Limit Melibatkan Fungsi Trigonometri - 1.4 Limit | Kalkulus

Contents

• 1 Limit Fungsi Trigonometri
• 2 Limit Trigonometri Khusus

---

Bab 1: Limit - KALKULUS
1.1	Pendahuluan Konsep Dasar Limit
1.2	Pengkajian Mendalam Presisi Limit
1.3	Teorema-Teorema Limit
1.4	Limit Fungsi Trigonometri
1.5	Limit di Hingga
1.6	Kontinuitas Fungsi pada Limit

---

Teorema B dari materi sebelumnya [Teorema-Teorema Limit] mengatakan bahwa limit fungsi polinomial selalu dapat dicari dengan substitusi, dan limit fungsi rasional dapat dicari dengan substitusi selama penyebut tidak nol di titik limit. Aturan substitusi ini berlaku juga pada fungsi trigonometri. Hasil ini akan dinyatakan berikutnya.

---

Limit Fungsi Trigonometri

Untuk setiap bilangan real $ c $ di dalam daerah asal fungsi:

Teorema A

Gambar 1

Bukti Pernyataan 1 Pertama-tama kita tetapkan kasus di mana $ c=0 $. Misalkan bahwa $ t>0 $ dan misalkan titik A, B, dan P didefinisikan seperti dalam Gambar 1. Maka:

$ 0 < \left\vert BP \right\vert < \left\vert AP \right\vert < \text{busur (AP)} $

Tetapi $ \left\vert BP \right\vert = \sin{t} $ dan $ \text{busur (AP)}=t $,sehingga:

$ 0 < \sin{t} < t $

Jika $ t < 0 $, maka $ t < \sin{t} < 0 $. Jadi, kita dapat menerapkan Teorema Apit dan menyimpulkan bahwa $ \displaystyle \lim_{t \to 0}\sin{t}=0 $. Untuk melengkapi bukti, kita juga akan memerlukan hasil bahwa $ \displaystyle \lim_{t \to 0}\cos{t}=1 $. Ini menyusul dengan penerapan identitas trigonometri:

$ \displaystyle \lim_{t \to 0}\cos{t}=\lim_{t \to 0}\sqrt{1-\sin^2{t}}=\sqrt{1-(\lim_{t \to 0}\sin{t})^{2}}=\sqrt{1-0^{2}}=1 $

Sekarang untuk memperlihatkan bahwa $ \displaystyle \lim_{t \to c}\sin{t}=\sin{c} $, pertama kita misalkan $ h=t-c $ sehingga $ h \to 0 $ ketika $ t \to c $. Kemudian:

$ \displaystyle \lim_{t \to c}\sin{t}=\lim_{h \to 0}\sin{(c+h)} $
$ \displaystyle =\lim_{h \to 0}(\sin{c}\cos{h}+\cos{c}\sin{h}) $ (Identitas penambahan)
$ \displaystyle =(\sin{c})(\lim_{h \to 0}\cos{h})+(cos{c})(\lim_{h \to 0}\sin{h}) $
$ =(\sin{c})(1)+(\cos{c})(0)=\sin{c} $

Bukti Pernyataan 2 Kita gunakan identitas lain bersama dengan [Teorema A di Teorema-Teorema Limit]. Jika $ \cos{c}>0 $, maka untuk $ t $ dekat $ c $ kita mempunyai $ \cos{t}=\sqrt{1-\sin^2{t}} $. Jadi:

$ \displaystyle \lim_{t \to c}\cos{t}=\lim_{t \to c}\sqrt{1-sin^2{t}}=\sqrt{1-(\lim_{t \to c}\sin{t})^{2}}=\sqrt{1-\sin^2{c}}=\cos{c} $

Di pihak lain, jika $ \cos{c}<0 $, maka untuk $ t $ dekat $ c $ kita mempunyai $ \cos{t}=-\sqrt{1-\sin^2{t}} $. Dalam kasus ini:

$ \displaystyle \lim_{t \to c}\cos{t}=\lim_{t \to c}(-\sqrt{1-\sin^2{t}})=-\sqrt{1-(\lim_{t \to c}\sin{t})^{2}}=-\sqrt{1-\sin^2{c}} $
$ =-\sqrt{\cos^2{c}}=-\left\vert \cos{c} \right\vert=\cos{c} $

Kasus $ c=0 $ ditangani dalam bukti dari Pernyataan 1.

Bukti untuk pernyataan lainnya disisakan sebagai latihan.

Carilah $ \displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{t^{2}\cos{t}}{t+1} $

PENYELESAIAN

$ \displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{t^{2}\cos{t}}{t+1}=(\lim_{t \to 0}\frac{t^{2}}{t+1})(\lim_{t \to 0}\cos{t})=0 \cdot 1=0 $

Dua limit penting yang tidak dapat dihitung dengan cara substitusi adalah:

$ \displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{\sin{t}}{t} $ dan $ \displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{1-\cos{t}}{t} $

Kita bertemu limit yang pertama di [Konsep Dasar Limit], di sana kita membuat dugaan bahwa limit adalah $ 1 $. Sekarang kita buktikan bahwa $ 1 $ adalah memang limitnya.

---

Limit Trigonometri Khusus

Teorema B

Gambar 2

Bukti Pernyataan 1 Dalam bukti Teorema A materi ini, kita perlihatkan bahwa:

$ \displaystyle \lim_{t \to 0}\cos{t}=1 $ dan $ \displaystyle \lim_{t \to 0}\sin{t}=0 $

Untuk $ -\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2} $, $ t \ne 0 $ (ingat, tidak perduli apa yang terjadi di $ t=0 $), gambarkan ruas garis tegak BP dan busur lingkaran BC, seperti diperlihatkan dalam Gambar 2. (Jika $ t < 0 $, maka pikirkan daerah arsir dicerminkan terhadap sumbu-x). Jelas dari Gambar 2 bahwa:

$ \text{luas (sektor OBC)} \le \text{luas}(\triangle OBP) \le \text{luas (sektor OAP)} $

Luas segitiga adalah setengah alas kali tinggi, dan luas sektor lingkaran dengan sudut pusat $ t $ dan jejari $ r $ adalah $ \frac{1}{2}r^{2}\left\vert t \right\vert $. Dengan menggunakan hasil ini pada ketiga daerah tersebut akan menghasilkan:

$ \frac{1}{2}(\cos{t})^{2}\left\vert t \right\vert \le \frac{1}{2}\cos{t}\left\vert \sin{t} \right\vert \le \frac{1}{2}1^{2}\left\vert t \right\vert $

Dan setelah dikalikan $ 2 $ serta dibagi bilangan positif $ \left\vert t \right\vert \cos{t} $,menghasilkan:

$ \cos{t} \le \frac{\left\vert \sin{t} \right\vert}{\left\vert t \right\vert} \le \frac{1}{\cos{t}} $

Karena ekspresi $ \frac{\sin{t}}{t} $ positif untuk $ -\frac{\pi}{2}\le t \le \frac{\pi}{2} $, $ t \ne 0 $, kita mempunyai $ \frac{\left\vert \sin{t} \right\vert}{\left\vert t \right\vert}=\frac{\sin{t}}{t} $. Karena itu:

$ \cos{t} \le \frac{\sin{t}}{t} \le \frac{1}{\cos{t}} $

Karena kita berada setelah limit dari fungsi tengah dan kita mengetahui limit masing-masing fungsi "sebelah luar", pertidaksamaan ganda ini memerlukan Teorema Apit. Ketika kita menerapkannya, kita peroleh:

$ \displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{\sin{t}}{t}=1 $

Bukti Pernyataan 2 Limit yang kedua menyusul secara mudah dari yang pertama. Kalikan saja pembilang dan penyebut dengan $ (1+\cos{t}) $; ini memberikan:

$ \displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{1-\cos{t}}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{1-\cos{t}}{t} \cdot \frac{1+\cos{t}}{1+\cos{t}}=\lim_{t \to 0}\frac{1-cos^2{t}}{t(1+\cos{t})} $
$ \displaystyle = \lim_{t \to 0}\frac{\sin^2{t}}{t(1+\cos{t})} $
$ \displaystyle = (\lim_{t \to 0}\frac{\sin{t}}{t})\frac{\lim_{t \to 0}\sin{t}}{\lim_{t \to 0}(1+\cos{t})}=1 \cdot \frac{0}{2}=0 $

Kita akan membuat penggunaan yang gamblang dari dua pernyataan limit ini di materi [Turunan]. Untuk sekarang, kita dapat menggunakan keduanya untuk menghitung limit lain.

Carilah masing-masing limit.

Contoh 2

PENYELESAIAN

(a) $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{x}=\lim_{x \to 0}3 \frac{\sin{3x}}{3x}=3 \lim_{x \to 0}\frac{\sin{3x}}{3x} $

Di sini argumen terhadap fungsi sinus adalah $ 3x $, bukan hanya $ x $ seperti yang disyaratkan oleh Teorema B. Misalkan $ y=3x $. Maka $ y \to 0 $ jika dan hanya jika $ x \to 0 $, sehingga:

$ \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin{3x}}{3x}=\lim_{y \to 0}\frac{\sin{y}}{y}=1 $

Jadi:

$ \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin{3x}}{x}=3 \lim_{x \to 0}\frac{\sin{3x}}{3x}=3 $
(b)... $ \displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{1-\cos{t}}{\sin{t}}=\lim_{t \to 0}\frac{\frac{1-\cos{t}}{t}}{\frac{\sin{t}}{t}}=\frac{\lim_{t \to 0}\frac{1-\cos{t}}{t}}{\lim_{t \to 0}\frac{\sin{t}}{t}}=\frac{0}{1}=0 $
(c)... $ \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin{4x}}{\tan{x}}=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{4 \sin{4x}}{4x}}{\frac{\sin{x}}{x \cos{x}}} $
$ \displaystyle =\frac{4 \lim_{x \to 0}\frac{\sin{4x}}{4x}}{(\lim_{x \to 0}\frac{\sin{x}}{x})(\lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos{x}})}=\frac{4}{1 \cdot 1}=4 $

Sketsakan grafik $ u(x)=\left\vert x \right\vert $, $ l(x)=-\left\vert x \right\vert $, dan $ f(x)= x \cos{\frac{1}{x}} $. Gunakan grafik-grafik ini bersama dengan Teorema Apit [Teorema D - Teorema-Teorema Limit] untuk menentukan $ \displaystyle \lim_{x \to 0}f(x) $.

PENYELESAIAN Perhatikan bahwa $ \cos{\frac{1}{x}} $ selalu berada di antara $ -1 $ dan $ 1 $, dan $ f(x)=x \cos{\frac{1}{x}} $. Jadi $ x \cos{\frac{1}{x}} $ akan selalu berada di antara $ -x $ dan $ x $ untuk x positif, dan di antara $ x $ dan $ -x $ untuk x negatif.

Gambar 3

Dengan perkataan lain, grafik $ f(x)=x \cos{\frac{1}{x}} $ berada di antara grafik $ y=\left\vert x \right\vert $ dan $ y=-\left\vert x \right\vert $, seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 3. Kita tahu bahwa $ \displaystyle \lim_{x \to 0}\left\vert x \right\vert=\lim_{x \to 0}(-\left\vert x \right\vert)=0 $ dan karena grafik $ y=f(x)=x \cos{\frac{1}{x}} $ "terapit" di antara grafik $ u(x)=\left\vert x \right\vert $ dan $ l(x)=-\left\vert x \right\vert $, keduanya menuju $ 0 $ ketika $ x \to 0 $, kita dapat menerapkan Teorema Apit untuk menyimpulkan bahwa $ \displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)=0 $.

---

Literature Review:

• Varberg, Rigdon, and Purcell, Kalkulus 1, 9th ed. (Jakarta: Penerbit Erlangga).