-7 \right\vert < \epsilon$

Sekarang,
$\left\vert (x^{2}+x-5)-7 \right\vert=\left\vert x^{2}+x-12 \right\vert= \left\vert x+4\right\vert \left\vert x-3 \right\vert$


Faktor $\left\vert x-3 \right\vert$ dapat dibuat sekecil seperti yang kita inginkan dan kita mengetahui bahwa faktor $\left\vert x+4 \right\vert$ akan bernilai sekitar $7$. Karenanya kita mencari sebuah batas atas untuk $\left\vert x+4 \right\vert$. Untuk melakukan ini, pertama kita setuju membuat $\delta \le 1$. Maka $\left\vert x-3 \right\vert<\delta$ mengimplikasikan bahwa:
$\left\vert x+4 \right\vert=\left\vert x-3+7 \right\vert$
$\le \left\vert x-3 \right\vert + \left\vert 7 \right\vert$ (Pertidaksamaan segitiga)
$<1+7=8$


(Gambar 9 menawarkan cara lain untuk mendemonstrasikan fakta ini). Jika kita juga mensyaratkan $\delta \le \frac{\epsilon}{8}$, maka hasil kali $0<\left\vert x-3 \right\vert<\delta$ akan lebih kecil daripada $\epsilon$.
Gambar 9

BUKTI FORMAL Misalkan diberikan $\epsilon > 0$. Pilih $\delta = \text{min} \{1, \frac{\epsilon}{8}$; yakni pilih $\delta$ sebagai yang terkecil di antara $1$ dan $\frac{\epsilon}{8}$. Maka $0<\left\vert x-3 \right\vert<\delta$ mengimplikasikan bahwa:
$\left\vert (x^{2}+x-5)-7 \right\vert=\left\vert x^{2}+x-12 \right\vert=\left\vert x+4 \right\vert \left\vert x-3 \right\vert<8\cdot \frac{\epsilon}{8}=\epsilon$


Buktikan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to c} x^{2}= c^{2}$.
BUKTI FORMAL Kita tiru bukti dalam Contoh 6. Misalkan diberikan $\epsilon>0$. Pilih $\delta=\text{min} \{1, \frac{\epsilon}{1+2\left\vert c\right\vert}$. Maka $0<\left\vert x-c \right\vert<\delta$ mengimplikasikan bahwa:
$\left\vert x^{2}-c^{2}\right\vert=\left\vert x+c\right\vert \left\vert x-c \right\vert =\left\vert x-c+2c \right\vert \left\vert x-c \right\vert$
$\le (\left\vert x-c \right\vert +2\left\vert c \right\vert)\left\vert x-c \right\vert$ (Pertidaksamaan segitiga)
$<(1+2\left\vert c \right\vert)\left\vert x-c \right\vert< \frac{(1+2\left\vert c \right\vert) \cdot \epsilon}{1+2\left\vert c \right\vert}$


Walaupun nampaknya luarbiasa, kita tidak “mengambil $\delta$ dari langit” dalam Contoh 7. Kami hanya tidak memperlihatkan kepada Anda analisis pendahuluannya kali ini.

Buktikan bahwa $\displaystyle \lim_{\frac{1}{x}}=\frac{1}{c}$, $c \neq 0$.
Gambar 10
ANALISIS PENDAHULUAN Kaji Gambar 10. Kita harus mencari $\delta$ sedemikian rupa sehingga:
$0<\left\vert x-c \right\vert<\delta \Rightarrow \left\vert \frac{1}{x}-\frac{1}{c} \right\vert<\epsilon$

Sekarang,
$\left\vert \frac{1}{x}-\frac{1}{c}\right\vert=\left\vert \frac{c-x}{xc} \right\vert=\frac{1}{\left\vert x \right\vert} \cdot \frac{1}{\left\vert c \right\vert} \cdot \left\vert x-c \right\vert$

Faktor $\frac{1}{\left\vert x \right\vert}$ menyulitkan, khususnya jika $x$ dekat $0$. Kita dapat membatasi faktor ini jika dapat dapat menjauhkan $x$ dari $0$. Untuk maksud itu, perhatikan bahwa:
$\left\vert c \right\vert=\left\vert c-x+x \right\vert \le \left\vert c-x \right\vert+\left\vert x \right\vert$

sehingga,
$\left\vert x \right\vert \ge \left\vert c \right\vert-\left\vert x-c \right\vert$


Jadi, jika kita pilih $\frac{1}{\left\vert x \right\vert}$ , maka kita berhasil dalam membuat $\left\vert x \right\vert \ge \frac{\left\vert c \right\vert}{2}$. Akhirnya jika kita juga mensyaratkan $\delta \le \frac{\epsilon c^{2}}{2}$, maka:
$\frac{1}{\left\vert x \right\vert} \cdot \frac{1}{\left\vert c \right\vert} \cdot \left\vert x-c \right\vert \ < \frac{1}{\frac{\left\vert c \right\vert}{2}} \cdot \frac{1}{c} \cdot \frac{\epsilon c^{2}}{2}=\epsilon$


BUKTI FORMAL Misalkan diberikan $\epsilon > 0$. Pilih $\delta= \text{min} \{ \frac{\left\vert c \right\vert}{2}, \frac{\epsilon c^{2}}{2} \}$. Maka $0<\left\vert x-c \right\vert<\delta$ mengimplikasikan:
$\left\vert \frac{1}{x}-\frac{1}{c} \right\vert=\left\vert \frac{c-x}{xc} \right\vert=\frac{1 }{\left\vert x \right\vert } \cdot \frac{1}{\left\vert c \right\vert } \cdot \left\vert x-c \right\vert < \frac{1}{\frac{\left\vert c \right\vert}{2}}\cdot \frac{1}{c} \cdot \frac{\epsilon c^{2}}{2}=\epsilon$

Presisi untuk Limit Satu Sisi

Kita tidak memerlukan banyak imajinasi untuk memberikan definisi $\epsilon - \delta$ dari aturan limit kanan dan limit kiri.
Definisi: Limit Kanan

Mengatakan $\displaystyle \lim_{x \to c^{+}}=L$ berarti bahwa untuk setiap $\epsilon > 0$, terdapat $\delta >0$ yang berpadanan sedemikian rupa sehingga:

$ 0 < x-c < \delta \Rightarrow \left\vert f(x)-L \right\vert < \epsilon $



Kami serahkan penentuan definisi $\epsilon - \delta$ untuk limit kiri kepada Anda sebagai pembaca.
Konsep $\epsilon - \delta $ yang disajikan dalam subbab ini barangkali merupakan topik yang paling rumit dan sukar dipahami dalam kuliah kalkulus. Mungkin Anda memerlukan waktu lebih untuk memahami konsep ini, tetapi hal itu akan berguna. Kalkulus adalah pengkajian limit, sehingga pemahamannya yang jelas tentang konsep limit merupakan tujuan yang bermanfaat.

Penemuan kalkulus biasanya dihubungkan dengan Isaac Newton (1642-1727) dan Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), yang bekerja secara terpisah pada akhir 1600-an. Walaupun Newton dan Leibniz, bersama dengan penerusnya, menemukan sejumlah sifat kalkulus, dan kalkulus ditemukan mempunyai banyak penerapan dalam sains fisik, baru pada abad kesembilan belas diajukan definisi yang presisi tentang limit.

Augustin Louis Cauchy (1789-1857), insinyur dan matematikawan Perancis, memberikan definisi: “Jika nilai-nilai beruntun yang dikaitkan terhadap variabel yang sama secara tak berhingga mendekati suatu nilai tetap, sedemikian rupa sehingga mereka pada akhirnya darinya oleh bilangan kecil, sekecil di-inginkan, maka yang belakangan ini disebut limit dari semua yang lainnya”.

Bahkan Cauchy, pakar hal yang resmi, agak samar-samar dalam definisinya tentang limit. Apa yang dimaksud “nilai beruntun”, dan “akhirnya dibedakan?”. Ungkapan “akhirnya dibedakan darinya oleh bilangan kecil, sekecil yang diinginkan” memuat akar definisi $\epsilon - \delta$, karena untuk pertama kalinya dia menunjukkan selisih antara $f(x)$ dan limitnya $L$ dapat dibuat lebih kecil daripada sebarang bilangan yang diberikan, bilangan yang kita beri label $\epsilon$. Matematikawan Jerman, Karl Weierstrass (1815-1897) pertama-tama menyusun bersama definisi yang setara definisi $\epsilon - \delta$ tentang limit.
Related Posts
Kumatho.com
"Sebuah misi penyebaran ajaran matematika dalam jaringan."

Related Posts

Posting Komentar