Pendahuluan Konsep Dasar Limit - 1.1 Limit | Kalkulus
Kalkulus adalah studi tentang limit. (Dalam bahasa Inggris ‘limit’ berarti ‘batas’).
Contents
Kalkulus adalah studi tentang limit. (Dalam bahasa Inggris ‘limit’ berarti ‘batas’).
Konsep limit secara mendasar adalah tentang pertanyaan: apa yang terjadi pada fungsi $f(x)$ ketika $x$ semakin mendekati konstanta $c$?
Misalkan kita mencari luas segi-empat dan segitiga dengan menggunakan rumus-rumus geometri, tetapi bagaimana dengan luas dari bangun yang batasnya melengkung, seperti misalnya lingkaran? Archimedes telah memikirkannya dua ribu tahun lalu.
 |
| Gambar 1 |
Bayangkan poligon-poligon beraturan diletakkan di dalam lingkaran seperti pada Gambar 1. Archimedes mampu menemukan luas daerah dari poligon beraturan dengan $n$ sisi, dan dengan mengambil poligon beraturan yang sisinya semakin banyak, dia mampu mengaproksimasi luas sebuah lingkaran yang diinginkan. Dengan kata lain, luas lingkaran adalah limit dari luas poligon-poligon beraturan ketika $n$ (banyaknya sisi poligon) meningkat tanpa batas.
Pemahaman Limit secara Intuisi
Tinjau fungsi yang ditentukan oleh rumus:
Perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisikan pada $x=1$ karena di titik tersebut $ f(x)$ berbentuk $\frac{0}{0}$, yang tanpa makna. Namun, kita masih dapat menanyakan apa yang terjadi pada $ f(x)$ ketika $x$ mendekati $1$?
Untuk memperoleh jawabannya , kita dapat melakukan tiga hal. Kita dapat menghitung beberapa nilai $f(x)$ untuk $x$ mendekati $1$, kita dapat menentukan dalam diagram skematis, dan kita dapat mensketsakan grafik $y=f(x)$. Semuanya ini telah dilakukan, dan hasil-hasilnya diperlihatkan dalam Gambar 2.
$f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}$
Perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisikan pada $x=1$ karena di titik tersebut $ f(x)$ berbentuk $\frac{0}{0}$, yang tanpa makna. Namun, kita masih dapat menanyakan apa yang terjadi pada $ f(x)$ ketika $x$ mendekati $1$?
Untuk memperoleh jawabannya , kita dapat melakukan tiga hal. Kita dapat menghitung beberapa nilai $f(x)$ untuk $x$ mendekati $1$, kita dapat menentukan dalam diagram skematis, dan kita dapat mensketsakan grafik $y=f(x)$. Semuanya ini telah dilakukan, dan hasil-hasilnya diperlihatkan dalam Gambar 2.
 |
| Gambar 2 |
Semua informasi yang telah kita olah kelihatannya mempunyai kesimpulan yang sama: $f(x)$ mendekati $3$ ketika $x$ mendekati 1. Dalam lambang matematis, kita tuliskan:
Ini dibaca “limit ketika $x$ mendekati $1$ dari $\frac{x^{3}-1}{x-1}$ adalah $3$”.
Dengan menjadi seorang pakar aljabar yang baik (yang mengetahui bagaimana mengurai selisih pangkat tiga), kita dapat menyediakan fakta-fakta lebih banyak dan lebih baik.
Perhatikan bahwa $\frac{x-1}{x-1}=1$, selama $x \ne 1$. Ini membenarkan langkah yang kedua. Langkah ketiga seharusnya nampak masuk akal, pembuktian yang lebih rinci akan kita lihat kemudian.
Agar yakin bahwa kita berada pada jalur yang benar, kita perlu mempunyai pengertian yang jelas tentang arti perkataan limit. Berikut percobaan kita yang pertama pada sebuah definisi.
Perhatikan bahwa kita tidak perlu mensyaratkan apa pun pada $c$. Fungsi $f$ bahkan tidak perlu terdefinisi di $c$, tidak dalam contoh $f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}$ yang baru saja ditinjau.
Pemikiran tentang limit dihubungkan dengan perilaku fungsi di dekat $c$, bukan di $c$. Pembaca yang hati-hati pasti menentang penggunaan perkataan dekat. Apa sebenarnya makna dekat? Seberapa dekat adalah dekat? Untuk jawaban yang persis, Anda harus mempelajari subbab berikutnya, beberapa contoh lebih lanjut akan membantu memperjelas pemikiran tersebut.
Contoh pertama kita kelihatannya sederhana, tetapi penting.
Carilah $\displaystyle \lim_{x \to 3}(4x-5)$
PENYELESAIAN Ketika $x$ dekat 3, maka $4x-5$ dekat terhadap $4(3)-5=7$. Kita tuliskan:
Carilah $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^{2}-x-6}{x-3}$
PENYELESAIAN Perhatikan bahwa $\frac{x^{2}-x-6}{x-3}$ tidak terdefinisi di $x=3$, tetapi itu tidak masalah. Untuk mendapatkan gagasan tentang apa yang terjadi ketika $x$ mendekati $3$, kita dapat menggunakan kalkulator untuk menghitung ekspresi yang diberikan, misalnya pada $3,1$ ; $3,01$ ; $3,001$ dan seterusnya. Tetapi akan lebih baik apabila kita sederhanakan dengan menggunakan aljabar.
Pencoretan $(x-3)$ dalam langkah kedua diperbolehkan karena definisi limit mengabaikan perilaku tepat di $x=3$. Ingat, $\frac{x-3}{x-3}=1$ selama $x$ tidak sama dengan 3.
Carilah $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}$
$\displaystyle \lim_{x \to{1}} \frac{x^{3}-1}{x-1}=3$
Ini dibaca “limit ketika $x$ mendekati $1$ dari $\frac{x^{3}-1}{x-1}$ adalah $3$”.
Dengan menjadi seorang pakar aljabar yang baik (yang mengetahui bagaimana mengurai selisih pangkat tiga), kita dapat menyediakan fakta-fakta lebih banyak dan lebih baik.
$\displaystyle \lim_{x \to{1}} \frac{x^{3}-1}{x-1}=\lim_{x \to{1}} \frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x-1}$
$\displaystyle = \lim_{x \to{1}} (x^{2}+x+1)$
$=(1)^{2}+(1)+1$
$=3$
$\displaystyle = \lim_{x \to{1}} (x^{2}+x+1)$
$=(1)^{2}+(1)+1$
$=3$
Perhatikan bahwa $\frac{x-1}{x-1}=1$, selama $x \ne 1$. Ini membenarkan langkah yang kedua. Langkah ketiga seharusnya nampak masuk akal, pembuktian yang lebih rinci akan kita lihat kemudian.
Agar yakin bahwa kita berada pada jalur yang benar, kita perlu mempunyai pengertian yang jelas tentang arti perkataan limit. Berikut percobaan kita yang pertama pada sebuah definisi.
Definisi: Makna Limit secara Intuisi
Untuk mengatakan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to{c}} f(x) = L$, yang berarti bahwa ketika $x$ mendekati tapi tidak sama dengan $c$, maka $f(x)$ mendekati nilai $L$.
Untuk mengatakan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to{c}} f(x) = L$, yang berarti bahwa ketika $x$ mendekati tapi tidak sama dengan $c$, maka $f(x)$ mendekati nilai $L$.
Perhatikan bahwa kita tidak perlu mensyaratkan apa pun pada $c$. Fungsi $f$ bahkan tidak perlu terdefinisi di $c$, tidak dalam contoh $f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}$ yang baru saja ditinjau.
Pemikiran tentang limit dihubungkan dengan perilaku fungsi di dekat $c$, bukan di $c$. Pembaca yang hati-hati pasti menentang penggunaan perkataan dekat. Apa sebenarnya makna dekat? Seberapa dekat adalah dekat? Untuk jawaban yang persis, Anda harus mempelajari subbab berikutnya, beberapa contoh lebih lanjut akan membantu memperjelas pemikiran tersebut.
Contoh Lainnya
Contoh pertama kita kelihatannya sederhana, tetapi penting.
Carilah $\displaystyle \lim_{x \to 3}(4x-5)$
PENYELESAIAN Ketika $x$ dekat 3, maka $4x-5$ dekat terhadap $4(3)-5=7$. Kita tuliskan:
$\displaystyle \lim_{x \to 3} (4x-5) = 7$
Carilah $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^{2}-x-6}{x-3}$
PENYELESAIAN Perhatikan bahwa $\frac{x^{2}-x-6}{x-3}$ tidak terdefinisi di $x=3$, tetapi itu tidak masalah. Untuk mendapatkan gagasan tentang apa yang terjadi ketika $x$ mendekati $3$, kita dapat menggunakan kalkulator untuk menghitung ekspresi yang diberikan, misalnya pada $3,1$ ; $3,01$ ; $3,001$ dan seterusnya. Tetapi akan lebih baik apabila kita sederhanakan dengan menggunakan aljabar.
$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^{2}-x-6}{x-3}=\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+2)}{x-3}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 3}(x+2)$
$=(3)+2$
$=5$
$\displaystyle =\lim_{x \to 3}(x+2)$
$=(3)+2$
$=5$
Pencoretan $(x-3)$ dalam langkah kedua diperbolehkan karena definisi limit mengabaikan perilaku tepat di $x=3$. Ingat, $\frac{x-3}{x-3}=1$ selama $x$ tidak sama dengan 3.
Carilah $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}$
 |
| Gambar 3 |
PENYELESAIAN Tidak ada muslihat aljabar yang dapat menyederhanakan soal ini; tentu saja kita tidak dapat mencoret $x$. Kalkulator akan menolong kita memperoleh gagasan tentang limit itu. Gunakan kalkulator Anda (mode radian) untuk memeriksa nilai-nilai dalam tabel Gambar 3. Gambar 4 memperlihatkan $y=\frac{\sin{x}}{x}$. Kesimpulan kita, walaupun kita akui tidak cukup kuat adalah bahwa:
|
| Gambar 4 |
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}=1$
Kita akan menjelaskannya lebih cermat pada [Limit Melibatkan Trigonometri].
Ternyata keadaannya tidak semudah itu. Kalkulator boleh jadi mengecoh kita, demikian juga intuisi kita. Contoh-contoh berikut mengetengahkan beberapa jebakan yang mungkin.
(Kalkulator mungkin mengecoh Anda). Carilah $\displaystyle \lim_{x \to 0}(x^{2}- \frac{\cos{x}}{10000})$
Beberapa Peringatan
Ternyata keadaannya tidak semudah itu. Kalkulator boleh jadi mengecoh kita, demikian juga intuisi kita. Contoh-contoh berikut mengetengahkan beberapa jebakan yang mungkin.
(Kalkulator mungkin mengecoh Anda). Carilah $\displaystyle \lim_{x \to 0}(x^{2}- \frac{\cos{x}}{10000})$
|
| Gambar 5 |
PENYELESAIAN Dengan mengikuti prosedur yang digunakan dalam Contoh 3, kita susun tabel nilai yang diperlihatkan Gambar 5. Kesimpulan yang disarankannya adalah bahwa limit yang diinginkan $0$. Tetapi ini salah. Jika kita ingat kembali grafik $y=\cos{x}$, kita sadari bahwa $\cos{x}$ mendekati $1$ untuk $x$ mendekati $0$. Jadi:
(Tidak ada limit pada suatu lompatan). Carilah $\displaystyle \lim_{x \to 2} \left \Vert x \right \Vert$
$\displaystyle \lim_{x \to 0}(x^{2}- \frac{\cos{x}}{10000})= (0)^{2} – \frac{(1)}{10000}$
$=-\frac{1}{10000}$
$=-\frac{1}{10000}$
(Tidak ada limit pada suatu lompatan). Carilah $\displaystyle \lim_{x \to 2} \left \Vert x \right \Vert$
|
| Gambar 6 |
PENYELESAIAN Ingat kembali bahwa $\left \Vert x \right \Vert$ menyatakan bilangan bulat terbesar lebih kecil atau sama dengan $x$. Grafik $y=\left \Vert x \right \Vert$ diperlihatkan dalam Gambar 6. Untuk semua bilangan $x$ yang lebih kecil dari $2$ tetapi dekat $2$, $\left \Vert x \right \Vert=1$, tetapi untuk semua bilangan $x$ yang lebih besar dari $2$ tetapi dekat $2$, $\left \Vert x \right \Vert=2$. Apakah $\left \Vert x \right \Vert$ dekat pada suatu bilangan $L$ ketika $x$ dekat $2$? Tidak. Berapapun bilangan yang usulkan kepada $L$, akan terdapat sebarang nilai-nilai $x$ yang dekat ke $2$ pada satu pihak atau pihak lainnya, di mana $\left \Vert x \right \Vert$ berbeda dari $L$ sebesar paling sedikit $\frac{1}{2}$. Kesimpulan kita adalah bahwa $\lim_{x \to 0} \left \Vert x \right \Vert$ tidak ada. Jika Anda memeriksa kembali, Anda akan melihat bahwa kita tidak menuntut setiap limit yang dapat kita tuliskan harus ada.
(Terlalu banyak goyangan). Carilah $\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin{\frac{1}{x}}$
PENYELESAIAN Contoh ini mengetengahkan pertanyaan paling rumit tentang limit. Karena kita tidak ingin membuat cerita terlalu besar untuknya, Anda diminta melakukan dua hal.
Pertama, ambil sebarisan nilai-nilai $x$ yang mendekati $0$. Gunakan kalkulator untuk menghitung $\sin{\frac{1}{x}}$ pada semua nilai $x$ ini. Terkecuali Anda menemukan beberapa pilihan beruntung, maka nilai Anda akan berayun secara liar.
(Terlalu banyak goyangan). Carilah $\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin{\frac{1}{x}}$
PENYELESAIAN Contoh ini mengetengahkan pertanyaan paling rumit tentang limit. Karena kita tidak ingin membuat cerita terlalu besar untuknya, Anda diminta melakukan dua hal.
Pertama, ambil sebarisan nilai-nilai $x$ yang mendekati $0$. Gunakan kalkulator untuk menghitung $\sin{\frac{1}{x}}$ pada semua nilai $x$ ini. Terkecuali Anda menemukan beberapa pilihan beruntung, maka nilai Anda akan berayun secara liar.
|
| Gambar 7 |
|
| Gambar 8 |
Kedua, cobalah menggambar grafik $y=\sin{\frac{1}{x}}$. Tak seorang pun akan pernah melakukan ini dengan sangat baik, tetapi tabel nilai dalam Gambar 7 memberikan kita suatu petunjuk yang baik tentang apa yang terjadi. Di sekitar titik asal, grafik bergoyang ke atas dan ke bawah di antara $-1$ dan $1$ secara tak terhingga banyaknya (Gambar 8). Jelas $\sin{\frac{1}{x}}$ tidak berada dekat suatu bilangan unik $L$ ketika $x$ dekat $0$. Kita simpulkan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin{\frac{1}{x}}$ tidak ada.
Limit Satu-Sisi
Ketika suatu fungsi mempunyai lompatan (seperti halnya $\left \Vert x \right \Vert$ pada setiap bilangan bulat, dalam Contoh 5), maka limit tidak ada pada setiap titik lompatan. Fungsi-fungsi yang demikian menyarankan perkenalan tentang limit-limit satu sisi (one-sided limits). Misalkan lambang $x \to c^{+}$ bermakna bahwa $x$ mendekati $c$ dari kanan, dan $x \to c^{-}$ bermakna bahwa $x$ mendekati $c$ dari kiri.
Jadi, walaupun $\displaystyle \lim_{x \to 2} \left \Vert x \right \Vert$ tidak ada, adalah benar untuk menuliskan (perhatikan grafik dalam Gambar 6).
Kami percaya Anda akan mengetahui bahwa teorema berikut cukup masuk akal.
Gambar 9 seharusnya memberikan wawasan tambahan. Dua dari limit itu tidak ada, meskipun salah satu dari limit-limit satu sisi itu ada.
Definisi: Limit Kiri dan Limit Kanan
Untuk mengatakan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to c^{+}} f(x)=L$ berarti ketika $x$ dekat tetapi pada sebelah kanan $c$, maka $f(x)$ dekat $L$. Demikian pula, untuk mengatakan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to c^{-}} f(x)=L$ berarti ketika $x$ dekat tetapi sebelah kiri $c$, maka $f(x)$ adalah dekat ke $L$.
Untuk mengatakan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to c^{+}} f(x)=L$ berarti ketika $x$ dekat tetapi pada sebelah kanan $c$, maka $f(x)$ dekat $L$. Demikian pula, untuk mengatakan bahwa $\displaystyle \lim_{x \to c^{-}} f(x)=L$ berarti ketika $x$ dekat tetapi sebelah kiri $c$, maka $f(x)$ adalah dekat ke $L$.
Jadi, walaupun $\displaystyle \lim_{x \to 2} \left \Vert x \right \Vert$ tidak ada, adalah benar untuk menuliskan (perhatikan grafik dalam Gambar 6).
$\displaystyle \lim_{x \to 2^{-}} \left \Vert x \right \Vert=1$ dan $\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}} \left \Vert x \right \Vert=2$
Kami percaya Anda akan mengetahui bahwa teorema berikut cukup masuk akal.
Teorema A:
$\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) =L$ jika dan hanya jika $\displaystyle \lim_{x \to c^{+}} f(x)=L$ dan $\displaystyle \lim_{x \to c^{-}} f(x)=L$.
$\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) =L$ jika dan hanya jika $\displaystyle \lim_{x \to c^{+}} f(x)=L$ dan $\displaystyle \lim_{x \to c^{-}} f(x)=L$.
Gambar 9 seharusnya memberikan wawasan tambahan. Dua dari limit itu tidak ada, meskipun salah satu dari limit-limit satu sisi itu ada.
|
| Gambar 9 |
Literature Review:
- Varberg, Rigdon, and Purcell, Kalkulus 1, 9th ed. (Jakarta: Penerbit Erlangga).