Masalah terdalam dan yang paling paradoks dari matematika seringkali adalah kerancuan dalam penggunaan dari konsep takberhingga. Memang, perkembangan matematika sebagian dapat diukur dalam bentuk pemahaman konsep takberhingga. Kita telah menggunakan lambang $ \infty $ dan $ -\infty $ dalam notasi kita untuk interval tertentu. Jadi, $ ( 3 \text{,} \infty ) $ adalah cara kita untuk menyatakan semua bilangan real yang lebih besar daripada $ 3 $. Perhatikann bahwa kita tidak pernah menyatakan $ \infty $ sebagai bilangan. Sebagai contoh, kita tidak pernah menambahkan atau membaginya dengan suatu bilangan. Kita akan menggunakan lambang $ \infty $ dan $ -\infty $ dalam cara baru di materi ini, tetapi tetap saja tidak menyatakan bilangan.
Limit di Tak Hingga
Gambar 1
Tinjau fungsi $ g(x)=\frac{x}{1+x^{2}} $ yang grafiknya diperlihatkan dalam Gambar 1. Kita ajukan pertanyaan ini: Apa yang terjadi pada $ g(x) $ ketika $ x $ menjadi semakin besar? Dalam lambang, kita tanyakan nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x) $.
Ketika kita menuliskan $ x \to \infty $, kita tidak menyatakan secara langsung bahwa di suatu tempat yang jauh, jauh ke kanan pada sumbu-x terdapat sebuah bilangan (lebih besar daripada semua bilangan) yang didekati oleh $ x $. Namun, kita gunakan $ x \to \infty $ sebagai cara singkat untuk mengatakan bahwa $ x $ menjadi semakin membesar tanpa batas.
Gambar 2
Dalam tabel di Gambar 2, kita telah memuat nilai $ g(x)=\frac{x}{1+x^{2}} $ untuk beberapa nilai $ x $. Nampak bahwa $ g(x) $ menjadi semakin ketika $ x $ menjadi semakin besar. Kita tuliskan.
Dalam analogi dengan definisi $ \epsilon - \delta $ kita untuk limit biasa, kita membuat definisi berikut.
Definisi: Limit ketika $ x \to \infty $
Misalkan $ f $ terdefinisi pada $ [c \text{ , } \infty ) $ untuk suatu bilangan $ c $. Kita katakan bahwa $ \displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=L $ jika untuk masing-masing $ \epsilon > 0 $ terdapat bilangan $ M $ yang berpadanan sedemikian rupa sehingga:
Anda akan mencatat bahwa $ M $ dapat, dan biasanya demikian, tergantung pada $ \epsilon $. Umumnya, semakin kecil $ \epsilon $ makan akan semakin besar $ M $. Grafik dalam Gambar 3 mungkin dapat membantu Anda untuk memahami apa yang kita katakan.
Gambar 3
Definisi: Limit ketika $ x \to -\infty $
Misalkan $ f $ terdefinisi pada $ (-\infty \text{ , } c] $ untuk suatu bilangan $ c $. Kita katakan bahwa $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=L $ jika untuk masing-masing $ \epsilon > 0 $ terdapat bilangan $ M $ yang berpadanan sedemikian rupa sehingga:
$ x < M \Rightarrow \left\vert f(x)-L \right\vert < \epsilon $
Perlihatkan bahwa jika $ k $ bilangan bulat positif, maka:
PENYELESAIAN Misalnya diberikan $ \epsilon > 0 $. Setelah analisis pendahuluan (seperti dalam Konsep Presisi Limit), kita pilih $ M=\sqrt[k]{\frac{1}{\epsilon}} $. Maka $ x>M $ mengimplikasikan bahwa:
Dengan telah diberikannya definisi limit-limit jenis baru ini, kita harus menghadapi pertanyaan tentang apakah Teorema Limit Utama berlaku untuk mereka. Jawabannya adalah ya, dan bukti serupa dengan bukti yang semula. Catat bagaimana kita menggunakan teorema ini dalam contoh berikut.
Buktikan bahwa $ \displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{x}{1+x^{2}}=0 $.
PENYELESAIAN Kita gunakan cara biasa: bagilah pembilang dan penyebut dengan pangkat $ x $ tertinggi yang muncul di penyebut, yakni $ x^{2} $.
Daerah asal untuk beberapa fungsi adalah himpunan bilangan asli $ {1,2,3,\cdots} $ dalam situasi ini, kita biasanya menuliskan $ a_{n} $ ketimbang $ a(n) $ untuk menyatakan suku ke-$ n $ atau $ {a_{n}} $ untuk menyatakan seluruh barisan. Sebagai contoh, kita dapat mendefinisikan barisan oleh $ a_{n}=\frac{n}{n+1} $. Marilah kita tinjau apa yang terjadi ketika $ n $ menjadi besar. Sedikit perhitungan memperlihatkan bahwa:
Kelihatan sepertinya nilai-nilai ini mendekati $ 1 $, sehingga nampaknya beralasan untuk mengatakan bahwa untuk barisan ini $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=1 $. Definisi berikutnya memberikan makna terhadap pemikiran tentang limit sebuah barisan ini.
Definisi: Limit Barisan
Misalkan $ a_{n} $ terdefinisi untuk semua bilangan asli yang lebih besar daripada atau sama dengan suatu bilangan $ c $. Kita katakan bahwa $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=L $ jika untuk masing-masing $ \epsilon > 0 $ terdapat bilangan $ M $ yang berpadanan sedemikian rupa sehingga:
Perhatikan bahwa definisi ini hampir identik dengan definisi $ \displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x) $. Perbedaannya hanyalah bahwa sekarang kita mensyaratkan bahwa argumen fungsi adalah bilangan asli. Seperti yang kita duga, Teorema Limit Utama berlaku untuk barisan.
Kita akan memerlukan konsep limit suatu barisan di kajian: Persamaan Numerik dan Integral Tentu.
Definisi Limit Tak-hingga
Gambar 6
Tinjau fungsi $ f(x)=\frac{1}{x-2} $, yang diperlihatkan dalam Gambar 6. Ketika $ x $ menjadi dekat ke $ 2 $ dari kiri, nampak fungsi mengecil tanpa batas. Serupa, ketika $ x $ mendekati $ 2 $ dari kanan, nampak fungsi membesar tanpa batas. Karenanya tidak masuk akal berbicara tentang $ \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{1}{x-2} $, tetapi beralasan untuk menuliskan:
Kita katakan bahwa $ \displaystyle \lim_{x \to c^{+}}f(x)=\infty $ jika untuk masing-masing bilangan positif $ M $ berpadanan $ \delta > 0 $ sedemikian rupa sehingga:
$ 0 < x-c < \delta \Rightarrow f(x)>M $
Dalam perkataan lain, $ f(x) $ dapat dibuat sebesar yang kita inginkan (lebih besar daripada sebarang $ M $ yang kita pilih) dengan mengambil $ x $ cukup dekat tetapi di kanan $ c $. Terdapat definisi-definisi yang berpadanan dari:
PENYELESAIAN Grafik $ f(x)=\frac{1}{(x-1)^{2}} $ diperlihatkan dalam Gambar 7. Ketika $ x \to 1^{+} $, penyebut tetap positif tetapi menuju nol, sedangkan pembilang adalah $ 1 $ untuk semua $ x $. Jadi, hasil bagi $ \frac{1}{(x-1)^{2}} $ dapat dibuat sebarang besar dengan cara membatasi $ x $ berada dekat tetapi di kanan $ 1 $. Secara serupa, ketika $ x \to 1^{-} $, penyebut positif dan dapat dibuat sebarang dekat ke $ 0 $. Jadi $ \frac{1}{(x-1)^{2}} $ dapat dibuat sebarang besar dengan cara membatasi $ x $ berada dekat tetapi di kiri $ 1 $. Karenanya kita simpulkan bahwa:
Ketika $ x \to 2^{+} $ kita lihat bahwa $ x+1 \to 3 $, $ x-3 \to -1 $, dan $ x-2 \to 0^{+} $; jadi pembilang mendekati $ 3 $, tetapi penyebut negatif dan mendekati $ 0 $. Kita simpulkan bahwa:
Garis $ x=c $ adalah asimtot tegak grafik $ y=f(x) $ jika salah satu dari empat pernyataan berikut benar.
Jadi dalam Gambar 6, garis $ x=2 $ adalah asimtot tegak. Sama halnya, garis $ x=2 $ dan $ x=3 $, walaupun tidak diperlihatkan secara grafik, adalah asimtot tegak dalam Gambar 6.
Dalam alur yang serupa , garis $ y=b $ adalah asimtot datar grafik $ y=f(x) $ jika salah satu:
